第6讲(2014-11-05).doc

第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念与基本方法一、问题的提出问题：如何用计算机计算定积分的值？ 方法一：用符号运算通过符号运算求的原函数，根据牛顿莱布尼兹公式求出定积分的值。优点：如果能求解，可以求出理论解。缺点1：某些问题的原函数不能用初等函数表示；缺点2：时间成本高。方法二：用数值运算利用积分区间上若干个点处的被积函数值，构造近似求积公式。优点1：适应范围广；优点2：速度快；优点3：可以求解被积函数未知，只知道在一些离散点处的函数值的情况。缺点：被积函数在积分区间上的值变化剧烈时，误差可能较大。本章研究数值积分方法。所谓数值积分方法，就是用积分区间上有限个点的函数值（有时用到导数值）的线性组合作为定积分的近似值，其一般形式为其中仅依赖于节点而与无关。二、有关求积公式的几个概念1代数精度定义1 如果某个求积公式对于次数不超过的多项式都能精确成立，但对于次多项式不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度。代数精度的含义：在节点个数一定的条件下，代数精度高的求积公式，意味着在不考虑输入数据以及计算过程的舍入误差的情况下，可以得到高精度的计算结果。一般地，要使求积公式具有次代数精度，只要它对于都精确成立即可。例1 给定形如的求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度。解 令分别代入公式，并使其精确成立，得解得，从而求积公式为当时，故公式具有2次代数精度。2求积公式的收敛性定义2 在求积公式中，若其中，则称求积公式是收敛的。3求积公式的稳定性一个求积公式是数值稳定的，是指当输入数据的误差很小时，输出数据的误差也很小。准确的说，设计算得到的值是，记 如果对于任意的，存在，只要就有则称求积公式是数值稳定的。三、插值型求积公式给定一组节点，设在这些节点处的函数值为已知。将被积函数用插值多项式近似，即其中为Lagrange插值基函数。对上式两边积分，得求积公式式中。称上述求积公式为插值型公式。插值型求积公式的余项为其中因此，有定理1 具有个插值节点的插值型求积公式其中，为Lagrange插值基函数，至少具有次代数精度。 定理2 若插值型求积公式中系数，则此求积公式是数值稳定的。 2 牛顿科特斯公式该类求积公式是采用等距节点的拉格朗日插值多项式构造的。一、科特斯系数：等分，步长：，节点：构造插值型求积公式上述公式称为牛顿科特斯公式，称为科特斯系数。可以证明，当为偶数时，牛顿科特斯公式具有次代数精度。科特斯系数的计算：由于，所以科特斯系数满足（1）当时，上述公式称为梯形公式（2）当时，上述公式称为辛普森公式（3）当时，上述公式称为科特斯公式这里。当时，科特斯系数有正有负，计算不稳定，因此的牛顿科特斯公式是不用的。从另一个角度看，由于高次插值多项式可能出现龙格现象，不能保证计算精度。三、几种低阶求积公式的余项1、梯形公式的余项注意到在上非正（保号），应用积分第二中值定理即得。2、辛普森公式的余项思路：根据在三点处的函数值构造次数不超过3的多项式，使余项中多项式部分在上保号，并使等于用辛普森公式计算出的函数的积分值（近似值）。为此，令，构造满足其中条件是为了使余项出现，满足保号条件。由于辛普森公式具有3次代数精度（偶数阶牛顿科特斯公式），它对求积是精确的（这是构造的原因）。即而，（是的二重根）故注意到在上不变号，由积分第二中值定理可得。3、科特斯公式的余项。3 复化求积公式用分段低次插值函数作为被积函数的近似函数，这样建立的求积公式称为复化求积公式。最常用的复化求积公式是复化梯形公式和复化辛普森公式。一、复化梯形公式1节点的选取将进行等分：子区间的长度为，分点的坐标为2“化整为零”3“以直代曲”在子区间上，使用梯形公式，则得上述求积公式称为复化梯形公式。4余项假设,则由介值定理，存在，使从而复化梯形公式的余项。可以看出，当时，。二、复化辛普森公式1节点的选取将子区间二等分，记中点为，在子区间上使用辛普森公式，2“化整为零”与“以抛物线代曲线”3余项 可以看出，当时，。此外，由于中求积系数均为正数，故复化辛普森公式是数值稳定的。为了用计算机实现方便，通常将分成偶数等分，可以写出与上面类似的辛普森公式。设将分成等分，节点为，则复化辛普森公式为三、埃尔米特积分法1、分段两点三次埃尔米特插值函数（复习）设在节点上函数值和导数值都已知，若插值函数满足条件：（1）；（2）；（3）在每个小区间上是三次多项式。则称称为分段三次埃尔米特插值函数。2、分段三次埃尔米特插值函数的构造在子区间上，的表达式为。其中分别为：其余项，。3、埃尔米特求积公式在上，所以：从而可以看出，埃尔米特求积公式比复化梯形公式多了一个修正项。4、埃尔米特求积余项子区间上的余项： 整个积分区间上的余项：可以看出（1）埃尔米特公式的阶为，与复化辛普森公式是同阶的，比复化梯形公式高2阶；（2）埃尔米特公式的计算量大约为复化辛普森公式的一半，与复化梯形公式相当。5、数值实验1. 234567表1：计算被积函数次数与计算精度的比较算例自适应的埃尔米特插值方法复合辛普森方法计算函数值次数误差计算函数值次数误差1273.281957851264394e-006535.122888154573957e-0062212.811203270169926e-008413.265165293697692e-0083194.279082736480255e-006377.097394646549127e-006491.461195997531917e-008171.930302473418522e-008551.142059416481267e-008131.834043861226320e-009670135.551115123125783e-0177212.393912167386603e-006413.704143338834065e-0064 隆贝格求积公式实践中，固定复化求积公式中的步长会导致：（1）步长取得太大，精度难以保证；（2）步长太小，则计算量太大，有时不必要。一种可行的解决思路：采用变步长方法。即在步长逐步分半的过程中，反复使用复化求积公式，直到所得的积分值满足精度要求为止。一、梯形法的递推化将区间进行等分，设节点为，则梯形法求积公式为再将每一个子区间二等分，记相应的中点为，则此时梯形法求积公式为于是有递推公式。注意：上述递推公式中不变。上述算法过于依赖梯形公式，效率较低。二、隆贝格算法的思路下面考察梯形法、辛普森法和科特斯法，当步长减半时误差的变化情况。可以看出，当减半时，梯形法、辛普森法和科特斯法的误差大致上分别减至原有误差的和。由上述讨论，可得移项整理可得说明当很小时，也很小。因此，实践中常给定计算精度，用作为停止计算的准则。进一步，由于可以期望，用计算积分值可能得到更好的结果。定理4 梯形法二分后的两个积分值的线性组合等于辛普森法积分值，即.用同样方法，依据辛普森公式可导出科特斯公式依据科特斯公式可导出隆贝格公式在变步长过程中，应用上述公式，就能将粗糙的梯形公式逐步加工成精度较高的辛普森公式、科特斯公式和隆贝格公式。三、理查德外推法（龙贝格算法的实现）理查德外推法是一种用精度较低的近似公式组合成精度较高的近似公式的方法，在数值计算的许多问题中都有应用。Richardson在1927年发现的外推法，当时并没有用来做数值积分问题。而数学家Romberg在1955年将它应用到数值积分上，取得不小的成果。将区间等分后，设子区间的长度为，用梯形法计算的积分值记为。定理5 设，则有（1）其中，系数与无关。利用公式（1），可得（2）记 ，则 （消去了项） （3）其中也与无关。由（3）得（4）记，则又可消去项，得如此进行下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶。一般地，记，则有递推公式上述方法称为理查德外推加速法。以表示二分次后的梯形值，表示的次加速值，则有龙贝格算法：步1 初始化：计算，置（记录区间的二分次数），；步2（二分） 计算积分值：；步3（加速） 求加速值：计算，；步4 精度检验：对指定的精度，若，则终止计算，并取作为所求的结果；否则置，转步2。计算次序：第1次循环二分：加速：第2次循环二分：加速：第3次循环二分：加速：第4次循环二分：加速：5 自适应积分方法一般而言，用复合求积方法求积时：1）被积函数变化剧烈将区间分得细一些；2）被积函数变化平缓不需要分得很细。问题：如果被积函数在积分区间上，有的部分变化剧烈，有的部分变化平缓，则将整个积分区间一起细分是非理性的。解决方法：根据各个子区间满足精度的情况，采用不同的步长这就是自适应积分方法。下面以复合辛普森公式为例，介绍自适应积分方法。设给定精度要求，计算积分的近似值。先取步长，记应用辛普森公式，有（1）将区间二等分，步长，在每一个小区间上用辛普森公式，得，记