2009全国高中数学联赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准.doc_第1页
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文档简介

2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）1已知复数满足，则 2设，则的值域为 3设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是 4已知O是锐角ABC的外心，若，且，则 5已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点则四面体的体积为 6设，且，则符合条件的共有 组（注：顺序不同视为不同组）7设，则的最小值为 8设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是 二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。） 9设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：10求不定方程的正整数解的组数 11已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点 (1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明： 1 0 23 45 6 1600 7 89. 证明（1）在已知关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 -7分（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以 -14分10.解 令，则先考虑不定方程满足的正整数解，-5分当时，有，此方程满足的正整数解为当时，有，此方程满足的正整数解为所以不定方程满足的正整数解为 -10分又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为 -15分11.证明 (1)设，则由得，所以于是抛物线C在A点处的切线方程为，即设，则有设，同理有所以AB的方程为，即，所以直线AB恒过定点 -7分 (2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得设，则 要证，只需证明，即 由知，式左边=故式成立，从而结论成立 -15分12设为正实数，且证明：证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明 -5分事实
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