江苏省常州市溧阳市高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：每小题5分，满分70分只需直接写出结果1已知全集u=r，a=x|x0，b=x|x1，则集合u（ab）=2命题“x0r，”的否定是 3若，则cos2=4已知，则的值为5已知a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则=6已知函数是奇函数，则常数a=7已知o为坐标原点，a（1，1），c（2，3）且，则的坐标是8已知f（x）=log0.5x，且f（1a）f（2a1），则a的取值范围是9在abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=，b=，则abc的面积为10已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，sn为an的前n项和，nn*，则s10的值为11已知sin（+2）sin（2）=，则2sin221=12已知f（x）=，其中a，b为常数，且ab2若f（x）f（）=k，k为常数，则k的值为13已知等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为sn，记数列log2an的前n项和为tn，若a1，且=9，则当n=时，tn有最小值14定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：若a0，b0，则ln+（ab）=bln+a；若a0，b0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；若a0，b0，则；若a0，b0，则ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有（写出所有真命题的序号）二、解答题：分值90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2xsin2x1（xr）（）求函数y=f（x）的周期和递增区间；（）若x，求f（x）的取值范围16已知等比数列an的前n项和为sn，且5s1，2s2，s3成等差数列（1）求an的公比q；（2）当a1a3=3时，证明：数列sn1也是等比数列17已知向量，的夹角为，|=2，|=1， =t， =（1t）（1）当=时，若opq为直角三角形，其中p=，求t的值；（2）令f（t）=|，若f（t）在t=t0（0t0）时取得最小值，求的取值范围18某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xn*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量m（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围19已知函数f（x）=exa（x1），其中，ar，e是自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知br，若函数f（x）b对任意xr都成立，求ab的最大值20若数列an满足条件：存在正整数k，使得an+k+ank=2an对一切nn*，nk都成立，则称数列an为k级等差数列（1）已知数列an为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an=2n+sinn（为常数），且an是3级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列an的前3n项和s3n；（3）若an既是2级等差数列an，也是3级等差数列，证明：an是等差数列2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，满分70分只需直接写出结果1已知全集u=r，a=x|x0，b=x|x1，则集合u（ab）=x|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：a=x|x0，b=x|x1，则ab=x|x1或x0则u（ab）=x|0x1，故答案为：x|0x1【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2命题“x0r，”的否定是 xr，2x0【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】利用含量词的命题的否定形式：将改为，将结论否定，写出命题的否定【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题“x0r，”的否定是“xr，2x0”故答案为“xr，2x0”【点评】本题考查含量词的命题的否定形式是：“”与“”互换，结论否定3若，则cos2=【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦【分析】由sin（+）=cos及cos2=2cos21解之即可【解答】解：由可知，而故答案为：【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用4已知，则的值为15【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题【分析】令12x=得x=；再把代入即可求出结论【解答】解：因为，令12x=得x=所以f（）=15故答案为：15【点评】本题主要考察函数的求值解决本题的关键在于令12x=得x=，进而求出结论当然也可以用换元法先求出解析式，再把代入5已知a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则=4【考点】等比数列的通项公式【专题】整体思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由题意可得： =4，故答案为：4【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知函数是奇函数，则常数a=【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题【分析】由已知中函数是奇函数，我们根据定义域为r的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，解方程即可求出常数a的值【解答】解：若函数是奇函数由于函数的定义域为r则=0即a+=0解得a=故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据定义域为r的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，是解答本题的关键7已知o为坐标原点，a（1，1），c（2，3）且，则的坐标是（4，7）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；平面向量及应用【分析】设出点b（x，y）的坐标，跟军条件将向量用坐标表示出来，利用向量相等建立x，y的方程求出x，y的值，即得点b的坐标，再选出正确选项【解答】解：设b（x，y），a（1，1），c（2，3）且，2（1，2）=（x2，y3），解得，则b（4，7），即=（4，7），故答案为：（4，7）【点评】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量相等的应用，解题的关键是求出各个向量的坐标，再根据向量相等建立方程组求出所引入的参数8已知f（x）=log0.5x，且f（1a）f（2a1），则a的取值范围是【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式组，要注意真数大于零【解答】解：因为函数y=log0.5x是定义域内的减函数所以由题意得解得故答案为【点评】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式的问题，要注意不能忽视定义域9在abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=，b=，则abc的面积为【考点】正弦定理【专题】计算题；分类讨论；分析法；解三角形【分析】由a，b及cosb的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c及sinb的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形abc的面积【解答】解：由余弦定理b2=a2+c22accosb得：7=4+c22c，即（c3）（c+1）=0，解得：c=3或c=1（舍去），则sabc=acsinb=23=故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键10已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，sn为an的前n项和，nn*，则s10的值为110【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得a1的方程，解方程得a1代入等差数列的求和公式可得【解答】解：an为等差数列，其公差d=2，且a7是a3与a9的等比中项，（a112）2=（a14）（a116），解得a1=20，s10=10a1+d=110故答案为：110【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题11已知sin（+2）sin（2）=，则2sin221=【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；三角函数的求值【分析】已知等式利用积化和差公式化简，整理求出cos4的值，原式变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，即可求出值【解答】解：已知等式化简得：（coscos4）=，整理得：cos4=，则原式=（12sin22）=cos4=，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键12已知f（x）=，其中a，b为常数，且ab2若f（x）f（）=k，k为常数，则k的值为【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意分别得到f（x）和f（）的解析式，算出f（x）f（）化简后等于k，根据分式的性质得到k即可；【解答】解：由题可知：f（x）f（）=k则根据分式的性质得： =k，即k=；故答案为：【点评】此题考查学生理解函数的定义，以及合分比性质的灵活运用，难度中档13已知等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为sn，记数列log2an的前n项和为tn，若a1，且=9，则当n=11时，tn有最小值【考点】等比数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得tn，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：q=1不满足条件，舍去=9， =1+q3=9，解得q=2，log2an=log2a1+（n1）tn=nlog2a1+=+n，a1，log2a1log22016，log21949，=，1024=210194920162048=211，当n=11时，tn取得最小值故答案为：11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：若a0，b0，则ln+（ab）=bln+a；若a0，b0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；若a0，b0，则；若a0，b0，则ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假【解答】解：（1）对于，由定义，当a1时，ab1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a1时，ab1，故ln+（ab）=0，又a1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故正确；（2）对于，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）ln+a+ln+b，故错误；（3）对于，i1时，此时0，当ab1时，ln+aln+b=lnalnb=，此时则，命题成立；当a1b0时，ln+aln+b=lna，此时，lna，则，命题成立；当1ab0时，ln+aln+b=0，成立；ii1时，同理可验证是正确的，故正确；（4）对于，当a1，b1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），a+b2ab=aab+bab=a（1b）+b（1a）0，a+b2ab，ln（a+b）ln（2ab），ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当a1，0b1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），a+b2a=ba0，a+b2a，ln（a+b）ln（2a），ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当b1，0a1时，同理可证ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当0a1，0b1时，可分a+b1和a+b1两种情况，均有ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2故正确故答案为【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错二、解答题：分值90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2xsin2x1（xr）（）求函数y=f（x）的周期和递增区间；（）若x，求f（x）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（i）利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间，求出此函数的增区间；（ii）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的性质求出函数的最大值和最小值【解答】解：（1）由题设f（x）=2sinxcosx+cos2xsin2x1=sin2x+cos2x1=，则y=f（x）的最小正周期为：由2k2x+2k+（kz）得kxk+，kz，y=f（x）的单调递增区间为：k，k+（kz），（2）由x，可得考察函数y=sinx，易知于是 故y=f（x）的取值范围为：3，1【点评】本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的性质应用，属于中档题，16已知等比数列an的前n项和为sn，且5s1，2s2，s3成等差数列（1）求an的公比q；（2）当a1a3=3时，证明：数列sn1也是等比数列【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）由5s1，2s2，s3成等差数列，可得4s2=s3+5s1，化为q23q+2=0，解得q（2）当a1a3=3时，q1，可得：a1（122）=3，解得a1求出sn，证明当n2时， =常数（非0）即可【解答】（1）解：5s1，2s2，s3成等差数列，4s2=s3+5s1，化为4a1（q+1）=，q23q+2=0，解得q=1或2（2）证明：当a1a3=3时，q1，可得：a1（122）=3，解得a1=1sn=12n，当n2时， =2，数列sn1也是等比数列，首项为2，公比为2【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17已知向量，的夹角为，|=2，|=1， =t， =（1t）（1）当=时，若opq为直角三角形，其中p=，求t的值；（2）令f（t）=|，若f（t）在t=t0（0t0）时取得最小值，求的取值范围【考点】平面向量数量积的运算【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】（1）运用向量的数量积的定义可得=1，由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到t；（2）由向量的运算可得|2=（5+4cos）t2+（24cos）t+1，由二次函数可得0，解不等式可得cos的范围，可得夹角的范围【解答】解：（1）当=时， =21cos=1，=t （1t）t=t（1t）t22=t5t2，由题意可得oppq，可得=0，即t5t2=0，解得t=（t=0舍去）；（2）由题意可得=21cos=2cos，=（1t）t，|2=2=（1t）22+t222t（1t）=（1t）2+4t24t（1t）cos=（5+4cos）t2+（24cos）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0，解得cos0，即的取值范围为（，）【点评】本题考查数量积的定义和性质与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属于中档题18某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xn*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量m（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1x16，xn*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量m（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0mxx10+1030（1x16，xn*），分离参数求最值，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，20=，2p=100，y=10（1x16，xn*），油库内储油量m=mxx10+10（1x16，xn*）；（2）0m30，0mxx10+1030（1x16，xn*），（1x16，xn*）恒成立；设=t，则t1，由（x=4时取等号），可得m，由20t2+10t+1=（x16时取等号），可得m，m【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键19已知函数f（x）=exa（x1），其中，ar，e是自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知br，若函数f（x）b对任意xr都成立，求ab的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出a=1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a0时，当a0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2lna）b，则aba2（2lna），令t=a2（2lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex+x1的导数为f（x）=ex+1，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为ye=（e+1）（x1），即为（e+1）xy1=0；（2）函数f（x）=exa（x1）的导数f（x）=exa，当a0时，f（x）0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（，+）；当a0时，f（x）0，解得，xlna，f（x）0，解得，xlna即有f（x）的增区间为（lna，+），减区间为（，lna）；（3）由（2）可得，a0时，f（x）递增，无最值；当a0时，f（x）在（，lna）上递减，在（lna，+）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为aa（lna1）=a（2lna）函数f（x）b对任意xr都成立，则有a（2lna）b，则aba2（2lna），令t=a2（2lna），则t=2a（2lna）a=a（32lna），当0a时，t0，t递增；当a时，t0，t递减则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2）=e3则ab的最大值为e3【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查构造函数运用导数求最值的思想方法，考查运算能力，属于中档题20若数列an满足条件：存在正整数k，使得an+k+ank=2an对一切nn*，nk都成立，则称数列an为k级等差数列（1）已知数列an为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an=2n+sinn（为常数），且an是3级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列an的前3n项和s3n；（3）若an既是2级等差数列an，也是3级等差数列，证明：an是等差数列【考点】等差数列的性质；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可