行列式的计算方法及应用毕业论文.doc

1 山西师范大学现代文理学院本科毕业论文山西师范大学现代文理学院本科毕业论文 行列式的计算方法及应用行列式的计算方法及应用 姓姓 名名张建民 系系 别别数学与计算机科学 专专 业业数学与应用数学 班班 级级1004 学学 号号1090110403 指导教师指导教师王翠红 答辩日期答辩日期 成成 绩绩 2 行列式的计算方法及应用 内容摘要 科学研究 工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组 行列 式正是由研究线性方程组产生的 并成为一种重要的数学工具 因此懂得解行 列式就非常重要 本文总结了行列式的十一种计算方法 并对每种方法进行例 题跟踪 另外还叙述了行列式在初中代数和解析几何两个方面的应用 关键词 线性方程组 行列式 初中代数 解析几何 Calculating methods of determinant andand itsits applicationapplication 3 Abstract Scientific research engineering and economic activities and there are a lot of problems can be formulated as linear equations the determinant is generated by a system of linear equations and become an important mathematical tool so it is very important to know the solution determinant This paper summarizes eleven methods of calculating the determinant and each method are examples of tracking Also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry Key Words linear equations Determinant junior high school algebra analytic Geometry 目目 录录 4 前言 1 一 行列式的计算方法 3 一 利用行列式定义计算 3 二 利用行列式的性质计算 4 三 化三角形法 4 四 降阶法 6 五 递推公式法 6 六 利用范德蒙行列式 7 七 加边法 8 八 数学归纳法 8 九 连加法 9 十 拆项发 9 十一 析因子法 10 二 行列式的应用 10 一 行列式在代数中的应用 11 二 行列式在几何中的应用 12 参考文献 14 致谢 15 1 行列式的计算方法及应用 学生姓名 张建民 指导老师 王翠虹 前言 解方程是代数中一个基本问题 特别是在中学所学代数中 解方程占有重 要地位 比如说 如果一段导线的电阻为 它两端的点位差为 那么通过这RV 段导线的电流强度为 就可以用关系式表示求出来 这就是通常所谓解IVIR 一元一次方程的问题 在中学所学代数中 我们解过一元 二元 三元以至四 元一次方程组 下面讨论一般的多元一次方程组 即线性方程组 对于二元线性方程组 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 当时 此方程组有唯一解 即0 21122211 aaaa 21122211 221221 1 aaaa baab x 21122211 112211 2 aaaa baba x 称为二级行列式 用符号表示为 21122211 aaaa 2221 1211 21122211 aa aa aaaa 当二级行列式 0 22 21 1211 a aa 时 该方程组有唯一解 即 2221 1211 221 111 2 2221 1211 222 121 1 aa aa ba ba x aa aa ab ab x 对于三元线性方程组有相仿的结论 设有三元线性方程组 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2 称代数式为三 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 级行列式 用符号表示为 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 我们有 当三级行列式 0 333231 232221 131211 aaa aaa aaa d 时 上述三元线性方程组有唯一解 解为 3 3 2 2 1 1 d d x d d x d d x 其中 33323 23222 13121 1 aab aab aab d 33331 23221 13111 2 ada ada ada d 33231 22221 11211 3 daa daa daa d 把这个结果推广到元线性方程组n nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 的情形 为此将要给出级行列式的定义及计算方法 n 定义 级行列式 1 n nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 n n njjj aaa 21 21 5 的代数和 这里是的一个排列 每一项都按下列规则带有 n jjj 21 n 2 1 5 符号 当是偶排列时 带有正号 当是奇排列时 带 n jjj 21 5 n jjj 21 5 负号 这一定义可以写成 3 1 21 21 21 21 21 22221 11211 n n n njjj jjj jjj nnnn n n aaa aaa aaa aaa 这里表示对所有级排列 求和 n jjj 21 n 级行列式性质 n 2 把行列式的各行变为相应的列 所得行列式与原行列式相等 1 把行列式的两行 两列 对调 所得行列式与原行列式绝对值相等 符号相 2 反 把行列式的某一行 或一列 的所有元素乘以某个数 等于用数乘原行 3 kk 列式 如果行列式某两行 或两列 的对应元素成比例 那么行列式等于零 4 如果行列式的某一行 一列 的元是二项式 那么这个行列式等于把这些二 5 项式各取一项作成相应行 或列 而其余行 或列 不变的两个行列式的和 把行列式某一行 或列 的所有元同乘以一个数 加到另一行 或一列 6 k 的对应元上 所得行列式与元行列式相等 行列式某一行 或一列 的各元与另一行 或一列 对应元的代数余子式的 7 乘积的和等于零 行列式等于它的任意一行 或一列 的所有元与它们各自对应的代数余子式 8 的乘积的和 一 行列式的计算方法 一 利用行列式定义计算 例 1 计算行列式 0005 0040 0300 2000 D 解 展开式中项的一般形式是 4321 4321jjjj aaaa 显然 如果 那么 从而这个项都等于零 因此只需考虑的5 1 j0 1 1 j a5 1 j 4 那些项 同理 只需考虑这些列指标的项 这就是说行列式2 3 4 432 jjj 不为零的项只有这一项 而这一项前面的符号应该是正 41322314 aaaa6 3421 的 所以 1205432 D 二 利用行列式的性质计算 例 2 计算级行列式n cddd dcdd ddcd dddc d 解 这个行列式的特点是每一行有一个元素是 其余个是 根据性c1 nd 质 6 把行列式第二列加到第一列 行列式不变 再把第三列加到第一列 行 列式不变 直到第列也加到第一列 即得n cddddnc dcddnc ddcdnc ddddnc d 1 1 1 1 cddd d ddcd dddc dddd dnc 1 1 1 1 1 把第二行到第行都分别加上第一行的 1 倍 就有n dc ddc dddc ddd dncd 000 0 0 1 1 根据例 1 得 1 1 n dcdncd 三 化三角形法 化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上 下 三角形行列式计 算的一种方法 它是计算行列式的重要方法之一 因为利用行列式的定义容易 计算上 下 三角形行列式 因此 在许多情况下 总是先利用行列式的性质 将其作保值变形 再将其化为三角形行列式 例 3 计算行列式 5 0112 0321 2011 3110 D 解 4130 2310 3110 2011 24 23 21 2 rr rr rr D 13200 1400 3110 2011 23 24 3 rr rr 25000 13200 3110 4011 43 43 2 rr rr 50 四 降阶法 降阶法是按某一行 或一列 展开行列式 这样可以降低一阶 更一般地 是用拉普拉斯定理 这样可以降低多阶 为了使运算更加简便 往往是先利用 列式的性质化简 使行列式中有较多的零出现 然后再展开 例 5 计算行列式 4122 7432 2101 0113 D 解 221 132 214 1 2121 1432 0100 2114 32 2 31 34 cc cc D 21 37 67 1 221 370 670 13 4 2 31 32 rr rr 五 递推公式法 应用行列式的性质 把一个 n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列 式 比如 n 1 阶或 n 1 阶与 n 2 阶等 的线性关系式 这种关系式称为递推 关系式 根据递推关系式及某个低阶初始行列式 比如二阶或一阶行列式 的 6 值 便可递推求得所给 n 阶行列式的值 这种计算行列式的方法称为递推法 例 6 计算阶行列式n 43 143 143 14 n D 解 按第一列展开 211 34 43 143 143 140 13 4 nnnn DDDD 于是有 32211 333 nnnnnn DDDDDD 13 12 DD 及 3 3 32 2 211 nnnnnn DDDDDD nn DD3 3 12 2 从上两式削去 得 1 n D 13 2 1 1 n n D 对于形如的所谓三角行列式 可直接展开得两项递推公式 然后采用如下一些方法求解 21 nnn DDD 方法 1 如果较小 则直接递推计算 n 方法 2 用第二数学归纳法 即验证时结论成立 设结论成立 1 nkn 若证明时结论也成立 则对任意自然数结论相应也成立 1 kn 方法 3 将变形为 其中 21 nnn DDD 211 nnnn pDDqpDD qp pq 由韦达定理知是一元二次方程的两个根 确定后 q和p0 2 xxq和p 令 利用递推求出 再由 1 nn pDDxf 1 nqfnf nf 7 递推求出 1 nfpDD nn n D 方法 4 设代入得因此 n n xD 0 21 nnn DDD 0 21 nnn xxx 有 称为特征方程 求出其根 假设 则0 2 xx 21 x和x 21 xx 这里可通过取来确定 2211 nn n xkxkD 21 k k2n1 和n 例 4 求阶行列式的值n 01 101 101 101 10 n D 解 按第一行展开得 即作特征方程解得 2 nn DD 0 2 nn DD01 2 x 则ixix 21 nn n ibiaD 1 当时 代入式得当时 代入得1 n0 1 D 1 0 ibia2 n1 2 D 1 联立求解得 故1 ba 2 1 ba 2 1 nn n iiD 六 利用范德蒙行列式 例 7 计算行列式 2 12 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 21 2 1 21 111 111 n n n nnnn nn n xxxxxx xxxxxx xxx D 解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行 把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行 以此 类推直到把新的第行的 1 倍加到第行 便得范德蒙行列式1 nn 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 n n nn n n xxx xxx xxx D nij ji aa 1 其中 表示连乘号 8 七 加边法 计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算 这种计算 行列式的方法叫做加边法 当然 加边后要保证行列式的值不变 并且要使所 得的高一阶行列式容易计算 要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列 加法适用于某一行 列 有一个相同的字母外 也可用于其列 行 的元素分 别为个元素的倍数的情况 1 n 例 8 计算行列式 d b a D 111 111 111 解 给原行列式加边 d b a D 1110 1110 1110 1111 ir r i 1 1 d b a 001 001 001 1111 12 13 13 1 1 1 cc a cc d cc b d b a dba 000 000 000 111 111 1 abd dba 111 1 八 数学归纳法 首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值 再用数学归纳法给出猜想 的证明 但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的 因此数学归纳法一般是 用来证明行列式等式 例 9 计算阶行列式n xaaaaa x x x D nnn n 1221 1000 001 0001 解 用数学归纳法 当时2 n 21 12 2 1 aaxx axa x D 21 2 axax 9 假设时 有kn kk kkk k axaxaxaxD 1 2 2 1 1 则当时 把按第一列展开 得1 kn 1 k D 11 kkk DxDD 11 1 1 kkk kk aaxaxaxx 1 2 11 1 kkk kk axaxaxax 九 连加法 如果行列式中某列 行 加上其余各列 行 使该列 行 元素均相等或 出现较多零 进而简化行列式的计算方法称为连加法 例 10 计算行列式 xaaa axaa aaxa aaax D 解 它的特点是各列元素之和为 因此把各行都加到第一行 然而 3 xa 第一行再提出 得 3 xa xaaa axaa aaxa xaD 1111 3 将第一行乘以分别加到其余各行 化为三角形行列式 则 a ax ax ax xaD 000 000 000 1111 3 3 3 axxa 十 拆项发 把行列式的某一行 或列 的元素写成两数和的形式 然后利用行列式的 性质 将原行列式写成两行列式之和 进而使行列式简化以便计算 5 例 11 算行列式 10 3321 3221 3211 aaa aaa aaa D 解 332 322 321 3321 3221 321 0 0 aa aa aa aaa aaa aaa D 3233221321 aaaaa 十一 析因子法 例 12 算行列式 2 2 9132 4132 3221 3211 x x D 解 由行列式定义知为的 4 次多项式 Dx 又 当时 行相同 有 1 x2 10 D 所以为的根 1 xD 当时 行相同 有 2 x4 30 D 所以为的根 2 xD 故有 4 个 1 次因式 D2 2 1 1 xxxx 设令 则 2 2 1 1 xxxxaD0 x 即 所以12 9132 5132 3221 3211 D12 2 1 1 a3 a 所以 2 2 1 1 3 xxxxD 小结 以上是行列式计算常用的方法 在实际计算中 不同的方法适应于不 同特征的行列式 如定义法一般适用于 0 比较多的行列式 利用性质分为直接 利用和利用性质化三角形行列式 降阶法主要是利用按行 列 展开公式 一 般某行或某列含有较多的零元素 每一种方法都有其各自的优点及其独特之处 因此研究行列式的解法有非常重要的意义 二 行列式的应用 行列式是研究数学的重要工具之一 下面主要介绍行列式在代数和几何两 11 个方面的应用 一 行列式在代数中的应用 1 用行列式解线性方程组 如果线性方程组 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 其中代表未知量 代表未知量的 n xxx 21 2 1 2 1 nimiaij 系数 带表常数项 的系数行列式 那么 这个方程组有解 m bbb 21 0 D 并且解事唯一的 可表示为 D D x D D x D D x n n 2 2 1 1 2 用行列式因式分解 利用行列式分解因式的关键 是把所给的多项式写成行列式的形式 并注 意行列式的排列规则 下面列举几个例子来说明 例 13分解因式 323232323232 baccbaacbbcaabccab 解 原式 222222 baabaccacbbcabc bcabcaacbcbcabc 1 1 1 1 1 1 b a ab c a ac b c bcabc 0 0 1 1 1 1 abbcac acbcab abc abc bac cab abc abc acbcacabbcababc acbacabcababc cbacbaabc 3 用行列式证明恒等式 我们知道 把行列式的某一行 列 的元素乘以同一数后加到另一行 列 12 的对应元素上 行列式不变 如果行列式中有一行 列 的元素全部是零 那 么这个行列式等于零 利用行列式的这些性质 我们可以构造行列式来证明等 式和不等式 例 14已知 求证 0 cbaabccba3 333 证明 令 则abccbaD3 333 0 111 acb baccba acb bac cbacbacba acb bac cba D 命题得证 二 行列式在几何中的应用 1 用行列式表示三角形的面积 以平面内三点 为顶点的的面积是 11 yxP 22 yxQ 33 yxRPQR S 1 1 1 2 1 33 22 11 yx yx yx 证明 将平面 三点扩充到三维空间 其坐标分别 11 yxP 22 yxQ 33 yxR 为 其中为任意常数 由此可得 11 kyx 22 kyx 33 kyxk 0 1212 yyxxPQ 0 1313 yyxxPR 0 0 1313 1212 yyxx yyxx PRPQ 面积为PQR PRPQPRPQS sin 2 1 2 1313 1212 2 1 2 1 yyxx yyxx PQPR 1313 1212 2 1 yyxx yyxx 13 1 1 1 2 1 33 22 11 yx yx yx 2 用行列式表示直线方程 直线通过两点和的直线方程为 11 yxP 22 yxQ 0 1 1 1 22 11 yx yx yx 1 证明 由两点式 我们的直线 方程为PQ 21 2 21 2 yy yy xx xx 将上式展开并化简 得 0 2122121 xyyxyxyxxyxy 此式可进一步变形为 0 1 1 1 1 22 11 2 1 2 1 yx yx x x y y y x 此式为行列式按第三行展开所得结果 原式