江西省南昌二中高三数学上学期第四次段考试卷 理（含解析）.doc

江西省南昌二中2015届高三上学期第四次段考数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共50分）1（5分）设集合p=a2，log2a，q=2a，b，若pq=0，则pq=（）a0，1b0，1，2c0，2d0，1，2，32（5分）下列命题中是假命题的是（）aa，br+，lg（a+b）lga+lgbbr，函数f（x）=sin（2x+）是偶函数c，r，使得cos（+）=cos+cosdmr，使f（x）=（m1）是幂函数，且在（0，+）上递减3（5分）cos（）的值为（）abcd4（5分）定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当x（0，时，f（x）=（1x），则f（x）在区间（1，）内是（）a减函数且f（x）0b减函数且f（x）0c增函数且f（x）0d增函数且f（x）05（5分）已知数列an的前n项的和sn=an1（a是不为0的实数），那么an（）a一定是等差数列b一定是等比数列c或者是等差数列，或者是等比数列d既不可能是等差数列，也不可能是等比数列6（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为（）a8b10c12d147（5分）将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（）abcdx=8（5分）已知sn为数列an的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3n（nn+），则s2014=（）a2310072b231007cd9（5分）abc中，bac=120，ab=2，ac=1，d是边bc上的一点（包括端点），则的取值范围是（）a1，2b0，1c0，2d5，210（5分）已知函数f（x）=lnx+b设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a（0，+）时，实数b的最大值是（）abcd二、填空题（每小题5分，共25分）11（5分）abc是正三角形abc的斜二测画法的水平放置直观图，若abc的面积为，那么abc的面积为12（5分）若an是正项递增等比数列，tn表示其前n项之积，且t10=t20，则当tn取最小值时，n的值为13（5分）设x，y，z为正实数，满足x2y+3z=0，则的最小值是14（5分）已知向量与向量的夹角为120，若且，则在上的投影为15（5分）下列四个命题：函数y=f（a+x）（xr）与y=f（ax）（xr）的图象关于直线x=a对称；函数f（x）=lg（ax22x+a）的值域为r，则实数a的取值范围为0，1；在abc中，“a30”是“sina”的充分不必要条件；数列an的通项公式为an=n2+n+2（nn+），若an是单调递增数列，则实数的取值范围为（3，+）其中真命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知全集u=r，集合a=x|（x2）（x3）0，函数y=lg的定义域为集合b（1）若a=时，求集合a（ub）；（2）命题p：xa，命题q：xb，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围17（12分）已知几何体abced的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体abced的体积为16（1）求实数a的值；（2）将直角三角形abd绕斜边ad旋转一周，求该旋转体的表面积18（12分）已知函数f（x）=x2+x，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式an；（2）令cn=+证明：2nc1+c2+cn2n+19（12分）已知abc的角a、b、c所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sina，cosb），=（1，1）（i）若，求角b的大小：（）若=4，边长c=2，角c=求abc的面积20（13分）已知等差数列an的前n项和为sn，并且a2=2，s5=15，数列bn满足：b1=，bn+1=bn（nn+），记数列bn的前n项和为tn（1）求数列an的通项公式an及前n项和公式sn；（2）求数列bn的通项公式bn及前n项和公式tn；（3）记集合m=n|，nn+，若m的子集个数为16，求实数的取值范围21（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）x（x1）（1）求f（x）的单调区间；（2）已知数列an的通项公式为an=1+（nn+），求证：a2a3a4an（e为自然对数的底数）；（3）若kz，且k对任意x1恒成立，求k的最大值江西省南昌二中2015届高三上学期第四次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1（5分）设集合p=a2，log2a，q=2a，b，若pq=0，则pq=（）a0，1b0，1，2c0，2d0，1，2，3考点：对数的运算性质；交集及其运算 专题：函数的性质及应用；集合分析：因为2a0，所以pq=0，只能a2=b=0或者log2a=b=0，化简这两种情况，得到a，b的值，然后计算集合的并集解答：解：因为pq=0，并且2a0，所以只能a2=b=0或者log2a=b=0，解得a=b=0，此时log2a无意义；或者a=1，b=0；所以p=1，0，q=2，0，所以pq=0，1，2；故选b点评：本题考查了对数的运算以及集合的运算，关键时由题意得到a，b的值，考查了分析问题、解决问题的能力，属于基础题2（5分）下列命题中是假命题的是（）aa，br+，lg（a+b）lga+lgbbr，函数f（x）=sin（2x+）是偶函数c，r，使得cos（+）=cos+cosdmr，使f（x）=（m1）是幂函数，且在（0，+）上递减考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题 专题：简易逻辑分析：利用反例判断a的正误；通过特殊值判断b的正误；特殊值判断c的正误；利用幂函数的定义判断d的正误；解答：解：a，br+，lg（a+b）lga+lgb，如果a=b=2，两个数值相等，所以a不正确r，函数f（x）=sin（2x+）是偶函数，当=时，函数是偶函数，所以b正确，r，使得cos（+）=cos+cos，例如=，=，等式成立，所以c正确；mr，使f（x）=（m1）是幂函数，且在（0，+）上递减，m=2时函数是幂函数，f（x）=x1满足题意，正确故选：a点评：本题考查命题的真假的判断与应用，反例法与特殊值法是常用方法，考查基本知识的应用3（5分）cos（）的值为（）abcd考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答：解：cos（）=cos（670+）=cos=cos（+）=cos=，故选：c点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键4（5分）定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当x（0，时，f（x）=（1x），则f（x）在区间（1，）内是（）a减函数且f（x）0b减函数且f（x）0c增函数且f（x）0d增函数且f（x）0考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（1，）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论解答：解；因为定义在r上的奇函数满足f（x+1）=f（x），所以f（x+1）=f（x），即f（x+2）=f（x+1）=f（x），所以函数的周期是2，则f（x）在（1，）上图象和在（1，）上的图象相同，设x（1，），则x+1（0，），又当x（0，时，f（x）=（1x），所以f（x+1）=（x），由f（x+1）=f（x）得，f（x）=（x），所以f（x）=f（x）=（x），由x（1，）得，f（x）=（x）在（1，）上是减函数，且f（x）f（1）=0，所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）0，故选：b点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想5（5分）已知数列an的前n项的和sn=an1（a是不为0的实数），那么an（）a一定是等差数列b一定是等比数列c或者是等差数列，或者是等比数列d既不可能是等差数列，也不可能是等比数列考点：等比关系的确定 专题：计算题；分类讨论分析：由题意可知，当a=1时，sn=0，判断数列是否是等差数列；当a1时，利用 ，判断数列an是等差数列还是等比数列解答：解：当a=1时，sn=0，且a1=a1=0，an=snsn1=（an1）（an11）=0，（n1）an1=sn1sn2=（an11）（an21）=0，anan1=0，数列an是等差数列当a1时，a1=a1，an=snsn1=（an1）（an11）=anan1，（n1）an1=sn1sn2=（an11）（an21）=an1an2，（n2），（n2）数列an是等比数列综上所述，数列an或是等差数列或是等比数列故选c点评：本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义6（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为（）a8b10c12d14考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=x+3y过点a（3，3）时，z最大是12，故选c点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7（5分）将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（）abcdx=考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：计算题分析：通过函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可解答：解：函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为：，再向左平移个单位得到函数为：=，所得函数的图象的一条对称轴为：故选c点评：本题考查三角函数的图象的变换，图象的平移，考查计算能力，是基础题8（5分）已知sn为数列an的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3n（nn+），则s2014=（）a2310072b231007cd考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由数列递推式得到数列an的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的求和公式得答案解答：解：由anan+1=3n，得（n2），则数列an的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又=2310072故选：a点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的分组求和与等比数列的前n项和，是中档题9（5分）abc中，bac=120，ab=2，ac=1，d是边bc上的一点（包括端点），则的取值范围是（）a1，2b0，1c0，2d5，2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由于d是边bc上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（01）由bac=120，ab=2，ac=1，可得=21cos120=1代入利用数量积运算性质即可得出=7+2再利用一次函数的单调性即可得出解答：解：d是边bc上的一点（包括端点），可设=+（01）bac=120，ab=2，ac=1，=21cos120=1=+=+=（21）4+1=7+201，（7+2）5，2的取值范围是5，2故选：d点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题10（5分）已知函数f（x）=lnx+b设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a（0，+）时，实数b的最大值是（）abcd考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为p（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f（x0）=g（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值解答：解：函数f（x）的导数为f（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为p（x0，y0），则，由于x00，a0则x0=a，因此构造函数，由h（t）=2t（13lnt），当时，h（t）0即h（t）单调递增；当时，h（t）0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值故选d点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查分离参数法和构造函数，运用导数求单调区间和极值、最值，同时考查运算能力，属于中档题二、填空题（每小题5分，共25分）11（5分）abc是正三角形abc的斜二测画法的水平放置直观图，若abc的面积为，那么abc的面积为2考点：斜二测法画直观图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可解答：解：因为=，且abc的面积为，那么abc的面积为2故答案为：2点评：本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查12（5分）若an是正项递增等比数列，tn表示其前n项之积，且t10=t20，则当tn取最小值时，n的值为15考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：欲求n的值，根据t10=t20，得出a11a12a20=1，根据等比数列的性质有a11a20=a12a19=1；由等比数列是正项递增的，容易得到a15a16分析得出a151，a161，从而得到t15最小解答：解：根据t10=t20，得出a11a12a20=1，a11a20=a12a19=a15a16=1；a15a16，所以a151，a161，t15最小故答案为：15点评：此题考查等比数列的性质，需要灵活应用13（5分）设x，y，z为正实数，满足x2y+3z=0，则的最小值是3考点：基本不等式 分析：由x2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可解答：解：x2y+3z=0，=，当且仅当x=3z时取“=”故答案为3点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是2015届高考考查的重点内容14（5分）已知向量与向量的夹角为120，若且，则在上的投影为考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：因为向量与向量的夹角为120，所以在上的投影为，问题转化为求解答：解：因为向量与向量的夹角为120，所以在上的投影为，问题转化为求，因为，故，所以在上的投影为故答案为：点评：本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用15（5分）下列四个命题：函数y=f（a+x）（xr）与y=f（ax）（xr）的图象关于直线x=a对称；函数f（x）=lg（ax22x+a）的值域为r，则实数a的取值范围为0，1；在abc中，“a30”是“sina”的充分不必要条件；数列an的通项公式为an=n2+n+2（nn+），若an是单调递增数列，则实数的取值范围为（3，+）其中真命题的序号是考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：根据函数图象的对称变换法则，可判断；根据对数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质，可判断；根据充要条件的定义和正弦函数的图象和性质可判断；根据递增数列的定义，可判断解答：解：对于，函数y=f（a+x）（xr）的图象关于直线x=a对称变换后得到y=fa+（2ax）=f（3ax）（xr）的图象，故错误；对于，若函数f（x）=lg（ax22x+a）的值域为r，令y=ax22x+a的值域为a，则（0，+）a，当a=0时，满足条件，当a0时，须a0且=44a20，解得0a1；综上可得实数a的取值范围为0，1；故正确在abc中，“a30”是“sina”的必要不充分条件；数列an的通项公式为an=n2+n+2（nn+），则an+1=（n+1）2+（n+1）+2，若an是单调递增数列，则an+1an=2n+1+0恒成立，即（1+2n）3，故实数的取值范围为（3，+）故正确；故真命题的序号是，故答案为：点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数图象的对称变换，对数函数，二次函数，正弦函数的图象和性质，数列的单调性等知识点，难度中档三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知全集u=r，集合a=x|（x2）（x3）0，函数y=lg的定义域为集合b（1）若a=时，求集合a（ub）；（2）命题p：xa，命题q：xb，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件 专题：常规题型分析：（1）将a=带入原函数式，再求其定义域，然后进行交集、补集的运算便可（2）根据必要条件的定义，及原函数的定义域，便可建立对于a的限定的式子解答：解：（1）a=时原函数变成y=lg，解0得b=（，），所以ub=（，+），所以a（ub）=（2，3）（，+）=，3）（2）由题意得a=（2，3），解得b=（a2+2，a）（a，a2+2），根据必要条件的概念，由题意知ab，所以或，所以解得a的取值范围是：（，11，2点评：本题需掌握的几个知识点是：1定义域的求法；2交、并、补的运算；3必要条件的概念；4子集的概念17（12分）已知几何体abced的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体abced的体积为16（1）求实数a的值；（2）将直角三角形abd绕斜边ad旋转一周，求该旋转体的表面积考点：由三视图求面积、体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）由该几何体的三视图知ac面bced，且ec=bc=ac=4，bd=a，利用几何体abced的体积为16，求实数a的值；（2）过b作ad的垂线bh，垂足为h，得，求出圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，即可求该旋转体的表面积解答：解：（1）由该几何体的三视图知ac面bced，且ec=bc=ac=4，bd=a，体积v=16，解得a=2；（2）在rtabd中，bd=2，ad=6，过b作ad的垂线bh，垂足为h，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为点评：本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题18（12分）已知函数f（x）=x2+x，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式an；（2）令cn=+证明：2nc1+c2+cn2n+考点：数列与函数的综合；等差数列的通项公式 专题：计算题；证明题分析：（1）点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上，则sn=n2+n，可得an=snsn1=n+1，并验证a1即可；（2）证明：由cn=+2，得c1+c2+cn2n；由cn=+=2+，得c1+c2+cn=2n+（+）=2n+2n+；即证解答：解：（1）点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上，当n2时，an=snsn1=n+1，a1也适合，所以an=n+1（nn*）（2）证明：，c1+c2+cn2n；又cn=+=2+，c1+c2+cn=2n+（+）=2n+2n+；2nc1+c2+cn2n+点评：本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时运用了数列的前n项和求通项公式，应用基本不等式，拆项法等证明不等式成立，属于中档题19（12分）已知abc的角a、b、c所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sina，cosb），=（1，1）（i）若，求角b的大小：（）若=4，边长c=2，角c=求abc的面积考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用 专题：计算题分析：（i）根据平面向量平行时满足的条件，得到一个关系式，利用正弦定理化简即可求出tanb的值，由b的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数；（）根据平面向量的数量积的运算法则化简=4，得到a+b的值，然后由c及cosc的值，利用余弦定理表示出c2，变形后把a+b的值代入即可求出ab的值，然后由ab及sinc的值，利用三角形的面积公式即可求出abc的面积解答：解：（i），acosb=bsina，（2分）根据正弦定理得：2rsinacosb=2rsinbsina（4分）cosb=sinb，即tanb=1，又b（0，），b=；（8分）（）由=4得：a+b=4，（8分）由余弦定理可知：4=a2+b22abcos=a2+b2ab=（a+b）23ab，于是ab=4，（12分）sabc=absinc=（13分）点评：此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题20（13分）已知等差数列an的前n项和为sn，并且a2=2，s5=15，数列bn满足：b1=，bn+1=bn（nn+），记数列bn的前n项和为tn（1）求数列an的通项公式an及前n项和公式sn；（2）求数列bn的通项公式bn及前n项和公式tn；（3）记集合m=n|，nn+，若m的子集个数为16，求实数的取值范围考点：等差数列与等比数列的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）先得到，再利用累乘法，得到数列bn