基于DEA与联盟博弈的固定成本分摊方法.pdf

2008年11月系统工程理论与实践第11期 文章编号 100026788 2008 1120080205 基于DEA与联盟博弈的固定成本分摊方法 李勇军 梁 中国科学技术大学 管理学院 合肥230026 摘要 结合DEA Data Envelopment Analysis 和联盟博弈方法研究固定成本分摊问题 首先证明了如果将 分摊成本作为新的投入 则所有的决策单元将是DEA有效 在此基础上 结合联盟博弈理论 定义了联盟 博弈的特征函数 提出了Shapley值的成本分摊方案 最后通过算例说明了该方法的有效 以及与已有的 用DEA进行固定成本分摊的方法相比在可实施方面具有一定的优势 关键词 数据包络分析 成本 分摊 效率 联盟博弈 中图分类号 C934 文献标志码 A Method of allocating the fixed cost based on data envelopment analysis and cooperative game LI Y ong2jun LIANGLiang School of Management University of Science and Technology of China Hefei 230026 China Abstract Combining DEA Data Envelopment Analysis and cooperative game this paper has studied how to allocate the fixed cost among decision making units DMU It is firstly proofed that all DMUs are DEA efficiency if the allocated cost is as an additional input Then based up the conclusion we combine it with cooperative game define the characteristic function and propose a Shapley2Value cost allocation Finally Both numerical experiment and comparison with the existing methods based up DEA have shown that the proposed method is relatively reasonable and executive Key words DEA cost allocation efficiency cooperative game 收稿日期 2007205209 资助项目 国家杰出青年科学基金 70525001 中国科学技术大学研究生创新基金 作者简介 李勇军 1982 男 汉 安徽无为人 中国科学技术大学管理学院博士生 研究方向 数据包络分析 梁 1962 男 汉族 北京人 中国科学技术大学管理学院执行院长 教授 博士生导师 研究方向 数据包络分析 供应链管理 等 0 引言 固定成本是指组织为组织内各子决策单元在建立公共平台上所花费的费用 该类问题具有比较广泛 的应用背景 如 银行总行为各分行建立统一的交易系统所花费的投入成本 大型连锁超市为各子超市建 立物流配送系统的费用等等 当建立公平平台的费用超出预算内费用时 组织要求各个子决策单元共同分 摊这部分超额费用 无论从组织的角度还是从研究的角度 如何设计一个公平合理的分摊机制都是至关重 要的 自Charnes等人创建第一个DEA模型 CCR 1 以来 DEA在理论和应用两个方面得到了广泛的关 注并取得许多有价值的成果 2 5 其中应用DEA方法进行固定成本分摊是近年来得到一些学者关注的问 题 Cook和Kress第一次把DEA方法应用于固定成本分摊问题 作者首先假定把分摊的成本作为DMU的 一种新投入要素 然后根据分摊前和分摊后所有DMU效率不变性 invariance 和帕雷托最小性 pareto2 minimality 给出了解决问题的思路 6 此后 Cook和Zhu对文献 6 进行了推广 从CCR模型推广到BCC 模型 从投入导向型 Input2oriented 模型拓展到产出导向 Output2oriented 型模型 7 Beasley则基于总体平 均效率最大化的目标函数 提出了一种非线性成本分摊模型 8 最近 Jahanshahloo等基于效率不变性 invariance 给出了投入要素比例算式的解法 9 实际上 在分摊固定成本的过程中 各个决策单元 DMU 之间是一种相互博弈的关系 任何一个DMU 分摊成本的减少 则意味着其他DMU分摊的就增加 反之亦然 但是在上述文献中 均没有涉及各个决策 单元之间的相互博弈关系 本文首先从DEA的效率评估角度出发 证明了当分摊的成本作为一种新投入 要素时 所有DMU均可以为有效 然后结合合作博弈理论 把各个决策单元作为合作博弈的局中人 依据 理性假设定义包含所有局中人在内的联盟博弈及其各种子联盟的特征函数值 最终给出了基于Shapley值 的成本分摊解 该方法思路清晰 涵义明确 各DMU对最终分摊方案都能接受 最后的算例也说明了该方 法的有效性 1 考虑分摊成本的DMU的效率评价 当分摊的成本被视为DMU的一种新投入要素 6 9 10 时 单个DMU最为关心的是什么样的分摊方案才 能使其在成本分摊后的相对效率达到最大 以及到底能到达多大 为此 设DMUj的输入和输出向量分别 为 Xj x1j x2j xmj T Yj y1j y2j ysj T 待分摊固定成本总额为R DMUj j 1 2 n 的分摊 成本为Rj 那么 当DMU0在分摊到R0时 其效率评价可以考虑如下DEA模型 max s r 1 uryr0 m i 1 vixio R0 E0 s t s r 1 uryrj m i 1 vixij Rj 1 j 1 n j 1 Rj R ur vi Ri 0 r i j 在模型 1 中 v1 v2 vm和u1 u2 us分别是对应的投入量和产出量的权重 其中 为了简便起见 设 定对应于分摊成本的权重为1 E0表示为DMU0的相对效率值 定理1 模型 1 中的所有DMU均可为有效单元 为了证明这个结论 我们只需要找出一组可行解使得所有DMU的效率值为1即可 令 vi 0 i ul R n j 1 ylj l 1 2 s ur 0 r l Rj R ylj n j 1 ylj j 则有 n j 1 Rj R n j 1 ylj n j 1 ylj R Ej s r 1 uryrj m i 1 vixij Rj ulylj Rj ylj R n j 1 ylj R ylj n j 1 ylj 1 j 1 2 n ur vi Ri 0 r i j 可见 在模型 1 中 所有DMU均可为有效单元 推论1 DMUj分摊的成本等式为 Rj s r 1 uryrj m i 1 vixij j 1 2 n 2 18第11期基于DEA与联盟博弈的固定成本分摊方法 由定理一知 Ej s r 1 uryrj m i 1 vixij Rj 1 j 1 2 n 再对其作简单等式变换即得 2 基于DEA合作博弈的固定成本分摊模型 211 基本假设 为了呈现各个决策单元之间的相互合作博弈关系 本文假设 1 所有决策单元都是自私自利的 在成本分摊过程中表现为各自均采取最小化的成本分摊战略 2 所有决策单元都愿意参与博弈 从而最终能达成一个公平的愿意接受的分摊方案 212 基本模型 设联盟S是局中人集N 1 2 n 的一个子集 则联盟S的投入量和产出量分别记为 xi S j S xij yr S j S yrj 3 联盟的目的在于使得分摊的成本最小 联盟S的最小分摊R S 是下列线性规划问题的最小值 R S min s r 1 uryr S m i 1 vixi S s t n j 1 s r 1 uryrj m i 1 vixij R Rj s r 1 uryrj m i 1 vixij 0 ur vi 0 r j 4 令 r ur R i vi R wj Rj R r j wj即是DMUj的分摊系数 则联盟S的最小分摊系数V S 是下列线性规划问题的最小值 V S min s r 1 ryr S m i 1 ixi S s t n j 1 s r 1 ryrj m i 1 ixij 1 wj s r 1 ryrj m i 1 ixij 0 r i 0 r j 5 易得以下定理及推论 定理2 V 0 V N 1 因此V S 定义了联盟S的一个特征函数 并且定义该博弈为 N V 推论2 R S R V S 213 基于Shapley值的联盟博弈的解 联盟博弈有多种解的定义 包括核心 core 核子 nucleolus 稳定集 stable set 谈判集 bargaining set 核 kernel 以及夏普利值 Shapley value 等 把核心中的分配作为合作博弈的解 一个致命的缺陷是核 心经常是空的 而关于核子 稳定集在计算上有一定的难度 至今尚无一种通用的方法 夏普利值是Shapley在1953年提出的联盟博弈又一解的定义 由于任何联盟博弈都存在Shapley值解 以及计算的相对简单性 从提出到现在一直被广泛的应用 10 故本文也将Shapley值作为联盟博弈 N V 的解 那么第k个DMU的分摊系数为 28系统工程理论与实践2008年11月 k V k S SY11 Cook和Kress在文献 6 中给出的结果是R CK 9 R CK 11 7131 该组分摊方案显示不论两个DMU的产出要素相差多少 只要投入要素量相等 则分摊结果相等 同样 DMU10和DMU12也存在类似关系 X10 X12 Y10R11 同样 DMU10和DMU12也存有类似的关系 X10 X12 Y10 Y12 所以同理应有R10R 3 11 213541 R 3 10 913086 R B 11 1158 R B 10 10108 R B 12 13197 但 是从具体的数值来看 DMU9和DMU11两者的投入量相等 产出量之比为Y1 Y11 75 25 1047 350 3 由 本文方法得到的两者分摊额之比为R 3 9 R 3 11 816173 213541 316605 而在Beasley模型中两者承担的分摊 额之比达到R B 9 R B 11 15111 1158 915633 接近十倍 说明Beasley模型中得到的分摊结果差距比较大 因 此在分摊方案的实施方面存在一定的不足 除此之外 由于Beasley提出了一种非线性成本分摊模型 在解 法上也存在不便 38第11期基于DEA与联盟博弈的固定成本分摊方法 作者可以向有兴趣的学者提供该算例程序 312 实例分析 安徽省某商业银行2004年底对10个二级分行的交易系统进行升级 共计固定投入100万 省总行要 求各分行承担该费用 通过分析 本文选取了各分行2005年如下代表性指标 投入指标包括固定资产净 值 员工人数 产出指标包括账面利润 各指标具体数值以及由本文模型所得的分摊结果见表3 表3 安徽省某商业银行10个二级分行2005年度的经营数据 分行固定资产净值 亿元 员工人数 千人 账面利润 亿元 DEA Game 11 01681 2211 756926 342 20 59150 6110 66009 3057 30 72370 6450 771310 919 40 51500 4860 32033 8838 50 47750 5260 843012 687 60 61250 4070 46166 1988 70 79110 7080 67329 0564 81 23630 7131 286418 73 90 44600 4430 12880 82049 101 24810 6380 30192 0569 表3的中间三列显示分行1和8的当年经营业绩最佳 相比较而言 这两个分行在使用公共交易系统 中获益更多 因此如表3最后一列显示 它们的分摊成本额排在前两位 相比较而言 分行9的经营业绩最 差 因此分摊的成本额也最少 4 结束语 本文考虑了各个决策单元之间的博弈关系 提出了一种基于DEA与联盟博弈的固定成本分摊研究的 方法 通过和文献 6 8 方法得出的结果比较分析 本文方法得到的结果具有较高的可操作性和一定的合 理性 各DMU对最终分摊方案都能接受 因此 本文的方法可以为固定成本分摊问题提供可行的决策参考 方案 为决策者提供较为有效的决策支持 参考文献 1 Charnes A Cooper W W Rhodes E Measuring efficiency of decision making units J European Journal of Operational Research 1978 2 429 444 2 Cooper W W Seiford L M Kaoru T one Data Envelopment Analysis M Boston K luwe Academic Publishers 2000 3 Adler N Friedman L Sinuany2Stern Z Reviewof ranking methods in the data envelopment analysis context J EuropeanJournal of Operational Research 2002 140 2 249 265 4 Bouyssou D Using DEA as a tool for MCDM Some remarks J Journal of the Operational Research Society 1999 9 974 978 5 Joe Zhu Quantitative Models for Performance Evaluation and Benchmarking DEA with Spreadsheets and DEA Excel Solver M Boston K luwer Academic Publishers 2003 6 Cook W D Kress M Characterizing an equitable allocation of sh