江西乐安一中高二数学 25直线与平面平行的判定和性质培优教案.doc

直线与平面平行的判定和性质 基础知识 直线与平面 直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线和平面相交 直线和平面平行 定义 判定定理 性质定理 学习指导 1如何深刻理解直线与平面的三种位置关系？直线不和平面平行就一定相交吗？直线和平面有三种位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交，为进一步深刻理解这三种位置关系，我们可以按两种不同的分类标准采用二分法（把研究的对象分成互不相容的两类，每个对象都属于其中一类且仅属于这一类）进行分类，即 直线在平面内 直线和平面相交 直线不在平面内 直线和平面平行 直线和平面平行直线不和平面平行 直线在平面内 直线和平面相交 所以，直线不和平面平行不一定就是相交，应包括直线和平面相交，直线在平面内两种情况.2“一条直线和一个平面内的一条直线平行，则这条直线和平面平行”对吗？为什么？不对.为判定一条直线和平面平行，根据定义推证了判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用这个定理来判定直线l平面时，必须符合定理中的三个条件：（1） 直线l在平面外（l）；（2） 直线a在平面内（a）；（3） 直线l平行于直线 a（la）.这三个条件缺一不可，如缺条件（1）时直线l不一定和平面平行，它们的位置关系有两种：直线l在平面内，直线l平行于平面.3运用反证法“怎样才算归结到谬误，导出矛盾”呢？运用反证法证题中从“假设出发，推理导出矛盾”通常有以下几种不同途径：（1） 导出结果与所作假设矛盾；（2） 导出结果与已知条件矛盾；（3） 导出结果与已知公理、定义、定理相矛盾；（4） 导出结果之间互相矛盾.4至此为止，已学习了哪些证明“平行”的定理?证明“平行”的常用思维方法是什么？（1） 空间两条直线平行的判定：平行于同一直线的两条直线平行； 直线和平面平行的性质定理：若一直线平行于一个平面，过该直线的平面与已知平面相交，则该直线与其交线平行（线面平行，则线线平行）.（2） 直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定定理： 若平面外一条直线与平面内一条直线，则该直线与这个平面平行（线线平行，则线面平行）.证明“平行”常用的思维方法，就是“线线平行”与“线面平行”的相互转化，即直线和平面平行的判定定理 线线平行 线面平行直线和平面平行的性质定理例题精析例 1.经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面和另一条直线平行.已知：a，b是异面直线.求证：经过b有一个平面并且只有一个平面和a平行. 分析此题需分二步证明,一先由线线平行得出经过b有一个平面和a平行；二再证明唯一性.证明如图3-1，在b上任取一点a，经过a作直线aa，a和b是相交直线，a，b可确定一个平面.aa，a平面.经过b有一个平面和a平行；再证明经过b且与a平行的平面只有一个.如果平面经过直线b且与直线a平行的平面，那么经过直线b上一点a和直线a可以确定一个平面和平面的交线与a平行.经过点a只能有直线a的一条平行线，这条交线就是a.平面必定是直线b和a所确定的平面，平面和平面重合，经过b只有一个平面和直线a平行.解题后的点拨本题证明唯一性的方法叫做同一法，它是一种间接证法.同一法常用于证明图形具有某种性质，它的一般步骤为：（1） 作图 作出符合命题结论的图形;（2） 合一 利用唯一性的公理、定理，证明所作的图形与已知图形相重合；（3） 判断 断定原来命题结论的正确性. 例 2.如图3-2，p是平行四边形abcd外一点，o为ac和bd的交点，e、f分别是pb、pc的中点.试判断oe、of、ef分别与哪些平面平行，并加以证明. of 分析因o，e，f均是线段的中点，由三角形中位线定理可得两线平行，进而推得线面平行.解（1）oe平面pad，oe平面pcd.ac，bd是abcd的对角线，bo=do.pe=be，oepd.pd平面pad，pd平面pcd，oe平面pad，oe平面pcd，oe平面pad，oe平面pcd.（2）of平面pab，of平面pad.ac，bd是abcd的对角线，ao=co.又pf=cf，ofpa.pa平面pab，pa平面pac，of平面pab，of平面pad，of平面pab，of平面pad. ef平面abcd,ef平面pad.（3）pe=be，pf=cf，efbc，bcad，efad.bc平面abcd，ad平面pad，ef平面abcd，ef平面pad，ef平面abcd，ef平面pad.解题后的点拨在使用直线和平面平行的判定定理时，需注意下述两点：（1） 平面外的一条直线一定要平行于平面内的一条直线；（2） 平面内的一条直线可以是任意的，只要能在平面内找一条与平面外一条直线平行，就可以证明平面外一条直线与平面平行. 例 3. 如图 3-3，已知直线a平面m，直线a平面n，mn=b.求证：ab.分析由已知的线面平行可得线线平行，进而证明ab.abmnabcd图 3-3证明在平面m内任选一点a，在图3-3平面n内任选一点b，则由a与a，a与b可以分别确定平面，.设平面平面m=c，平面平面n=d.a平面m，a平面n，ac,ad,cd.c平面m，d平面m. 平面m平面n=b，b平面m,db.ad,ab.解题后的点拨本题可以归纳如下结论：如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行.巩固提高（一） 选择题 1直线ab，a平面，则b与平面的位置关系为（ ）.（a）ba （b）b（c）b （d）都有可能 2如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ）. （a）平行 （b）相交 （c）相交或平行 （d）以上都不对 3在下列说法中 （1）若直线ab，b平面，则a； （2）若直线a，b，则有ab； （3）若直线ab，直线a，则b； （4）若直线a，b，则有ab. 其中正确的是（ ） （a）（1）（4） （b）（1）（3） （c）（2） （d）均不正确 4若一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线（ ）（a） 必与该平面无公共点；（b） 必与该平面不相交；（c） 必不在该平面内；（d） 该直线与这平面平行.5下列命题正确的是（ ） (a)过一点作一直线的平行平面有无数多个； (b)过平面外一点，作一平面的平行直线有无数多条； (c)过一点作一直线的平行直线有无数条； (d)过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行.6.直线是平面的斜线,当与成的角,且与在内的射 影成角时,与所成的角是( ) (a) (b) (c) (d)（二） 填空题aa1bb1dcc1d1图3-4 7在正方体abcd-a1b1c1d1中，如图3-4：（1）平面aa1c1c与平面bb1d1d的交线和棱aa1的位置关系是 ；（2）截面b1ac和a1d的位置关系是 . 8a是两异面直线a，b外的一点，过a可作 个平面同时与a, b平行. 9如图3-5，a,a是的另一侧的点，b，c，da，线段ab，ac，ad交于e，f，g，若bd=4，cf=4，af=5，则eg= . 10从平面外一点p向平面m引两条斜线pa,pb,a,b为斜足,如果pa,pb与平面m所成的角分别是,则 . 11.在abc中,ab=5,ac=7,a=60,g是重心,过g的平面与bc平行,ab=m,ac=n,mn= .(三)解答题:md 12.设a，b是异面直线，ab是a，b的公垂线，过ab的中点o作平面与a，b分别平行，m，n分别是a，b上的任意两点，mn与交于点p.求证：p是mn的中点. 13.已知,a,求证: 14如图3-6长方体abcd-abcd中，点pb（不与bb重合），paba=m，pcbc=n，求证：mn平面abcd.15如图3-7，两个全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab，mac，nfb，且am=fn.求证：mn平面bce. 16.如图3-8,是异面直线,是的公垂线,垂足分别是平面过的中点且与都平行,分别是上的点,交平面于. (1)求证: (2)若,问等于何值时,的长为5.自我反馈（一） 选择题 1d.如图依次为ba，b，b三种情况.abaaab图 3-8b图3-9a2c.如图所示： 3d.（1）结论为“a或a”；（2）a与b的位置关系为平行、异面或相交；（3）结论为“b或b”；（4）a与b的位置关系为平行、异面或相交.4b.无公共点是指线面平行；不相交是指线面平行或线在面内.5b.a错，点不在线上；c错，点在线外；d错，有可能经过另一条直线.6. b.如图3-10,于,于b,连结则设即为与所成的角,（二） 填空题7（1）平行.因为aa1平行于bb1，所以aa1平面bb1dd，从而aa1平行于平面aa1c1c和平面bb1d1d的交线；（2）平行.因为a1db1c，所以a1d平面b1ac.8. 一个或没有.因为过a点分别作a，b的平行线只能作一条（分别称为a,b），经过a，b的平面也是唯一的，所以只能作一个平面，还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了.9.a，eg=平面abd.aeg.，则eg=10.如图3-11,作为垂足,则在中, 在中,则11.根据余弦定理，bc2=ab2+ac2-2abaccosa=39，bc=. bc，mn=平面abc， mnbc. g是abc的重心， mn=.abmnqopb图 3-12a （三）解答题 12连结an交平面于q，连结oq，pq， b，oq是过b的平面abn与平面的交线. oqb， 同理pq. 在abn中，o是ab的中点，oqbn, q是an的中点, 同理：p是mn的中点.13.证明：过作平面交平面于 ， 同理过作平面交平面于 ，又平面经过交于 14连ac、ac， abcd- abcd是长方体 acac，ac在平面bac外，ac在平面bac内, ac平面bac，且平面pac经过ac与平面bac交于mn， mnac. mn在平面abcd外，ac在平面abcd内mn平面abcd.15.设两个正方形边长为a，am=fn=x，作mpbc，nqbe，p，q为垂足，mpab，nqab，mpnq.nq=n pnq ，即mpqn是平