（应用数学专业论文）二类常微分方程组边值问题的研究.pdf

j l l 科技大学学位论文原创性声明 j i l lif i l lii i i ii i iri il y 1714 4 0 8 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究工 作所取得的成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方 式标明 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品或成果 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 杨旃嚷 指导教师签名 尹 年易月弓日 鳓干 加f p 年多旯 b j l l 科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 口保密 在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 耐采保密 请在以上方框内打 4 学位论文作者签名 序匀赢咬 为 年名月 日 指导教师签名 萎钐彳 沙k 年z 只弓b 摘要 摘要 微分方程有着深刻而生动的实际应用背景 它产生于生产实践与科学技术 到 现在它已经逐渐成为现代科学技术中分析问题和解决问题的一个强有力工具 它主 要应用在经济金融保险领域 生物种群的数量结构规律分析 疾病和病虫害的控制 与防治 遗传规律的研究等领域 对解决这些问题起着非常重要的作用 微分方程 为研究诸如上述现实问题的发展过程提供了一个非常合适的数学模型 成为一个极 为活跃的研究方向 微分方程边值问题正解的研究是微分方程的重要研究内容之一 而也只有解决 了这些问题才能对现实问题进行监控预测等 泛函分析是分析微分方程比较有力的 工具 近年来大量学者运用泛函分析来解决微分方程解的问题 成为较活跃的研究 领域 本文共研究了以下三个问题 首先 我们在无穷区间上应用a v e r y p e t e r s o n 不动点定理研究一类带p l a p l a c i a n 算子微分方程组m 点边值问题二个正解的存在性问题 无穷区间不再具有紧性 所 以无穷区间上边值问题的讨论更复杂 通过构造连续算子得出该问题至少存在三个 正解的充分条件 其次 我们讨论了一类非线性可变号的二阶方程组多点边值问题正解的存在 性 利用新的不动点定理得出两个拟对称正解存在的充分条件 最后我们讨论了一类具有变时滞的随机递归神经网络的鲁棒稳定性 对于所有 可容许的不确定性 该随机神经网络在所得时滞相关的条件下是全局均方渐进稳定 的 在稳定性准则中引入自由权矩阵减少了保守性 最后以线性矩阵不等式形式给 出的时滞相关稳定性判据 能够利用m a t l a b 的l m i 工具箱很容易地进行检验 关键词微分方程 边值问题 方程组 稳定性 不动点定理 i 1 t 科技人学硕十学位论文 a bs t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eap r o f o u n da n dv i v i da c t u a lb a c k g r o u n d t h e ya r i s ef r o m t h ep r o d u c t i o na n ds c i e n c et e c h n o l o g ya n da r ep o w e r f u li n s t r u m e n tt oa n a l y z ea n ds o l v e p r o b l e m si nt h em o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ef i e l do f e c o n o m i ca n df i n a n c i a li n s u r a n c e t h ea n a l y s i so ft h es t r u c t u r eo ft h en u m b e ro f b i o l o g i c a ls p e c i e s a n dt h ec o n t r o la n dp r e v e n t i o no fd i s e a s e sa n di n s e c tp e s t sa n ds oo n t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ep r o v i d e da ne x t r e m e l ya p p r o p r i a t em a t h e m a t i c a lm o d e lf o r t h er e s e a r c hs u c ha sa b o v er e a l i s t i cq u e s t i o nd e v e l o p i n gp r o c e s s b e c o m ea ne x t r e m e l y a c t i v er e s e a r c hd i r e c t i o n i t sv e r yi m p o r t a n tt or e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b e c a u s ey o uc a nn o tb e g i nt h en e x ts t e po fw o r k f o rs e e k i n gt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa n da p p l y i n gi n t op r a c t i c e s u c ha si n s p e c t i o n c o n t r o l a n dp r e d i c t i o no ft h ep r a c t i c a lp r o b l e m s u n l e s sw em a k ec l e a rw h e t h e ra n dh o wm a n y s o l u t i o n se x i s t t h e r e f o r e t h es t u d yt ot h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s e s p e c i a l l yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s b ym e a n so ft h em e t h o d so f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa r i s e sr e c e n td e c a d e sy e a r s h a s g r e a t l ya t t r a c t e dm a n y m a t h e m a t i c sw o r k e r s a t t e n t i o n n e p a p e rd i s c u s s e st h r e ep r o b l e m sa sf o l l o w s f i r s t l y b yu s i n gt h ea v e r y p e t e r s o nf i x e dp o i n tt h e o r e mo nac o n e w ee s t a b l i s ht h e e x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n so fm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o ns y s t e m s w i t h p l a p l a c i a n o ni n f i n i t ei n t e r v a l s t h ei n f i n i t ei n t e r v a l si s n o n c o m p a c t t h ed i s c u s s i o ni sm o r ec o m p l i c a t e d w eg e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e e x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e m s e c o n d l y w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rn o n l i n e a rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m sw i t hs i g nc h a n g i n gn o n l i n e a r i t i e s b ya p p l y i n gan e wf i x e dp o i n tt h e o r e mi nac o n et og e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo ft w oq u a s i s y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n st ot h ep r o b l e m f i n a l l y w ed i s c u s st i m ed e l a yr o b u s ts t a b i l i t yo fi n t e r v a lc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s f o ra n ya d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s i n t e r v a lc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k si sg m s s t a b i l i t y b y b r i n g i n gm a t r i x t ot os t a b i l i t yc r i t e r i o nc a nr e d u c et h ec o n s e r v a t i v e t h ed e l a y d e p e n d e n t s t a b i l i t yc r i t e r i o ni sf i n a l l yl i s t e da sl i n e a rm a t r i xi n e q u a t i o nw h i c hc a nb ee x a m i n e de a s i l y i nm a t l a bi m lt o o l b o x 1 1 a b s t r a c t k e yw o r d sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m e q u a t i o n s s t a b i l i t y f i x e d p o i n tt h e o r e m b 洲北科技人学硕 学位论文 目录 摘要 i i a b s t r a c t i i 第1 章绪论 1 1 1 研究的目的与意义 1 1 2 国内外研究现状分析 2 1 2 1 二阶常微分方程边值问题 5 1 2 2 高阶常微分方程边值问题 8 1 2 3二阶常微分方程组边值问题 9 1 3本文研究的主要内容 10 第2 章无穷区间上微分方程组多点边值问题的正解 1 2 2 1 引言 1 2 2 2 预备知识和引理 14 2 3 主要结论 1 9 2 4 本章小结 2 2 第3 章一类可变号二阶微分方程组多点边值问题的拟对称正解 2 3 3 1预备知识 2 3 3 2 主要结论 2 5 3 3 本章小结 3 5 第4 章一类时滞微分方程组的鲁棒稳定性 3 6 4 1 引言 3 6 4 2 预备知识 3 7 4 3 主要结论 3 8 4 4 举例 4 4 4 5 本章小结 4 6 结 念 4 7 参考文献 4 8 攻读硕士学位期间发表的论文 5 4 个人简历 5 5 致谢 5 6 第1 章绪论 1 1 研究的目的与意义 第1 章绪论 在十七世纪末发展起来的微分方程理论 很快地成了研究自然现象的强有力工 具 众所周知 微分方程在力学 天文 物理和技术等科学领域中的应用越来越广 泛 而且解决许多物理 力学等方面的实际问题 都可以用求解微分方程的方法 可见 微分方程的形成与发展是和力学 天文学 物理学 以及其他科学技术的发 展密切相关的 而且数学的其他分支如复变函数 组合拓扑学等 都对微分方程的 发展产生了深远的影响 早在1 6 9 0 年j a c o bb e m o u l i 提出了悬线问题 莱布尼兹通 过微分方程的边值问题给出了解答 1 8 世纪法国数学家傅立叶用分离变量法求解热 传导问题 导出了二阶常微分方程的两点边值问题 在微分方程理论的定解问题中 除了微分方程本身以外 还需要一定的定解条件 在一般的微分方程的讨论中 定 解条件为初始条件 相应的定解问题称为初值问题 它可表述为 己知物体运动在 初始时刻的状态 探求物体运动的规律 但是 有许多实际问题却不能这样表述 它们虽然也可以归结为求解微分方程的问题 而定解条件却分别在所考虑的区问两 个端点给出 这种定解条件称为边界条件 相应的定解问题就称为边值问题 1 9 世 纪 法国数学家斯图姆和刘维尔研究两点边值问题创立了斯图姆一刘维尔边界条件 2 0 世纪以来泛函分析逐渐成为研究微分方程边值问题的重要理论基础 在泛函分析 理论以及实际问题的推动下常微分边值问题的研究在近半个世纪发展十分迅速 除 了二阶常微分方程的边值问题开始研究高阶微分方程的边值问题 对边值问题的研究 从十九世纪三十年代由s t u r m 和l i o u v i l l e 讨论二阶线性方 程的边值问题和s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题开始 n 十世纪由h i l b e r t 等人奠定了 常微分方程的边值问题的理论问题 不论在问题的深度和广度方面还是在研究方法 上都有了很大的发展 目前 对边值问题的研究 覆盖了常微分方程 泛函微分方 程 脉冲微分方程和带有拉普拉斯算子微分方程 尽管人们对边值问题的研究取得 了一系列成果 但有许多问题的理论研究尚不完善 对于这些问题进一步的研究 无论在理论上还是在实际应用中都有很重要的意义 微分方程多点边值问题广泛出 现在弹性稳定性理论及多种不同材料构成的电路问题中 也出现用分离变量法求解 偏微分方程多点边值问题的过程中 对于二阶线性常微分方程多点边值问题的研究 已经获得了一些结果 此后 对于一些非线性微分方程多点边值问题解的存在性的 讨论也取得了很多结果 河北科技人学硕十学何论文 1 2 国内外研究现状分析 随着科学技术的进步与发展 在物理学 种群动力学 自动控制 生物学 医 学和经济学等许多自然科学和边缘学科的领域中提出了大量由微分方程组描述的具 体数学模型 微分方程是用来描述自然现象变化规律的一种有力工具 由于寻求其 通解十分困难 故从理论上探讨解的性态一直是近年来研究的热点问题 以下是近 期的二阶常微分方程边值问题的研究现状 微分方程组边值问题是微分方程边值问题的延伸 我们先介绍一下微分方程的 发展过程 微分方程边值问题最早的例子是最速降线问题 设质点由a a 口 下降到 b 6 0 第1 章绪论 变换后的方程应满足的边界条件写成一般形式 x 7 口 一似0 xr 6 肛 6 0 口 0 现称为斯图姆一刘维尔边界条件 他们的研究得到了关于特征值得一系列结果 形成斯图姆一刘维尔理论1 2 刁j 二十世纪以来 泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础 一 实际上 常微分运算和积分运算的共同特征是 它们作用到一个函数后都得出新的 函数 可以将这些运算统一抽象为算子 泛函分析正是在算子概念的基础上发展起 来的 三十年代中期法国数学家勒雷 j l e r a y 和绍德尔 j s c h a u d e r 建立了l e r a y s c h a u d e r 度理论1 4 巧j 他们的方法用于研究线性微分 差分 积分 泛函方程时 取 得了巨大成功 尤其是这种理论对常微分方程边值问题的应用 形成了常微分方程 拓扑方法或泛函分析方法 6 7 其核心是各类不动点定理的建立和应用 在泛函分析理论以及实际问题的推动下 常微分方程的研究在近半个世纪里发 展十分迅速 除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外 开始研究高阶微分方 程的边值问题 8 9 并且随着新问题的出现 形成了许多新的研究方向 首先是奇异边值问题 1 9 2 7 年托马斯 l h t h o m a s 和费米 1 l e f e r m i 为确定原子钟的电动势独立 导出了二阶常微分方程的奇异性边值问题 j x 一 ij 2 警 i x o 1 x 6 0 这里说的奇异性 是指粤x o 躲7 一j x j o 之后对这类边值问题的研究形成 了有其独特方法的研究方向 即奇异边值问题1 1 2 1 3 1 其次是无穷区间上的边值问题 最早的例子由基德 r e k i d e r 给出 1 4 设半无穷多孔介质在起始时刻t 0 时充 满压力为昂的气体 此时在流出面上的压力突然由只减到鼻且以后一直保持鼻压 力 这样气体就在介质中产生非稳态流 对于从x 0 延伸到x o o 的一维介质 压 力与位置及时间的关系为 旦f 尸望 ao p 苏 良 研 其中彳是由介质性质确定的常数 压力应满足的初始边值条件为 3 n l 北科技人学硕十学位论文 p x o j2t o 0 x 0 0 p o j 鼻 0 1 称为p 拉普拉斯算子 l a p l a c i a no p e r a t o r 或拟线性算子 q u a s i l i n e a ro p e r a t o r 智利数学家较早地研究了此类边值问题i l 引 并很快引起了数 学界的重视 取得了一系列研究成果 1 9 2 0 成为经久不衰的研究热点 经典的二阶常微分方程边值问题 无论是周期边界条件还是s t u r m l i o u v i l l e 边 界条件 定界条件都是在给定区间的两端施加限制 鉴于边值条件的离散化 从二 十世纪八十年代中期开始研究二阶常微分方程的多点边值问题 2 m 2 1 也就是所给定 的两个定解条件涉及端点问其它点上的函数值 例如 4 6 i o 甜口 l i l 0 甜 或 第1 章绪论 厂o 甜 o 1 材 o 1 一伽g 0 就是一个二阶常微分方程的三点边值问题 以此类推就有四点边值问题 玎点边值问 题 常微分方程多点边值问题也常被称为常微分方程非局部边值问题 2 3 1 与此同时 常微分方程脉冲效应也引起了人们的重视 2 4 之卯 这种脉冲效应造成 微分方程的瞬时改变 因此可以认为是微分方程和差分方程的相互结合 保加利亚 数学家对此作了大量的研究 2 6 2 7 1 在常微分方程边值问题中结合脉冲效应 就得到 常微分方程脉冲边值问题 例如 x 厂o x x o f t kk 1 m 工o j k g o x o 缸 f j k g o x f x 0 x o 0 其中0 t 0 1 b r 为常数 e r b e 和w a n g 在文献 3 3 中 首先利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理研究了 方程材 口 f 厂 甜 o 正解的存在性 其中口 在 0 j 1 上是连续的 并且 厂 在 0 0 0 上是连续的 自那以后 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理被广泛的利用于讨论边值问题正 解的存在性 m ar u y u n 在文献 3 4 中利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理 证明了二阶三 点边值问题 5 n 北科技人学硕十学传论文 正解的存在性 其中口 o 7 o 1 a r o 7 o 1 a t 1 并且厂 0 1 i x 0 o r 专 o 是连续的 研究这类非线性项i 厂依赖于x 的一阶导数所获得正解的文章较少 在文献 3 6 和 3 7 中 l ij u ng u o 和m a r u y u n 研究了二阶三点边值问题 f f 口 厂 0 0 r 0 1 以刁 1 利用s c h a u d e r 不动点定理和一个积分算子表达式 证明 了在某些条件下 存在b 当o b b 时 二阶三点边值问题 1 3 有解的情况 在文献 3 8 中 g u oy a n p i n g 利用s c h a u d e r 不动点定理和分析方法 把 3 6 的结 果推广到了二阶m 点边值问题 二 二孽冀主 三 1 4 其中6 k o i 1 2 聊一2 0 百 孝2 1 允许口 在端点f 0 和 1 具有 奇性 证明了在某些条件下 存在b 当0 b 6 时 二阶m 点边值问题 1 4 没有正解 在文献 3 9 中 l i ux i u j u n 研究了二阶i l l 点边值问题 6 o i 1 2 聊一2 j 0 舌 孝 o i 善 1 0 尼 参 o i 1 2 聊一2 0 舌 孝2 六川 善 1 0 k 专 1 并且 l f 0 l o r 专 0 o o 是连续的 利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理的推广形 式 可以证明对于 厂赋予一定的增长下条件二阶多点边值问题 1 6 式正解的存在性 k o n gl i n g j i u 和k o n gq i n g k a i 研究了含有两个参数 允 的二阶多点边值问题 f x f f t x x 0 0 t 1 j l x o 一 q x 鲁 丑 1 一 b x 孝 五 lj 1 i 1 7 其中 聊 1的正数 0 参 邑 六一 1 五 口 b o o 江1 2 聊 首先利用上下解的方法证明了在厂满足一定的条件下 边值问题 1 7 存在解的充分条件 其次 证明了整个平面被两个参数丑 旯 所构成 的一条连续递增的曲线f 分成两个互不相交的区域人 人 当丑 名 时 边 值问题 1 7 存在一个解 当丑 a 人 时 边值问题 1 7 没有解 当 以 r 时 边值问题 1 7 存在解 当丑 无 人f r 时 边值问题 1 7 存在多个解 7 河北科技人学硕十学位论文 1 2 2 高阶常微分方程边值问题 y 篡 厂 珊巾 广 0 引 1 8 y 2 0 j o y 2 1 0 1 y y 一1 一 在文献 4 0 4 1 中 d a v i s 利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理 在 厂满足增长条件的 情形下 证明了l i d s t o n e 边值问题 1 8 式至少存在三个对称正解 这是允许 厂依赖 于y 的高阶导数的第一篇文章 随后 d a v i s 研究了在 1 厂 r 一 0 是连续的 条件下 利用五个泛函的不动点定理 通过构造三个凸泛函和两个凹泛函 同样证 明了l i d s t o n e 边值问题 1 8 至少存在三个对称正解 对于2 n 阶l i d s t o n e 边值问题 y i j 厂 y y d y 2 一2 j f y 化 1 j o f 0 并且关于y 的奇数阶导数是偶的 假设下 文献 4 2 利用五个泛函的不动点定理 证明了边值问题至少存在三个对称 正解 而对于下面的2 n 阶l i d s t o n e 边值问题 胪订 r 厂嫩妙嗽冀 川2 p m 川 1 1 0 ly 2 o y 2 1 1 0 0 i 刀一i 1w 胪订咿嗽北眇k 2 删2 p u m o f 1 2 聊一2 0 彘 舌 磊 第1 章绪论 m 2 f n 川 手 1 并且o k f 1 在文献 4 3 中 g u oy a n p i n g 利用l e g g e t t 1 一w i l l i a m s 不动点定理 在厂满足增长条件的情形下 证明了2 n 阶m 一点边值问题 1 1 2 至少存在三个正解 为了在证明中应用解的凹性 上面所做的工作是在假设 一1 厂非负的条件下完 成的 对于变号非线性项高阶边值问题多个正解存在性的研究成果很少 在文献 4 4 中 g u oy a n p i n g 利用双锥上的不动点定理 也就是l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理的 推广形式 在 厂满足增长条件的情形下 证明了2 n 阶m 一点边值问题 fy o 厂 o 砂 y 2 1 o l o l o f o 1 n l j 1 2 m 一2 0 彘 卣 彘 h 1 1 2 3 二阶常微分方程组边值问题 最近 由于微分方程组边值问题的理论和应用的价值 讨论微分方程组边值问 题正解的存在性也越来越受到人们的关注 关于二阶两点微分方程组的边值问题 f x 砌o i 厂g o y o 0 0 l y 肋 k x y o 0 0 f l 1 1 4 x o x 1 y o y 1 0 m ar u y u n 在文 4 5 中证明了至少存在二组正解 关于二阶三点微分方程细的边值问题 x 厂o x y 0 0 t 1 垧 一茹高鐾i 瘟鬻 0 r l x o 一 x7 o o x 1 口 x 仞 o l u1 圳 y o 一f 1 2 y7 o o y 1 口 y 仂 o r l 1 其中 厂 g 0 1 i xr r 专r 是连续的且可以变号 江卫华 4 6 利用双锥上的不动点 定理 并赋予 厂 g 一定的增长条件 证明了二阶三点微分方程组的边值问题至少 9 洲 i l 科技入学硕十学书 论文 存在二组正解 在文献 4 7 中 高英利用五个泛函的不动点定理 讨论了二阶拟线性微分方程 组边值问题 矽 x 口 厂 f x y q 0 0 t 1 q 少 6 7 g 7 x y i o o 7 1 厂 g 是非负连续的函数 赋 了 厂和g 些增长条件保证二阶拟线性微分方程组边值问题 1 1 6 至少存在三个对称正解 1 3 本文研究的主要内容 本文主要研究二类微分方程组边值问题正解的存在性 全文共分四章 第一章绪论介绍微分方程边值问题的起源和国内外在边值问题领域的研究现 状以及本文的研究主要内容 第二章利用a v e r y p e t e r s o n 不动点定理 在无穷期间上研究如下带矿拉普拉斯 算子方程组多点边值问题 九 x p x f x y y u 20 y f g f g f x f x f y 咄y7 f 0 x o 口 x 0 7 l i m x 锹归o y o 屈少 吵l i my o 其中矽 s h s p 1 p g r 一r 厂 g r 一r 是连续函数 r o o 口 f l o o r r 7 l p2 l 0 1 1 0 o o 1 这里m 是常数 疋 o 1 o 一 一q o 是连续函数 且 疋 f 0 o o o t 0 1 这里9 是常数 h 2 q o 1 一 o 为连续函数 且g f 在任意 0 1 子空间不恒等于0 且 l g f 破 i 1 2 得到多个拟对称正解的存在性的充分条件 第四章运用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 理论 通过定义新的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 从而给出了随机递归神经网络新的时滞相关鲁棒稳定性判据 在处理过程中用 l e i b n i z n e w t o n 公式和自由权矩阵的方法 得到了保守性较小的结果 通过数值仿真 实验 验证了结论的可行性和有效性 河北科技人学硕斗 学何论文 第2 章无穷区间上微分方程组多点边值问题的正解 2 1 引言 无穷区间上的边值问题产生于应用数学和物理 关于方程组的边值问题正解的 研究 参见文献 4 6 4 7 关于无穷区问上边值问题正解的研究 由于无穷区间不 具有紧性 对我们解决问题有一定的难度 已有大量的学者对无穷区间上的边值问 题进行了研究 并得到了一些结论 见文献 4 8 5 4 在文献 5 5 中作者研究了下列无穷区间上m 点边值问题正解的存在性 f 矽 x r p f f t x f x f o 0 1 p 2 1 p f g f r r 厂 g r 5 一r 是连续函数 r o 院 屈 o 0 r l r 2 7 2 是 确定的数 下面介绍本章将要用到的定义及主要定理 即a v e r y p e t e r s o n 不动点定理 定义2 1 设e 为实b a n a c h 空间 p 为e 上的非空闭集 若p 满足下列条件 1 当a 0 时口 p 2 若u 一甜 p 则u 0 那么称p 为e 上的锥 定义2 2 设口是一个泛函 口 尸一 o q o 是连续的 若对所有的x y p 第2 章无穷区间上微分方群组多点边值问题的止解 0 t 1 有口缸一0 一f 涉 岱b 0 一 k 则称口是一个非负连续凹泛函 类似的 我们给出个非负连续凸泛函的定义 p p 一 o 是连续的 若对所有 的x j 尸 0 t 1 有 缸 0 一 涉 垆g 1 一 归 则称 是一个非负连续 泛函 设口 7 y 0 是p 上的非负连续泛函 其中口凹 臼 y 沙n 我们定义锥p 上的子 集 p r d py x d p 陟 口 b d 扛 p l y x d 口g b 尸 0 口 b c d p l y x d 口 x 6 矽 x c r c i y 口 d p r x d x 口 很显然 p r d p 口 b d 尸 秒 口 b c d 是n 的 而尺 7 a d 是闭的 下面给出a v e r y p e t e r s o n 不动点定理 定理2 1 5 6 令尸是b a n a c h 空间e 中的锥 令7 和矽是p 上的非负连续凸泛函 口是p 上的非负连续凹泛函 是尸上的非负连续函数 且满足对任意的0 五s1 有 触 五 x 对所有的x 硼 口g y b 0 x l m y x 其中m 和d 是正数 假设丁 p p 是全连续算子 而且存在正数a b c 而且a b o 而nx p r 矽 口 b c d 时口 6 s 2 对所有的x 尸 口 b d 秒慨 c 有口 a b s 3 对x 天 y y a d l f 慨 口有0 仨r a d 戤 a 那么r 至少存在三个不动点x 1x x 硐使得 x 瓦砑 i 1 2 3 y g l 口 口g 2 b 3 n i l 乖 i 投入学硕十学位论文 2 2 预备知识和引理 其中 本节我们介绍一些证明主要结论时用到的引理和定义 在本文中我们考虑空间e 锅 x x i x c 1 s s u p i x t f 型l o o 1 i m l x 0 s 十f 一 且定义范数0 x y m a x 删 i i y 吣 其中删 m a x m 忖k s u p 譬掣 愕忆 s u pp l 由b a n a c h 空问的性质判定可知 e 是一个b a n a c h 空间 u s f 1 0 0 定义x 上的锥只如下 月i 2 只 x x l x t o 0 x o 口 x 1 7 x 在 0 上是凹的 l 笏矢口 e 只 一u 是锥 记2 1 若 x 少 满足 2 1 则 办 x 7 一p t f t x 叭x7 f y y l 且是常数 定义p 上的非负连续函数口 7 0 y 如下 吣川 南馇拶 严m i n y y x y 2 吉 芝曼x g s u p y 吣川坝w 扎s u p 川x t 恶等 其怖川哦 1 4 第2 章无穷区间上微分方程组多点边值问题的止解 令 c t 2 p 1 1 f p s 出 0 定义2 3 等度收敛 c 2 2 p i g j 出 0 班 x x y 忙机 o v l 等 等 渺卜 肌 m 称为在无穷远处等度收敛 当且仅 当对所有占 0 存在t 丁 占 o 使得所有x k 有f x i s y 如卜y 沁 糨l 业1 g 一罴i 占 等一等l s 对所辄 犰 引理2 l 5 7 若 等 x 矿 而且扛 x y 在 o 的任何紧区间上都等度连 续且等度收敛 则 厂是x 上的相对紧集 引理2 2 令甜 甜 陋 r 且 t d t o p t d t o o 则边值问题 0 0 有唯一解 x f f 0 仉 y f 7 2 f 0 x o q x 吵l i mx 7 f 0 m 2 y o 屈y l i m y 归 一 f 甜 s 出 m 训出 川 2 薯魄 1 f 姒蛐 1 n 幽 定义算子t p c 1 0 t g y 彳g y 8 x 少 1 5 p 矗p 口 一 川 u x 洲北科技人学硕十学仍 论文 二 争九 1 胁n 八蹦 州舶肭 上矽p l i i r z 出 彩办 l j q s g s x s n b 挑如 b 眦 小 1 胁删f 砒 引理2 3 对所有的 x y 尸 m i m xl l m y m l t y k 其中 p t 一2 1 m m a x 1 l l i l j 证明 因为 x y 尸 等 雨1 胁肼m 擎 2x 抑 鲁m l 彬 y 口 等 挑b 肼 z t 7 警t l y 1 钟 引理2 4 对所有的 x y p 口 x y 旨目 x y 证明 因为 x y 在 o o 上单调递增 又因为l i r ax 0 j i 理y 0 则 f 1 a 卜 十a 存在盯 0 o o 盯 0 使等在仃 0 o o 上取到最大值 罄在仃z 0 o 上驯最大值 且瞰川 m a x 等 等 t t ij l 咖 南k 川 霉她 由hy 在防o o 卜单艄黼 所以口 x y 在 1 处取得最小值 啪呤南 x c 扣剖 第2 章无穷 叉 间上微分方程组多点边值问题的l l 解 kfx c 等k 等k o 志k 1 k o 南kl i 一 l 七仃 2 似 卜等等 d 瓦 南 南 等 等 击鼬川 引理2 5 假设 日 日2 成立 则t 尸一尸是全连续的 证明 t p 专p 显而易见 只需证明t 的全连续性及紧性 令 y 是p 中点列 且7i m y x y 则存在 使得s u 眯矗 y 令 b 七 s u p f t 1 7 1 v v g t 1 甜 1 v v7 f 甜 甜 v 1 0 o 木 o 2 爿c p 2 则 f p s i 加 b x y 一m w y 少 d s 2 b r p s 出 f g s g s x x y y 一g 5 x x y y l d s 2 b r g j d s 由勒贝格控制收敛定理我们有当力j 时 k 以肌 一 删缸 l l 厂加 加 x y 一 厂 瞩 x 彬7 出l r p s 1 f s x n x y y 一 厂 s x x y y7 i a s 一0 n n n 3 懈时i 矽卢 墩 7 嘞一矽p 觑 7 嘞l 一0 而且当胛寸 i 对i i t x y t x y 0 m i r x y 7 t x 少 一0 所以丁连续 下证t 的紧性 即t 将有界集映为相对紧集 令qcp 且q 是有界的 则存在 使得对所有 x y q 有i i x y i i r l t x y i l i a x y b x y l s u p 彳 x y i i b x y 2 s 鲥u p p 一 r p 占 f a s c p i f g s g d s j 1 7 l l 河北科技人学硕十学位论文 l l 一一 i l 彳 x y 8 2 矽n 1r p s f a s c 矽 1 一 b 所以利用引理2 3 得 怕q 忙脚靠 1 b 同理可证忙 x y 1 1 0 3 2 2 1r q s g d s c c r b 对所有 y q l i b q l 脚矽 1 b 所以t f 2 是有界的 下证m 的等度连续性 对任意上 o o o r t 0 l a x y 1 t i 争听1c r m 胁 f 击一击 击协 1c n 咖帅m 2 n c rp r f d r d s ji1 百一可1 铒 1 c 争c c l 陆一击j c f i c t 2 h 纵w m l 九 纵w i2 护 f d s l 舛 砷 所以有爿q 在 o o 的任意紧区间上等度连续 同理b q 在 o 的任意紧区间上等 度连续 所以m 在 0 的任意紧区间上等度连续 对所有 x y q 舰l 等1 岩h i m o o 击j p l l r m 肿她 一 f 1 f b 毒 7 1 1 i m o o i 等1 剁 熙击t 上矽p z 1 r g 协札 r 7 一一1 b 毒 o 7 l i m a x 少 刮2 l i m 矽p 1 厂p s f d s l h 1 b 熙 n 一1 厂 户 s 出 一0 同理 l i r a l b x y ij 0 f 所以m 在无穷远处等度收敛所以m 是相对紧的 即t 是紧算子 第2 章兀穷r 问上微分方群组多点边值问题的止解 所以丁是全连续算子 证毕 2 3 主要结论 定理2 2令o 口 1 min 口 屈 一 flln k 1 nl 21 7 t 2m 2m 2 假 一 f1 设条件 日 成立 并假设存在实数a b d 其中 0 勋 矽 b n g 1 f 五 1 t v u zv 2 吒 b n 日 对所有 f j v v o o 0 口 2 0 d 2 有 厂o 1 f 1 t v 21 2 矽 1 a m c g f 1 f 必 1 t v u 2 v 2 矽胁 a m c 仆南陲蚓 胁灿 萎硝 挑p 纠 炉南降蚓 枷灿 善 f g p f 凼 则边值问题 2 1 至少存在三个正解 x y x 2 y 2 x 3 y 且 圭 s u p x c s u p y c d z t 2 3 s u d 业 2 口 o 叭 l p o o 拼 玑l s u p 坐 2 口 o l o1 t 翌普 塑箬且卅mi n 一 r 1k p 刿k 6 o s 一 1 7 1 9 n j j t 科技人学硕十学佝论文 sun iv 掣 然且严in蹦 刿6 1 k o s m p 1 土 川 k s u p 掣 刿6 0 1 c o1 t 上 t k s u p 巡 2 m 且坐型6 o g l 七 证明 我们知道边值问题 2 1 的解就是积分算子 的不动点 下证厂的不动 点存在 爿f z i f f t 丽一丽 证明 对所有 x y p r d 由定义x 2 d j 砸 2 d 所以 s u p 掣 2 m d s u p 型 2 m d 0 1 s 弘 训 0 地袱 鼍1l 1 r p 脚魄 1 r 咖 酗 b 2 0 一屈 j 帕 闽 第2 章无穷区间上微分方稃组多点边位问题的正解 其中 所以 c 互1i 尼 2 k 口 1 z 五 卷器 6 x y p a 0 7 d c b a x y b 矽 对任意的 x y p a 0 d c b 需证o t t x 少 b 定理2 2 就满足定理 2 1 中的条件 1 由引理2 4 和 日 可知 叩c w 由咿c 训 2 南 s u p 1 b x 嘎y 1 s u d l 二二 二 二 二二l o s f 0 1 j 上2 1 k 2j t翻 1f 1 脚m l 酬凼 般叫 击咙卜 定理2 2 满足定理2 1 中的条件 1 2 证定理2 1 中的条件 2 成立 若 x y p a 0 y d c 6 且o t x y c 由 引理2 4 可得 口 m 州 口 y 鳅 y 击刖 训 阳川 上k l c 由 致卷 定理2 2 满足定理2 1 中的条件 2 6 丽2 k 1 26 6 3 很显然0 盛尺 y d a 对 x y r g t y d a 且缈 x y a 由引理2 3 和条 件 风 知 妙 丁 x y m z t x y 2m s u pa x y 7 f 4 s u p b x y o z r0 t 0 t 1 p2 1 0 r o o 0 1 这里m 是常数 o 1 o 卜 一q 是连续函数 且 f 0 o o o t o 1 这里q 是常数 h 2 g 0 1 一 o 为连续函数 且g d 在任意 0 1 子空间不恒等于0 且 f g f a t o 问 2 气 洲 i 匕f t 技人学硕十学位论文 令x 为b a n a c h 空间 锥kc x 为常规范数 我们可知k k 是b a n a c h 空 间xxx 的一个锥 令l v j m a x 1 i i 这里 v x x 且r 是大于0 的整数 令k v k klc v l i o k v kxk l l j v 0 r 假设 口 k k r 连续泛函 同样假设k b 甜 1 k xk a u v b o k b v k xk a u v 6 k 6 甜 v k 口 i i z 1 n a u v b a o 满足下列条件 c 1 若x a nr x 6 c 3 由口忱 6 可推出i i t x l j c 则丁在k 中至少有一个不动点y 使得a i m y c 口 o i n f x 甜 6 i l r x l l 一 c 令t 牛 k 6 一k 是 丁i 跗 6 ak 6 一k 的延拓 由d u g u n d j i 延拓定理可知p 是全连续的 且 t 水 k 6 cc o g l v e x 孔a k 6 由于集合 x k 口 6 n x k i l x l t 0 i n f x 胱 6ji i t x l l b 矛盾 另一方面若x o k 6 na 恐 则2 c 1 lx o l l lt 宰x o l l 一c 矛盾 对于x