华理高数全部复习资料之 微分方程.doc

第9章 微分方程内容提要一.基本概念1.微分方程:表示未知函数及其导数与自变量之间的关系的方程,称为微分方程.2.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.3.微分方程的解:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数,称为微分方程的解(这个函数的图形,称为该微分方程的积分曲线).4.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,那么这样的解称为微分方程的通解.5.微分方程的初始条件:确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件.6.微分方程的特解:不含有任意常数的微分方程的解,称为微分方程的特解.二.微分方程的类型及其解法1.一阶微分方程方程类型标准形式求解方法变量可分离齐次型方程令,代入得,再分离变量一阶线性微分方程方法一:常数变易法方法二:公式法贝努利方程令化为一阶线性方程后再求解2.高阶微分方程 (1)可降阶的高阶微分方程.典型形式求解方法两边经过次积分即可(不显含未知函数)令得为一阶微分方程，再求解(不显含自变量)令得为一阶微分方程，再求解(2)二阶线性微分方程的解结构 记二阶线性微分方程(1)对应的齐次方程为(2)若为(1)的一个特解,为(2)的两个线性无关的特解,则为(2)的通解为(1)的通解.注:对于阶线性微分方程的解结构也有类似结论.(3)二阶常系数线性齐次微分方程的解法 (3) 首先写出对应于该方程的特征方程 解此方程，求出两特征值,根据的不同情形按下表写出通解.通解两个不相同的实根两个相的实根一对共轭复根(4) 阶常系数线性齐次微分方程的解法以上结论可推广至阶常系数线性齐次微分方程(4)其中为常数.根据特征方程的根的四种情况,分别写出对应的解：a) 为特征方程的单重实根,(4)有相应的一个解b) 为特征方程的重实根, (4)有相应的个解c) 为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解d) 为特征方程的重共轭复根,(4)有相应的2个解 若记以上求出的个解为,则（4）的通解就是(5)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法(5)其中为常数. 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程(3)的通解,再求出(5)的一个特解,则(5)的通解为而的求法如下:当为某些特殊类型函数时,用待定系数法求.a) ,其中为常数,为的次多项式则可设(5)的特解为(6)其中为与同次的多项式.将(6)代入(5)比较系数可求出,从而求出.b) 其中均为常数, 分别为次, 次多项式.则(5)的特解可设为(7)其中为次多项式,将(7)代入(5)比较同类项系数可求出,从而求出.复习指导：第9章 微分方程学习指导一 解微分方程的方法解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始条件代入通解，确定任意常数，得到特解。求通解时首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同的方法去解。所学的微分方程分类如下一阶微分方程变量可分离: 齐次型方程: 一阶线性微分方程: 贝努利方程: 高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 (不显含未知函数) (不显含自变量)常系数线性微分方程常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程常系数线性非齐次微分方程(二阶)的情况, 其中为常数,为的次多项式的情况, 其中均为常数, 分别为次, 次多项式.注: 另外还有一种全微分方程，将在下册讲授.二 微分方程的应用题解微分方程的应用题分两步： a) 根据具体问题建立微分方程：对于几何问题一