2.2.1 椭圆的标准方程(TY).doc

2.2.1 椭圆的标准方程2.2.1 椭圆的标准方程第1课时课题：椭圆的标准方程一复习椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距二椭圆的标准方程在解析几何中研究平面上的曲线，先建立平面直角坐标系，然后求曲线的方程，再用代数的方法研究这个曲线性质。例如前面研究的直线和圆。问题：要求椭圆的方程，你认为怎样建直角坐标系为好？为什么？问题：设椭圆的两焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点M到F1、F2的距离和为2a（2a2c0），你能求这个出椭圆的方程吗？ 建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且原点点O与线段F1F2的中点重合 设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c0），那么，焦点F1、F2的坐标分别为（c，0）、（c，0）又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a由椭圆的定义，椭圆就是集合 PM| | M F1 | MF2 |2a 因为 | M F1 |，| MF2 |， 所以 2a 移项后两边平方，得（xc）2y24a24a（xc）2y2整理，得 a2cxa两边再平方，得 a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2，整理，得（a2c2）x2a2y2a2（a2c2）由椭圆的定义可知 2a2c，所以 a2c20令a2c2b2，其中b0，代入上式，得 b2x2a2y2a2b2，两边同除以a2b2，得（ab0） 从上述推导过程可知，这个椭圆是所有以方程（ab0）的解为坐标的点组成的这就是说，如果M（x0，y0）是椭圆上的点，那么（x0，y0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x0，y0）是方程（ab0）的解，那么以它为坐标的点一定在这个椭圆上，这样，我们就说（ab0）是这个椭圆的方程这个方程叫做椭圆的标准方程它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（c，0）、F2（c，0），其中b2 a2c2问题：如果焦点F1、F2在y轴上，焦点F1、F2的坐标分别为（0，c）、（0，c），a、b的意义同上（如图），椭圆的标准方程又是怎样的？你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征来猜想出结论吗？实际上，图2相当于先将图1中的x轴、y轴互换，再将x轴改变方向，因此，只要将方程中的x、y互换，就可得到该椭圆的方程（显然x轴的方向改变了，但是方程中以y代y后方程仍保持不变）：（ab0）这个方程也的椭圆的标准方程 说明： 1椭圆的标准方程有二： 或（ab0）之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用椭圆的对称性建立直角坐标系有关对椭圆的标准方程还应注意理解以下几点：（1）标准方程中的两个参数a和b是椭圆的定形条件，a、b的值一旦确定，椭圆的形状和大小也就随之确定；（2）焦点F1、F2的位置是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的的类型，也就是说，若知道了焦点的位置，其标准方程只有一种形式；若不知道焦点的位置，其标准方程具有两种类型我们应当特别重视方程的形式与图形的对应关系，养成先“定型”再确定方程的习惯（3）任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点的坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式（4）由椭圆的定义中常数大于| F1F2 |的要求，有2a2c02在推导椭圆的标准方程的过程中，渗透数形结合的思想了如“令a2c2b2”，这不仅可以使方程变得简单整齐，同时它还有很明确的几何意义请思考：（1）a，b，c三个参数有什么几何意义？等式a2b2c2又有怎样的几何意义？（2）在推导出后，可将它变形为或 ，它们有怎样的几何意义？3椭圆的两个基本问题：（1）求椭圆的标准方程时，若条件符合椭圆的定义，中心在坐标原点，只要求出a、b（2）若已知椭圆的方程，便可知a、b、c三例题例1 （1）已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是6，椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程（2）求焦点为（0，4）和（0，4），且过点（，3）的椭圆的标准方程解：（1）由于椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程是由题意，知2c6，2a10，所以a5，c3由a2b2c2，得b216所以椭圆的标准方程是（2）由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且c4，故设椭圆的方程是由于点(, 3)在椭圆上，则有，解得a236，b220，所以所求椭圆的方程是说明：对于已经指明焦点位置的椭圆，解题时可以利用待定系数法，先设出方程，进而利用条件求出方程中的系数对于焦点位置不确定的椭圆，求其方程时应分类讨论利用待定系数法求椭圆的方程，在计算a、b的过程中应注意准确运用a2b2c2这一条件拓展：如果将第（1）题中“椭圆的焦点在x轴上”这个条件去掉，结果又将如何呢？例2 已知一个动点P（x，y）到两个定点A（1，0）、B（1，0）的距离的和为定值m，试求点p的轨迹方程解：因为 | PA | PB |m，| AB |2，| PA | PB | AB |，所以 m2（1）当m2时，点P的轨迹就是线段AB所以点P的轨迹方程为y0（1x1）（2）当m2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆因为 2am，2c2，所以 a，c1，b2a2c21所以点P的轨迹方程为说明：平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆，当动点到两定点的距离和等于两定点间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和大于两定点间的距离时，动点的轨迹是椭圆例3 已知方程（2k）x2ky22kk2表示焦点在x轴上的椭圆，求实数k的取值范围解：二元方程表示椭圆，可先将其化成标准形式，然后再判断k的取值范围由（2k）x2ky22kk2表示椭圆，知当2kk20时，有1因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以 k2k0，即 1k2故实数k的取值范围是 1k2拓展：若将题中“椭圆的焦点在x轴上”这个条件去掉，结果又将如何呢？应由得0k2，且k1也可分“焦点在x轴上”和“焦点在y轴上”两种情况讨论当焦点在y轴上时，0k2k，得0k1由此及原题的结论，得0k2，且k1对于方程，当mn0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆特别注意，当nm0时，方程表示圆心在原点的圆“分母大小”对应着“椭圆焦点的位置”必须掌握例4 在椭圆上，是否存在点P，使P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直？若存在，求出P点的坐标；如果不存在请说明理由解：设椭圆的两个焦点为F1，F2如果这样的P点存在，则 依题意，a2，b，c1，所以 | F1F2|2，因为F1PF2是直角三角形，所以 由条件得 ，这是不可能的，所以这样的点P不存在说明：（1）注意充分利用椭圆的定义解题（2）拓展：椭圆方程中的a，b满足何种条件时，这样的P点存在？从数形结合的角度来思考设椭圆的两个焦点为F1，F2，依题意，F1PF290，