（控制理论与控制工程专业论文）摄像机标定与三维重建研究.pdf

争 学位论文数据集 中图分类号 t p ；c ) j 学科分类号i 沈。毛。 论文编号幻泐7 。幺； 密级 公萄 学位授予单位代码 1 0 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学 作者姓名 酣、两 学号 2 协年d 多。够多 获学位专业名称 跏燃与芬协 丝获学位专业代码 e , 兽 i t o ， 课题来源 。伍湖乏l i 研究方向 出兹枕髓班 论文题目 抱像耘j = 獭多铴锄亓无 关键词 。锄般瓤瓢椽，缸楠霆掀，翮汐院 论文答辩日期 枷7 占一 论文类型 勘莎绷衫 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称工作单位学科专长 指导教师 锄私僻 数摆北豸伽烯螽娩砉犯鼢 评阅人1 主4 抓稚酗铷玺鹏饥编氆，蝴 评阅人2 他拣局工一 蜊张愀毛竺 蝴。族 嗡世、么占甩彳。啊 、 i v 4 评阅人3 评阅人4 评阅人5 ，旦。d 口 答辩委员会主席 弛知韵d 碴f 舢陇名右i渊锨杉灰 答辩委员i 刻概始到铋袈“一缸钐赠摊能柞耖j 答辩委员2 弓恢成 引私般 托李优嬲就气谚琉 答辩委员3 答辩委员4 答辩委员5 注：一论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 二中图分类号在中国图书资料分类法查询 三学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t13 7 4 5 - 9 ) 学科分类与代码中 查询 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成 删7舢5 舢4删0 mmwi帅8 iiiiiy 弓 f 一 摘要 摄像机标定与三维重建研究 摘要 本文作者主要围绕摄像机标定、三维重建、空间测量等内容上开展了 一些工作。论文的主要工作有以下五个部分： 1 ：探讨了摄像机的标定和三维重建的一些基本概念，主要有：( a ) 线 性模型摄像机标定；( b ) 针孔模型摄像机标定；( c ) 立体视觉和空间点的 三维重建。 2 ：探讨了射影几何的基本知识，主要有：( a ) 射影变换中的不变量； ( b ) 仿射坐标系与射影坐标系之间的关系；( c ) 仿射变换与射影变换的代 数表示；( d ) 空间点、线的表示方法，并对这些概念做出了解释。 3 ：提出了一种基于正八边形的摄像机标定方法，分析了基于仿射的 摄像机标定方法。 4 ：提出了一种新型模板：对几种常见的标定模板进行了分析，得出 了它们的优缺点，利用射影变换中的不变量，给出了自己的模板，通过仿 真实验与真实图像实验验证了这一模板的可行性，并基于此模板进行了空 间测量。 5 ：提出了一种新的算法：给出了基于单幅的平行六面体图的标定新 算法，通过仿真实验验证了该算法的可行性，并结合真实图像实现了空间 测量。 北京化工大学硕士学位论文 关键词：计算机视觉，摄像机标定，三维重建，空间测量 i 一 产。 摘要 c a m e r ac a l i b r a t i o na n d 3 d - r e c o n s t r u c t i o nr e s e a r c h m e n t a b s t r a c t t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sd o i n gs o m ew o r k sa b o u tc a m e r a c a l i b r a t i o n 、3 d r e c o n s t r u c t i o n 、m e t r o l o g ya n ds oo n t h em a i nt a s k s i sm a d eu po ff i v ep a r t s ，t h e r ea r e ： 1 ：s o m ed i s c u s s i o n sa b o u tb a s i cc o n c e p t so fc a m e r ac a l i b r a t i o na n d 3 d - r e c o n s t r u c t i o n t h e r ea r e ：( a ) c a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e do nl i n e a r m o d e l ；( b ) c a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e dp i n - p o l em o d e l ；( c ) s t e r e o s c o p i c v i s i o na n d3 dr e c o n s t r u c t i o no f p o i n t 2 ：s o m ed i s c u s s i o n sa b o u tb a s i cc o n c e p t so fp r o j e c t i v eg e o m e t r y ， t h e r ea r e ：( a ) i n v a r i a n t si nt h ep r o j e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n ；( b ) t h e r e l a t i o n sb e t w e e na f f i n ec o o r d i n a t ea n dp r o j e c t i v ec o o r d i n a t e ；( c ) t h e a l g e b r i c a le x p r e s s i o n o f a f f i n et r a n s f o r m a t i o na n d p r o j e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n ；( d ) t h em e t h o df o re x p r e s s i o no fp o i n t ，l i n ei nt h e w o r l d ，a n de x p l a i n i n gt h e s e 3 ：p u t t i n gf o r w a r do n ec a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e do nap l a n ep a t t e r n o c t a g o nm e t h o d ，a n a l y s i n gc a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e do na f f i n eg e o m e t r y 4 ：p u t t i n gf o r w a r do n en e wk i n do fp l a n em o d e l ：m a k i n gs o m e a n a l y s i s e sa m o n gs e v e r a lu s u a lm o d e l s ，f r o mt h e i ra d v a n t a g e sa n d 北京化工大学硕士学位论文 d i s a d v a n t a g e s ，u s i n gt h ei n v a r i a n t si np r o j e c t i v eg e o m e t r y ，ip u tf o r w a r d n e wk i n do fp l a n em o d e l al o to fs i m u l a t e dp h o t oe x p e r i m e n t sa n dr e a l p h o t oe x p e r i m e n t sp r o v i d et h ea v a i l a b i l i t yo ft h i sm o d e l ，f i n a l l ya t t a i n i n g t h em e t r o l o g yb a s e do nt h i sp l a n em o d e l 5 ：p u t t i n gf o r w a r do n en e w k i n d o fc a m e r ac a l i b r a t i o na l g o r i t h m b a s e do ns i n g l ep a r a l l e l e p i p e dp h o t o ，t h es i m u l a t e de x p e r i m e n t sp r o v i d e t h ea v a i l a b i l i t y ，f i n a l l yo b t a i n i n gt h em e t r o l o g yw i t ht h i sa l g o r i t h mi n r e a lp h o t oe x p e r i m e n t k e y w o r d s ：c o m p u t e rv i s i o n ，c a m e r ac a l i b r a t i o n 3 d - r e c o n s t r u c t i o n ，m e t r o l o g y i v 目录 目录 第一章绪论l 1 1 三维计算机视觉及其重要性1 1 2 摄像机标定及其重要性1 1 3 摄像机标定的国内外研究状况2 1 4 论文的研究内容和意义2 1 5 论文的组织结构。3 1 6 论文的主要贡献3 第二章摄像机标定与三维重建5 2 1 线性模型摄像机标定。5 2 2 针孔模型7 2 3 针孔模型摄像机标定1 0 2 4 立体视觉与空间点的三维重建1 3 2 5 本章小结。1 6 第三章射影几何1 7 3 1 射影几何及几何元素表达17 3 2 射影变换坐标系与仿射变换坐标系1 9 3 3 仿射变换与射影变换2 2 3 4 平面直线和点的对偶关系。2 5 3 5 本章小结。2 7 第四章基于正八边形的自标定与仿射标定2 9 4 1 基于正八边形的自标定。2 9 4 1 1 三维射影空间的绝对二次曲线和圆环点2 9 4 1 2 内部参数矩阵的约束方程和求解算法3 2 4 1 3 仿真实验。3 3 v 北京化工大学硕上学位论文 4 2 基于仿射的摄像机标定3 3 4 3 本章小结4 0 第五章基于新型模板的摄像机标定与空间测量4 l 5 1 基于射影不变性的测量4 1 5 1 1 平面模板。4 1 5 1 2 平面测量4 2 5 2 模拟实验。4 3 5 3 真实图像实验4 7 5 4 本章小结。4 9 第六章基于单幅平行六面体图的摄像机标定与空间测量5 1 6 1 基于平行六面体的标定和空间测量5 1 6 1 1 摄像机的标定。5 1 6 1 2 空间测量5 3 6 2 模拟实验5 3 6 3 真实图像实验5 4 6 4 本章小结5 5 第七章总结与展望。5 7 参考文献5 9 致 谢6 l 研究成果及发表的学术论文6 3 作者及导师简介6 5 c o n t e n t s c o n t e n t s c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n 1 】【13 - dc o m p u t e rv i s i o na n di t si m p o r t a n c e 1 1 2c a m e r ac a l i b r a t i o na n di t si m p o r t a n c e 1 1 3d o m e s t i ca n di n t e m a t i o n a lr e a s e a r c h m e n ta b o u tc a m e r ac a l i b r a t i o n 2 1 4t h em e a n i n g sa n dc o n t e n t so ft h e s i s 2 1 5t h ec o n s t r u c t i o no ft h e s i s 3 1 6t h ec o n t r i b u t i o no ft h e s i s 3 c h a p t e r 2c a m e r ac a l i b r a t i o na n d3 - dc o n s t r u c t i o n 5 2 1c a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e do nl i n e a rm o d e l 5 2 2p i n - h o l em o d e l 7 2 3c a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e d1 3 9p i n h o l em o d e l 1 0 2 4s t e r e o s c o p i cv i s i o na n dt h e3 - dc o n s t r u c t i o no fp o i n t 1 3 2 5t h es u m m a r yo ft h i sc h a p t e r 1 6 c h a p t e r 3p r o j e c t i v eg e o m e t r y 17 3 1p r o j e c t i v eg e o m e t r ya n dt h ee x p r e s s i o no fg e o m e t r i ce l e m e n t 1 7 3 2p r o j e c t i v et r a n s f o r m a t i o nc o o r d i n a t ea n da f f i n et r a n s f o r m a t i o nc o o r d i n a t e 1 9 3 3a f f i n et r a n s f o r m a t i o na n dp r o j e c t i v et r a n s f o r m a t i o n 2 2 3 4t h ea c c i d e n t a l i t yo fp o i n t sa n dl i n ei nt h ep l a n e 2 5 3 5t h es u m m a r yo ft h i sc h a p t e r 2 7 c h a p t e r4s e l f - c a l i b r a t i o nb a s e do no c t a g o na n da f f i n ec a l i b r a t i o n 2 9 4 1s e l f - c a l i b r a t i o nb a s e do n o c t a g o n 2 9 4 1 1t h ea b s o l u t ec o n i ca n dc i r c l ep o i n ti n3 - d p r o j e c t i v ep l a n 2 9 4 1 2t h ec o n t r o le q u a t i o no fi n t r i n s i cp a r a m e t e r sm a t r i xa n dt h es o l u t i o nm e t h o d 3 2 v 北京化工大学硕士学位论文 4 1 3s i m u l a t e de x p e r i m e n t 3 3 4 2c a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e da f f i n eg e o m e t r y 3 3 4 3t h es u m m a r yo ft h i sc h a p t e r 4 0 c h a p t e r5c a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e do nn e wm o d e la n ds t e r e o s c o p i c m e t r o l o g y 4 1 5 1m e t r o l o g yb a s e do np r o j e c t i v ei n v a r i a n t s 4 1 5 1 1p l a n em o d e l 4 1 5 1 2p l a n em e t r o l o g y 4 2 5 2s i m u l a t e de x p e r i m e n t 4 3 5 3e x p e r i m e n tb a s e do nr e a lp h o t o 4 7 5 4t h es u m m a r yo ft h i sc h a p t e r 4 9 c h a p t e r6c a m e r ac a l i b r a t i o nb a s e do ns i n g l ep a r a i l e l e p i p e dp h o t o a n dm e t r o l o g y 5 1 6 1c a l i b r a t i o nb a s e do np a r a l l e l e p i p e da n dm e t r o l o g y 5 1 6 】【1c a m e r ac a l i b r a t i o n 5 1 6 1 2m e t r o l o g y 5 3 6 2s i m u l a t e de x p e r i m e n t j 5 3 6 3e x p e r i m e n tb a s e do nr e a lp h o t o 5 4 6 4t h es u m m a r yo ft h i sc h a p t e r 5 5 c h a p t e r7s u m m a r y a n do u t l o o k 5 7 r e f e r e n c e 5 9 t h a n k s 6 1 r e s e a r c ha c h i e v e m e n ta n dp u b l i s h e da c a d e m i cp a p e r 6 3 b r i e fi n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o ra n dt u t o r u 6 5 第一章绪论 第一章绪论 1 1 三维计算机视觉及其重要性 计算机视觉( c o m p u t e rv i s i o n ) 的根本目的就是通过计算的手段( 即通过计算机) 对图像进行理解。1 9 8 2 年，m i t 的d m a r t 教授提出了一套相对完整的计算机视觉理 论，标志着计算机视觉成为了一门独立的学科。它从信息处理的层次出发，研究视觉 信息的认知过程，研究视觉信息处理的计算理论、表达与计算方法，包括图像特征提 取，摄像机标定，立体视觉，运动视觉( 或称序列图像分析) ，因而计算机视觉的根本 任务也就是从多幅二维图像来恢复空间物体的三维几何结构即三维重建。虽然在上世 纪9 0 年代有很多学者对d m a n 教授这一理论提出了很多的质疑，但是后面很多的研 究还是认为这一理论是正确的，并通过许多学者的努力使它得以丰富和完善。 计算机视觉有着广泛的应用，其主要应用领域有： 视觉监控即j 工业应用【4 _ 5 j ，比如制造业中的过程智能控制、工件检测等； 军事领域，卫星系统，航空导航1 6 j 等： 通讯领域，可视电话【扎8 j 的图像重构： 文物考究【引，通过三维视觉恢复文物的立体结构。 通过上面的阐述，知道了计算机视觉可以应用到很多的实际问题当中去。虽然不 同的实际应用将会面对不同的难点，但是总体来说计算机视觉包括如下四个核心问 题： 1 针对单幅图像的图像分割 1 0 - l l j ； 2 针对多幅图像的图像点的对应【1 2 j ： 3 针对多幅图像的图像点的运动分析【1 3 以7 】； 4 针对多幅图像的图像点的三维重建【墙j 。 只有解决了这四个核心问题，才能很好地解决计算机视觉应用所面临的问题。 1 2 摄像机标定及其重要性 摄像机标定，一般指的是摄像机的内外参数的求解过程。三维重建，就是要从多 幅( 一般两幅) 图像恢复物体的三维结构过程，在这一过程中有一个非常重要的环节， 那就是摄像机标定，只有完成了这一步才能求得摄像机成像过程中的由图像点坐标到 世界点坐标的转换矩阵。 北京化工大学硕士学位论文 根据国内外的文献可以知道：摄像机的标定主要有三种不同的形式：传统的标定 方法、自标定方法、基于主动视觉的标定方法。 传统的标定方法，用一个已知结构、加工精密的标定块作为参照物，利用图像点 与空间点之间的对应关系来建立摄像机的成像模型的参数约束，再利用一些最优算法 求解摄像机的内外参数的过程。 自标定算法，不需要参照物，只要通过建立多幅图像之间的对应关系来进行标定 的过程，是上世纪9 0 年代提出的一种新的方法，在实际应用中提供了很大的方便， 因为有很多的标定环境是人无法去的( 比如危险工作环境) 。 基于主动视觉的标定方法，已知某些摄像机运动信息的标定方法，它也是在传统 标定方法和自标定方法存在很多的不足之处的情况下，应运而生的。其能够提高标定 的鲁棒性。 1 3 摄像机标定的国内外研究状况 在上面提到三种标定方法中，自标定方法为当今计算机视觉领域中摄像机标定的 主流方法，它首先是由m a y b a n k 和f a u g e r a s 在1 9 9 2 年独立提出来的。后面研究人员 大多都是基于这一基础上进行研究的，经过十多年的研究工作，得出了很多有意义的 结论，主要有：1 9 9 4 年h a r t l e y 利用一个射影重构和空间欧氏重构相差一个唯一的射 影变换证明了重构空间的唯一性；1 9 9 5 年h a r t l e y 提出了规一化的8 点算法( n o r m a l i z e d 8 - p o i n ta l g o r i t h m ) 这一算法为计算机视觉领域中求解基础矩阵提供了一种标准的算 法；1 9 9 5 年s h a s h u a 提出了三幅图像之间的t r i f o c a lt e n s o r 约束的概念；1 9 9 6 年t r i g g s 提出了基于因式分解的射影重构方法；1 9 9 6 年p o l l e f e y s 提出了模约束概念；1 9 9 9 年 张正友提出了简易摄像机标定方法；2 0 0 0 年时，这些方法和理论已经很成熟，由h a r t l e y 和z i s s e r m a n 共同出版了“m u l t i p l ev i e wg e o m e t r yi nc o m p u t e rv i s i o n ”一书，这为以后 从事这方面研究的人员提供了很大的帮助。 进入2 1 世纪以后，研究工作的重点主要是追求新的标定块、如何建立鲁棒性高 的算法和提高算法的应用能力。 1 4 论文的研究内容和意义 本文主要是采用理论分析、仿真和真实图像实验相结合的研究方法，以摄像机的 新型标定块、新算法和空间测量为主要的研究内容，研究包括： 1 分析了摄像机标定和三维重建的基本方法，并提出了一种基于正八边形的自标 定算法： 2 广 第一章绪论 2 探讨了射影几何的基本知识： 3 提出一种新的标定块，并结合真实图像实验实现空间测量； 4 提出一种基于单幅平行六面体的标定和三维重建方法。 上面的内容能为从事这方面研究工作的工作人员有一定的参考价值。 1 5 论文的组织结构 该论文总共有7 章组成，第一章，主要介绍了计算机视觉的发展历程、应用范围、 理论结构。第二章，主要介绍了摄像机标定、立体视觉和空间点的三维重建。第三章， 探讨了射影几何的基本知识。第四章，提出了一种基于正八边形的摄像机标定方法并 分析了基于仿射的摄像机标定方法，通过仿真实验验证了基于正八边形的摄像机标定 方法是可行的。第五章，提出了一种新的摄像机标定块，并在这标定块上进行了仿真 实验来验证它的可行性，最后结合真实图像实验实现了空间测量。第六章，探讨了一 种新的基于单幅平行六面体图像的标定算法，并结合真实图像实现了空间测量。第七 章，总结了论文的工作，并为这方面今后的研究做了一个展望。 1 6 论文的主要贡献 1 ： 讨论了仿射和射影变换的几何与代数表达，点、线的几何表示方法，并基于 此提出了通过正八边形实现摄像机标定方法。对以后从事摄像机标定研究人员来说， 有一定的参考价值。 2 ：通过对摄像机标定的理解，提出了一种新的摄像机标定块，这一标定块在摄 像机与空间物体有很大的拍摄角度偏差情况下，也能够精确地提取特征点，并完成摄 像机标定，进而求得单应矩阵，最后在这标定块上结合真实图像实验实现了空间测量， 从而完成三维重建。仿真实验和真实图像实验说明该方法是可行的。该论文的这些结 论为以后从事计算机视觉标定模块研究和空间测量研究的人员来说有一定的参考价 值。 3 ：针对单幅平行六面体图，通过分析和讨论得出了一种新的标定算法，并通过 仿真实验验证了这一方法的可行性，最后结合了真实图像实验实现了空间测量，完成 了三维重建。该论文的这些结论对这方面的后续研究工作者来说有一定的参考价值。 3 第二章摄像机标定与三维重建 第二章摄像机标定与三维重建 摄像机标定和三维重建在计算机视觉研究当中非常重要，比如在机器人视觉中， 有着举足轻重的作用，要对摄像机标定和三维重建有一个充分的了解和研究，本文作 者认为需要掌握以下知识： ( 1 ) 线性模型描述摄像机标定方法，该方法一般只是在要求精度不高的情况下 使用： ( 2 ) 摄像机标定与计算机视觉系统的任务有关，比如在立体视觉中，一般需要 使用两个或更多的摄像机，需要知道摄像机之间的几何关系； ( 3 ) 机器人视觉中的刚体运动； ( 4 ) 空间元素( 比如点、直线等) 的三维重建。 对上述问题，作者在本章中介绍了一些基础知识。 2 1 线性模型摄像机标定 在线性模型摄像机标定中为了定量地描述光学成像过程，在这里不妨引入三个坐 标系：图像坐标系，摄像机坐标系，世界坐标系。 摄像机采集的图像以标准电视信号的形式保存在计算机中，经计算机利用专用的 数模板变换成数字图像，图像在计算机内可以用m n 数组来储存，m 行列的图 像中的每一个元素( 称为象素，p i x e l ) 的数值即是图像点的亮度( 灰度) ，在下图2 - 1 定义 直角坐标系( 肛，v ) ，每一象素的坐标( ，v ) 分别是该象素在数组中的列数与行数。 所以，( j c l ，v ) 是以象素为单位的图像坐标系的坐标，由于( j c ，v ) 只表示象素位于数 组中的列数与行数，并没有用物理单位表示出该象素在图像中的位置，因而，需要再 建立以物理单位( 例如毫米) 表示的图像坐标系。该坐标系以图像内某点d 1 为原点，x 轴 与y 轴分别与肛，y 轴平行，如下图2 1 所示，( ，v ) 表示以象素为单位的图像坐标系 的坐标，( 而y ) 表示以毫米为单位的图像坐标，也就是说这两个坐标都是图像坐标系， 只是采用的坐标单位不同而已，在石，y 坐标系中，原点d 1 是摄像机光轴与图像坐标 平面的交点，这一点一般位于图像中心处，由于摄像镜头的畸变也许会使这个点稍微 与理想值有点偏差，若a 在弘， ，坐标系中的坐标为( ，v 0 ) ，假设每一个象素在弱y 轴方向上的物理尺寸为出，咖，这样可以通过下面的式子 5 北京化工大学硕士学位论文 来联系两个坐标系 一 d ( 弘。，) x ，y 图2 1 图像坐标系 f i g 2 - 1i m a g ec o o r d i n a t e 。忑训o y 。姜+ 匆 ” 可以借助齐次坐标与矩阵可以将上面的形式转换为下面式子 这样也可以推出它的逆变关系： 【i】= o a x 一 1 0 了h 砂 0o1 【：i】c：-，。， 【i 】i 【言弓硼心_ 称为摄像机光心，在图2 - 2 中x c 轴与屹轴与图像坐标系的x ，y 轴平行，z c 轴为摄像 点d 与k ，匕，z c 轴组成的直角坐标系称为摄像机坐标系。o o , 为摄像机焦距。 6 第二章摄像机标定与三维霞建 z c 图2 - 2 摄像机坐标系与世界坐标系 f i g 2 - 2c a m e r ac o o r d i n a t ea n dw o r l dc o o r d i n a t e 由于摄像机可安放在环境中任何位置，在环境中还选择一个基准坐标系来描述摄像机 的位置，并用它描述环境中任何物体的位置，该坐标系称为世界坐标系。它由x k ， z 。轴组成。摄像机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵尺与平移向量t 来 描述。因此，现在在这里假设空间中某一点p 在世界坐标系与摄像机坐标系下的齐次 坐标分别为( x 。，匕，z 。，1 ) 1 与( x 。，k ，z c ，1 ) 1 ，这样可以用下面这个矩阵来描述这两个坐 标系之间的关系 x c k z c 1 。刚 x 。 匕 z w 1 一m l x 。 匕 z 。 1 ( 2 3 ) 其中，r 是3 3 正交单位矩阵；f 为三维平移向量；o 一( o ，0 ，o ) r ；m 。为4 4 矩阵。 2 2 针孔模型 通过上面的介绍，非常清楚地知道了在研究摄像机成像经常用到的三个坐标系以 及它们之间的转换关系。在这基础上来探讨一下线性模型摄像机模型的。 其实，空间上的任何一点p 在图像上的成像位置可以近似于针孔模型，也就是任 何点p 在图像的投影位置为p ，从图2 - 2 ，可以知道位置p 是光心d 与p 点的连线o p 与图像平面的交点。可以得到如下的比例关系式： 7 北京化工大学硕士学位论文 其中，( x ，y ) 为p 点图像坐标；( x c ，k ，z 。) 为空间点p 在摄像机坐标系下的坐标。 这样利用齐次坐标与矩阵可以表示透视摄影关系如下： z 骨习 x ： k z 。 l 然后将式( 2 3 ) 和( 2 - 4 ) 代入( 2 5 ) 中就可以得到世界坐标系表示的点p 与其 投影点p 之间的关系： 卅 一雕,冲u00 010i v ： 【j 1 1 _ u , u o d r 1 o 万 001 x 。 匕 z 。 1 兰三蚤 ； ：】 lj x 。 匕 z 。 1 一m 。m 2 x w 。m x 旷( 2 6 ) 其中，q 一丢，口，一专；m 为3 4 矩阵，称为投影矩阵；m 。完全由q ，口，。， 决定，q ，口，j c l 。，只与摄像机内部结构有关，因此，把这些参数称为摄像机内部 参数；m ，完全由摄像机相对于世界坐标系的方位所决定，因此，把这些参数称为摄 像机外部参数；确定一个摄像机的内外参数的过程，称之为摄像机标定。 由上面的( 2 6 ) 可以知道如果确定了摄像机的内外参数，就知道投影矩阵肘， 在知道肘的情况下，只要得到任何空间点p ，假设点p 的坐标为 x ，一( x 。，匕，z 。1 ) 1 ，就可以求出图像点p 的坐标( 位置) ( j c l ， ，) 1 ，这是因为在已 知m 与x 。，时，由式( 2 6 ) 可以给出三个方程，在这三个方程中消去z ，就可以求出 ( j l i ，l ，) 1 。反过来，在已知空间某点p 的图像点p 的位置( ，v ) 。以及摄像机内外参 数，x 。，也不能唯一确定。其实，在式( 2 6 ) 中，m 是3 4 不可逆矩阵，当已知 ，与 ( ，y ) 。时，由式( 2 6 ) 给出的三个方程中消去z 。，只可得到关于x 。，匕，z 。的两 8 4 2 墨乙以一乙 一 l 工 y 第二章摄像机标定与三维重建 个线性方程，由这两个线性方程组成的方程组即为射线o p 的方程，也就是说，投影 点为p 的所有点均在该射线上，它的物理意义可由图2 - 2 看出，当已知图像点p 时， 这样在针孔模型中，任何位于射线o p 上的空间点的图像点都是p 点，因此，该空间 点并不能唯一地确定下来。这样不由要来提一下由( 2 6 ) 演变过来的规一化投影关 系： 在把式( 2 1 ) 代入得到： v 1 z y 1 1 忑。鳓 1 o 万 0o1 f 0 0 l 。 0o f 00 0 | 0 0o1 吒0 , u o 0 口j ，v 0 001 定义( ，以，1 ) r 为规一化的图像坐标，则得到： 这样由以上的两个式子得到 广 由此进一步得到： y 。 1 y 。 1 10 o1 o 0 10 o1 o o lo o1 0o a x 0 讳口 0 a ，v o oo1 1o o1 oo 0o 0o 1o 0o oo 10 0 0 o o 1o o 0 oo 10 y 1 x ： k z 。 1 x c k z 。 1 x c k z 。 l x c k z 。 1 ( 2 - 7 ) 睦猫， 9 北京化工大学硕士学位论文 上面使用规一化坐标，其实相当于假设摄像机焦距等于1 的情况推倒出来的，( 2 7 ) 将规一化坐标转换成实际的图像坐标。 2 3 针孔模型摄像机标定 摄像机标定一般都需要一个放在摄像机前的一个标定物块( r e f e r e n c eo b j e c t ) ，这 个标定块形状的选择对摄像机的标定准确与否起着决定作用，在国内外文献上给出了 许多的标定模块，国内机器视觉研究工作者所使用的标定模块主要有两种，一种是正 方形格子为标定素材1 1 9 - 2 5 】，另一种是圆形标定素材1 2 6 _ 3 0 1 等，现假设存在如下图2 3 的一个标定块。 图2 3 标定参照物 f i g 2 - 3 r e f e r e n c eo b j e c t 首先探讨一下如何由参照物图像来求投影矩阵图肘的算法。将上面的式( 2 8 ) 可以 写成： 料匪囊 x 融 匕 z 试 1 其中，( x 州，k ，z 耐，1 ) 1 为空间第f 个点的坐标；( 雎，屹，1 ) 1 为第f 点的图像坐标；，l f 为 投影矩阵m 的第i 行，列元素。这样( 2 9 ) 就可以写成三个方程： f 乙以一鸭1 x 耐+ 玛2 k + ，1 1 3 z 耐+ ，1 1 4 z d k m 2 1 x 耐+ 刀l 砣k + m 2 3 z 耐+ ，靠m 。( 2 - 1 0 ) l z 二一m 3 l x 一+ m 3 2 y w , i + 脚3 3 z “+ 刀l 将上面的( 2 1 0 ) 中的第一式除以第三式，第二式除以第三式，这样就可以分别消去 z 。后得到两个关于m 。的线性方程如下： 1 0 - 广 第二章摄像机标定与三维重建 f x ，f m l l + k 2 + z 州，1 1 3 + 惕4 一a i x 耐m 3 l 一肫k m 3 2 一l a t z 州m 3 3 一i t e m 3 4 ，1 1 、 l x 州，刀2 l + k ，行2 2 + z 耐，咒2 3 + 历2 4 一u 肖州m 3 l - v y , “m 3 2 一u z 州m 3 3 - u 朋3 4 、7 通过上面的式，如果知道了标定块上的以个已知点的话，就可以通过它们的空间坐标 ( x 州，匕，z 州) 1 ( f - 1 ，刀) 以及它们的图像点坐标( 他，u ) 1 ( f 一1 ，万) ，得到由2 n 个关于 m 中组成元素m “的线性方程，这些线性方程也可以写成矩阵的形式如下： 石，l匕1z w l 10000 一肫x w i一l 匕l- i t i z w l 0 0 00 x 们y w lz 以 1 一h x w l一，l 匕1一y l z w l x 帽kz 嘲 oo0 10000 一j l z 肼一地k w一l z 啪 0 x 嘲y 肼z 姗 1 一h x 蜊 一h 】么 - v l z 嘲 1m34 ，1 肌3 m3 4 ， 朋34 ( 2 12 ) 由上面的式