高中数学奥赛辅导：不等式专题讲义.pdf

提升数学能力 培养数学思维 高中数学奥赛辅导资料系列 1 不等式不等式 知识梳理 知识梳理 1 不等式的概念与性质 要注意不等式性质成立的条件 2 基本不等式 1 利用基本不等式证明不等式 2 运用基本不等式求值 和定积最大 1 不等式的概念与性质 要注意不等式性质成立的条件 2 基本不等式 1 利用基本不等式证明不等式 2 运用基本不等式求值 和定积最大 2 2 ab ab 积定和最小 积定和最小 2abab 运用重要不等式最值要注意满足三个条件 正 定 等 即 运用重要不等式最值要注意满足三个条件 正 定 等 即a b都是正数 和或积是定值 都是正数 和或积是定值 a 与与b能相等 补充 均值不等式 设 能相等 补充 均值不等式 设 n aaa 21 是是n个正实数 记个正实数 记 n n aaa n H 111 21 n nn aaaG 21 n aaa A n n 21 n aaa Q n n 22 2 2 1 他们分别称为他们分别称为n个正数的调和平均数 几何平 均数 算术平均数 平方平均数 这四个平均数具有如下关系 个正数的调和平均数 几何平 均数 算术平均数 平方平均数 这四个平均数具有如下关系 nnnn QAGH 上式等号成立的条件是 上式等号成立的条件是 n aaa 21 3 不等式的证明 综合法 分析法 换元法 三角换元法 构造 方程 函数 法 放缩法 反证法 4 不等式的解法 3 不等式的证明 综合法 分析法 换元法 三角换元法 构造 方程 函数 法 放缩法 反证法 4 不等式的解法 一元一次不等式 一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了 一元一次不等式 一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了 对于分式不等式 对数不等式 指数不等式 我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已 学过的知识解答 对于分式不等式 对数不等式 指数不等式 我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已 学过的知识解答 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论 一元高次不等式用根轴法 一元高次不等式用根轴法 解不等式的方法中 尤其需要注意的是换元法 图象法 根轴法 5 不等式的综合应用 1 应用基本不等式求最值 和一定 积最大 积一定 和最小 2 有解 与 恒成立 问题 3 应用不等式求值范围 在与解析几何的综合考查中较常见 解不等式的方法中 尤其需要注意的是换元法 图象法 根轴法 5 不等式的综合应用 1 应用基本不等式求最值 和一定 积最大 积一定 和最小 2 有解 与 恒成立 问题 3 应用不等式求值范围 在与解析几何的综合考查中较常见 例题选讲例题选讲 例例 1 若若 yyxx 3 log 3 log 3 log 3 log 5252 则下列关系成立的是 则下列关系成立的是 A 0 yx B 0 yx C 0 yx D 0 yx 例例 2 若关于 若关于x的不等式的不等式 2 2xax 至少有一个负数解 则实数至少有一个负数解 则实数a的取值范围是的取值范围是 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 提升数学能力 培养数学思维 高中数学奥赛辅导资料系列 2 例例 3 在算式 4 9 的 和 中分别填入两个正整数 使它们的倒数之和的最小值为 在算式 4 9 的 和 中分别填入两个正整数 使它们的倒数之和的最小值为 6 5 则正整数 的值为 则正整数 的值为 例例 4 解关于 解关于x的不等式的不等式 1 10 2 a x a x 例例 5 1 已知 已知1 222 cba 求证 求证 1 2 1 cabcab 2 已知 已知21 22 yx 求证 求证 3 2 1 22 yxyx 3 设 设1 cba 1 222 cba 且 且cba 求证 求证 0 3 1 c 4 已知 已知 ABC 的三边长是的三边长是cba 且 且m为正数 求证 为正数 求证 mc c mb b ma a 例例 6 证明 证明 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 mmm 2 4 71 3 1 2 1 1 222 n 3 n n n2 1 3 1 2 1 1 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 提升数学能力 培养数学思维 高中数学奥赛辅导资料系列 3 例例 7 已知两个函数 已知两个函数kxxxf 168 2 452 2 xxxg其中其中k是实数 是实数 1 对任意 对任意 3 3 x 都有 都有 xgxf 成立 求成立 求k的取值范围的取值范围 2 存在 存在 3 3 x 使 使 xgxf 成立 求成立 求k的取值范围的取值范围 3 对于任意的 对于任意的 3 3 21 xx 都有 都有 21 xgxf 成立 求成立 求k的取值范围的取值范围 练习巩固练习巩固 1 已知正数1 已知正数cba 满足满足3 cba 则 则181818 cba的最大值为 的最大值为 A 9 B 33 C 16 D 34 2 xaxa 24 3 2 对对 1 0 a恒成立 则恒成立 则x的取值范围是的取值范围是 3 Mn n 3 4 5 为正整数 若为正整数 若 a b c 且对满足条件的任意且对满足条件的任意 a b c 都有都有 cbba 11 ac M 3 0 时 时 M3的最大值为的最大值为 若 若 a1 a2 a3 an n 3 4 5 且对满足条件的任意 且对满足条件的任意 an都有都有 3221 11 aaaa 1 aa M n n 0 则 则 Mn的最大值为的最大值为 4 解下列不等式 4 解下列不等式 1 1 3 4 1 2 x xxx 0 2 解关于x的不等式 2 110axax 5 已知 5 已知a 0 解关于 0 解关于 2 2 1 ax xx ax 的不等式 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 提升数学能力 培养数学思维 高中数学奥赛辅导资料系列 4 6 1 已知 已知 a b c 是不全相等的正数 求证 是不全相等的正数 求证 cbalglglg 2 lg 2 lg 2 lg accbba 2 已知 已知0 a 0 b 2 33 ba 求证 求证 2 ba 1 ab 3 若 若a 0 求证 求证 22 11 2 2 a a a a 4 已知 已知0