4.3 分立对称性：晶格平移.ppt

4 1 2对称性 空间平移对称性 T a H x p t T a H x a p t 时间平移对称性 T t H x p t T t H x p t t 转动不变性 D R H J D R H RJ 空间反演对称性 H x p J t H x p J t 非兼并态 一维束缚态有确定宇称 4 3分立对称性 晶格平移 晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重的应用 对一维周期势 a V x a V x a V x a为晶格常数 H a 0 a 和H可同时对角化 在H和 a 的共同本征矢中 由于 并非厄米 的期待值为复数且模为1 为求出 a 的本征态 先考虑无限高势垒的情形 此时电子只能局域于某格点附近 设相应能量本征态为 n H n En n n表示格点位置 不同 n 简并 虽然 n 是H的本征态 且H与 a 对易 n 不是 a 的本征态 将不同 n 线性叠加 可得到 a 的本征形态 有限高势垒时 n 并不完全局域于格点n 而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减 以 n 为基构造 仍为本征值为e i 的本征态由于取 ka 则 Bloch定理 可见晶格平移的本征态 之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘 且 k空间范围称为BrillouinZone Bloch定理 能量本征值 可见不同k a的态能量本征值不同 能量本征值 紧束缚近似 E0 原来简并的能级被消简并 形成能量范围为E0 2 到E0 2 的能带 4 4时间反演分立对称性 一 牛顿力学的时间反演变换经典力学情形 一受中心力场作用的粒子其轨迹如图 一 牛顿力学的时间反演变换 若x t 是牛顿方程的解 令t t 有x t 也是牛顿方程的解 时间反演 x x dx dt dx dt 时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转 二 电动力学的时间反演变换 Maxwell方程 Lorentz力 对t t变换 若则Maxwell方程和Lorentz力形式不变 二 电动力学的时间反演变换 即若上述讨论表明 经典物理中的时间变换为 t t x x v v p p E E j j B B 三 薛定谔方程的时间反演变换 对薛定谔方程 作时间反演 可见 x t 与 x t 满足不同的方程对上式取复共轭 得 可见对解 x t 有相应解 x t 因 x 时间反演波函数由 给出 四 反幺正算符 若一对称操作使 从前遇到的情况为内积不变 相应对称操作以幺正算符表征对时间反演 波函数变为复共轭 应有定义 对变换 如果称 为反幺正算符后一式所定义的算符称为反线性算符 一般而言 反幺正算符可写成 UK U为幺正算符 K为复共轭算符 K对右矢的叠加系数作用 即若 不是基矢 可展开为以 a 为基矢的矢量 是反幺正的说明 由 是反线性的又 是反幺正的 五 时间反演算符 时间反演态 运动反演态 上面讨论知 动量本征态 p 的时间反演态 p p 时间反演算符的基本性质 由态矢时间反演的对称性得 iH iH 应为反幺正算符 H H 五 时间反演算符 重要等式 这是因为对有故 对厄米算符A 有若 A 1 A 称A在时间反演下具有偶 奇 对称由此 可得A在时间反演态的期待值 由 p 1 p类似地 x 1 x x x 从可知 J 1 J 六 波函数的变化 由于可知 对球谐函数 可见 定理 若H在时间反演下不变 且能量本征态非简并 则相应波函数是实的 证 H n H n En n n 与 n 相同 故 注 时间反演态的动量空间波函数为 p 七 自旋1 2体系的时间反演 因 时间反演的效果 得由于所以 对无自旋体系 2 1两者很不相同 八 一般角动量体系的时间反演 由 得而故对任意 此外 一般地 需要指出 最方便的相位约定依所处理的物理问题而定 但 2 1与相位约定无关 九 球张量的时间反演性质 对若A是的分量 由于Wigner Eckart定理只要考虑q 0的分量即可 对厄米球张量 其时间反演奇偶性由q 0分量确定 由于x对应于k 1 且对时间反演是偶的 故对jm的本征态 0 这对非宇称本征态亦成立 十 粒子与电和磁场的相互作用 Kramers简并 电荷在静电场中 V x e x H 0由于 U t t0 0 不存在量子数的时间反演守恒 但 H 0对无自旋粒子导致非简并态波函数为实数更重要的后果是Kramers简并 由于 n 与 n 同为H的本征态 若非简并 n ei n 对j半整数体系 则 n n ei n