试论犁体曲面的微分几何性质及其基本数学模型.pdf

992 年 9 月 农业机械学报 第2 3卷第 3 期 试论犁体曲面的微分几何性质 及其基本数学模型 丛明墉蒋淑清 摘要 根据犁耕中犁体 曲面对土塑的导向约束原理 土生在 曲面上不自锁条 件及 曲面的 微分几何性质 研 究得 出犁体曲面 形成的一般规律应 是 高斯曲率K 0 满足此条件的曲面可 有多种 但在实用上和工 艺上最简单的才是 最合理 的 据此得出直纹和负 常曲率两类曲面可作 为犁体 曲面的基本模型 文 中分析了生产 上应用较多 的直纹面 并推荐了伪球面 关键词犁体 曲面 微分 儿何 高斯曲率 导向约束 数学模型 1 犁体曲面完成耕翻的基本 条件 犁体曲面要完成耕翻 工作 必须保证 土 华在犁体 曲面上各处均不自锁 即能滑动 桦面对土华 有 导向约束 作用 即按传统观点应满足 三面楔 角 a 刀和 丫的发展变化 要 求 根据摩擦原理 曲面上 的土壤微粒受到某向推力作用时 如果推力与作用点处曲面 法线的夹角在摩擦锥内 则必处于自 锁状态 若作用力在摩擦锥外 则土粒才可能沿作用 力在该点 曲面的切 平面 s 上 的投影 方向有滑动 的趋势 见图 1 至于能 否滑动 还 要看曲面上该点邻域 的微分 几何性质 而定 图 1 土粒滑动趋势 F19 1Th eslidin g tr en d of5 011 Pa rtie le s 2 曲面上 一点邻域的结构对土攘的约束性质 根据微分几何原理 曲面上一点邻域的结构 决定于该点的微分几 何性质 曲面 上的点 按杜潘 D u Pin 标 线和 高斯 G a u 曲率可 分为以下4种 情况 椭圆点 K OR LN 一 M Z 0 的点 抛物点 K O R LN 一 M Z o 的点 双曲点 K O R LN 一 M Z o K 一与 K Z 同 号 洽所有方 向曲面都 俨 飞 图2曲面上一点邻域的结 构 F19 2N eig h bo rhoodof a 椭 圆点 b a Point 抛物点 on lh esurfae e c 双曲 点 什么方 向作用 在作 用点的邻域内都容易发 生自锁现象 在 自锁条件下 土粒 不能沿曲面滑 移 必然发生 粘土现象 破坏 曲面的 原有状态 不能满足犁耕要求 因此 椭圆点一般不 适 合作为 犁体 曲面的组成元素 抛 物点邻域 的结构如图Z b 所示 由于K 二 K K Z 0 K 或K 必有一个为零 除 了 在 渐近方 向 K 二 0 外 曲面都 向同一侧弯曲 近 似于柱面 只有一个渐近 方 向 它 与一个 主 方向重合 也分 为凸 凹两面 如前述凸面一般不适于犁面要求 东北地区的垄作犁桦是凸 面工作 但 用于扣种或 中耕培土时 也要另外加装犁碗子 或分土板等 但因有渐近方向存在 把曲面分 成两 个区域 总有不 易发生自锁的方向存在 可提供一定的导向与发展条件 因此 抛物点可作为犁体曲面的组成元素 双 曲点邻 域 的结构如 图Z C 所示 因K K IKZ o K 与K Z 异 号 有两 个渐近方向 曲 面 向该点 切平面的两 侧弯曲 近似于双 曲抛 物面 两个 渐近 方向把曲面 分成凸 凹相间的四 个区域 对任何方向 的作 用力都不易 发生自锁现象 可 提供较好的 导向 一与 发展 条件 且曲面 的法向反力对土壤 有离散作用 碎土性能好 因此 双曲点较适合于作为 犁体曲面 的构成元 素 对于脐点 K K 二 K Z 各方 向都是 主方向 它是特殊 曲面上 的点 或者是曲面上的 个别点 平点为平面点 圆点为球面点 其它为杜潘标线成高次曲线的 点 在一般情况下不 适合于用来构成犁体曲面 曲面对土壤的 浮向作用 根据 微分几何中的定理 还表现在 如果只受曲面的约束 质点 在曲面 L将 沿着测地线运动 此 点在研 究土华 沿曲而 运动的轨迹时 将 有重 要作用 3 犁体曲面形成的基本数学模型 根据以 L分析 犁体曲面上的点 都应满足其高斯曲率小于或等于零的条件 即 第 3 期 试 论犁体曲面的微分几何性质及其基 本数学模型 K LN 一 M Z 万不与厂 0 3 上式可作为形成犁体曲面 的基本规律 但满足此规律 的 曲面可 有多种 然而根 据实 用和工 艺性要求 最 简单的才是 最合理 的 可以证 明 直纹面可完全满足 3 式 因此 直纹 面可作 为犁 体曲面 的基本数学模型 的类型之一 这 一论断已由实测大 量优秀犁体所证实 目前生产上广泛采用的水平 和倾斜动线法 所形成的犁面 都是 直纹 面 为此下 面讨论直纹面 的一般方程 及其性质 在曲面上取一条导曲线 c 其参数方程为 一一 一一一一一 面 旦巴些 声 州岁解二二二 井 万 岁 图 3 Fig 3 户二户 u 直 母线 沿导曲线移动而 形成曲面 如图3 设 丈 4 为直母 线 的单位矢 量 直纹面的形成 F o rmofr u led surfa ee 直 母线与导曲线 的交 点 户 u 到直母 线上尸 v 点的距离为 v 则向径 尸可 表示成 产 二 户 u v 又 u 5 上式即为直纹 面 刀 以 U 为参量的矢量方程 它 可作为直纹 犁体曲面 的基本方程 只 要给 出导曲线方程 户 户 和直 母线 的单位 矢量方程丈 丈 曲面 就已确定 在上式中 当 u 固定 u 0 时得 曲线 产 v 户 u v 又 u 6 上 式显然 当 u 取不 同值时为一族直母线 当 固定 v二 时得 u 曲线 产 u 户 又 7 上 式为曲面上 沿 五 u 方向与c 等距 的曲线族 在 这里式 6 7 组成曲面上的曲纹坐 标 网 为 了考查曲面 的性 质 要计算其高斯曲率 为此 由 5 式得 产 户 产 v 几产 产 又 u 户 户 I 又l u 产 又 u 产 t 二 0 8 9 1 0 11 12 曲面 上第一 类基本量为 E 产二宁 户 产 2 v户 尹 T 二 r r 犷 户 产 丈 又十 v 只 几 v又 2 只 13 1 4 15 FG 曲面 L一点的单位法向矢量为 户 了x 又 v又产x 又 甲 E G 一 尸 16 一 r 一 州 X X 山r一洛r 一 一 盛 n 曲面的第二类基本量为 农业机 械 学 报 19 92 年 L 户 流 丈 1 1 支 丈 户 l 支 丈 丈 I 产 丈 户 l 户 支 17 18 19 高斯曲率为 LN 一 M Z EC一F Z 又产 声 产 又 E G 一F Z 适合于作为犁体曲面 2 0 上 式表 明 直纹面上处处满足K 镇 的条件 根据 2 0 式还可分为以下两种情况 分 澎 扔 一 的情况 此 时分 户 和丈 共 面 所以 丈 x 补 户 x 扔 由 16 式可 知 曲面 的法向矢量介不 随 v 而变化 即沿直母线只有一个共同的切平面 又由 9 式知户 欢 所以沿 产 方 向就 是直母线方向 其 曲率为零 根 据默尼埃 M eu n i er 定理K 二 K c o so o 其法截线就是直 母线 它既是 渐近方向又是主方 向 由 20 式知 此 时高斯曲率K 二 K K Z二 o 曲面完全 由抛物点构成 由微分儿何可 知 此时曲面是可展的 这在制造工 艺上具有方便性 此外 这 种曲而还 可分为 以下3种情况 第一 户 u 0 此时 户 u 为常矢 5 式中 的 导 曲线化为一点 曲面变成 锥面 图4 a 第二 又产 二 0 则 只 为常矢 此时 5 式曲面 化为柱面 图4 b 第三 户 产 u 产又 此 时 声毋 F19 1 月4可 展直纹面 Th e d eve loPable 锥 面 1 柱面 r u led s urfaee 切线 曲而 5 式曲面化为导曲线c的切线曲面 图4 C 在 生产上锥面和柱面都有 应用 但切线曲面尚未见有报道 值得作进一步研 究 分 澎 补笋 的 情况 这 时 分 澎 和 戈 不 共 面 因此 澎 欠 补次 分 x 幻 由 16 式 可知 五随着 而变 化 也 即在直母 线上没有共同的切平面 切平面 沿着直母 线随着 的变化而绕直母 线转动 由 20 式知 此时高斯曲率K K I K Z K 与K Z 异号 曲面 完全 由双曲点构成 并且 曲面 是不 可展 的 此 时 9 式仍成立 直母线也 是曲面法截线 根据欧拉公式 2 有 兀 K eo 20 兀 2 i nZ 二 o 21 由此得 l一丽丁 f 土 arct g l 一不二一 丫 了 2 上式表明 存在着一对共扼的渐近方向 在这 种情况下 由 于 只 可能是锥面 柱面或切线曲面 22 户 只 沪 所以曲面不 第 3 期 试论犁体曲面的微分儿何性质及其基本 数学模型 2 9 完全由双曲点构成的曲面有双曲抛物面 单叶双曲面和螺旋面等 它们都是在实际犁体 上广 泛应用的曲面 在生产上广泛采用的水 平和倾斜直元线 法所形成的犁体曲面 由于户 和 又 一般都不 是常矢量 故它 们都是 由双 曲点构成的曲面 只要把它们的 户 和又 u 的表 达式代 入 5 式中 就可得到其具体方 程 由以上讨论可见 方程 5 中的导曲线的参数方程 户 u 和直 母线的单位矢量方 程又 决定曲面的具体 形式和工作性能 为适应不 同工况下 的犁耕要求 探索户 u 和几 u 的 定 量规律 是研 究 这类犁体曲面 的主要 工作 如水平直 元线法中的导曲线和 丫 角的变化规律 以及倾斜动线 法中的迹线及直 母线的3个投影角入 只 和 功 的变化规律 的研究 都是 属于 这方面的工作 人们对于直纹犁面的研究较多 我 国农机 工作者也做了大量 工作 除了水平和倾斜动线 法外 还从滚堡原理提出了正 斜 等距和不等距 的螺旋面 对单叶双曲面和双曲抛物面等 也作了深入研究 由前述分析可见 这些曲面都具有共 同的微分儿何性质 值得注 意的是 有些曲线扫描而 形成的 曲面 不一定就不是直纹面 还 应指 出 双曲抛物面涵概了以上各曲 面的多重 性质 见参考文献 2 3 另一类满足 3 式 的简单曲面中是常值负曲率曲面 如伪球面 椭圆型 和双曲型负常 曲率曲面 这类 曲面 从理 论上分析 应能作为优秀犁体 的曲面 但尚未见有报道 可能是因 为这类曲面在结构上 和数学形式上较直纹面复杂 另外与滚堡理论 相差较远的缘故 由微分几何知 伪球面 是最简单的负常曲率 曲面 截下伪球面的一片 加以无伸缩弯曲 得到 的曲面都是负常曲率的曲面 伪球面 是以 z 轴为渐近线的曳物线 X asin r 23 Z 士 l g 百 o sf 绕 z 轴旋转的 回转曲面 图 5 其参数方程为 X asinr e05 e Y asinrsin 口 2 4 z 土 气 n g 百 十 co r 用伪球面的内表面为工作面 以其经线作桦刃线 大端作桦尖 所构成的犁体曲面 具 有 自然呈凿桦 凸胸和掠翼的形状 如图6所示 且是 一片完整的曲面片 很有可能是极有 图 5 伪球面 F19 5P s eu d o一sPherie a l surfae e F19 图6 伪球 犁面 Ps eu d o一sPhe rie a lPlow 一bo ttom s urfaee 3 农业机械学 报 1992 年 前途的犁体曲面 这类曲面 的测地线在罗 氏儿何中称伪 直线 故也可认 为是另一类 的直纹 曲 面 这 一类型 的犁体曲面 是根据本文的分析预测的 还有待于实践来验证 结 束语 山以上 分析可知 高斯曲率砚 应作为形成犁体曲面的基本条件 直 坟犁面均满足此条 件 已在生产上广泛应 用 预测伪球面 可开发出极有前途 的优秀犁体曲面 参考文 献 2 3 5 丛明墉 蒋淑清 耕耘曲面分析 农业机械学报 19 8 0 11 l 3 5 4 8 丛明墉 水平直元线犁体 曲面方程探讨 农业机械学报 1 9 8 3 l j 3 1叫 一10 7 丛明墉 蒋淑清 犁体曲面方程与参数选择及其在 犁体 曲面设计中的 应用 吉林职业师 范学 院学报 199 0 2 1 7一25 苏步青等 著 微 分 儿何 北京 人民教育出版社 1080 5 7 一11 通 1 3 5一lG j 芬尼 可夫 C几 微 分儿何 北京 高等教育出版社 1957 1 6 5 2例 2肠 ONPR OPER T ES OFDIFFER ENT IALG EO ME TRY ANDB AS CMATHEMAT ICALMODE LSFOR PLOW 一B OTTOMSU R FACE C on g M ing yong Ji an gSh u qing Jilin 犷 o ea l n a lT e a e ho rs C o lleg e Abstra et Th is PaP er 01 1 th e P riuo iPle o fdir e etod eoustr ain t o fl jow 一bo ttom s urfa e e i且 d oa liugwilh 50 主1 slie o jn th o PlowingPr oo e s s th e n o elf一loekiilgeon dj tio us o f 5 0 11 s lie oon th o Plow 一 b o ttom surfaeean dth e Pr o Po rtie s o fdiffc r e n tialg eo m e t y 一a r rive d a tth o eone l任sio u th a tth e g ono r a l s haPinglaw o f Plow b o ttom surfaeos h ou ldb e th e G aussianeur v a tu ro K 0 M an