江西省南昌二中高三数学上学期第四次月考试卷 理（含解析）.doc

江西省南昌二中2016届高三上学期第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1复数z满足z（34i）=1（i是虚数单位），则|z|=（）abcd2若a、b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是（）aa2b2bclg（ab）0d3下列命题中正确的是（）a若pq为真命题，则pq为真命题b“a0，b0”是“+2”的充分必要条件c命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x+20”d命题p：xr，使得x2+x10，则p：xr，使得x2+x104在abc中，则abc一定是（）a直角三角形b钝角三角形c等腰三角形d等边三角形5曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是（）a4bc3d26设、是三个不重合的平面，给出下列命题：若，则 m，n，则mn若，则 若m，n在内的射影相互垂直，则mn其中错误的个数为（）a0b1c2d37将函数y=sin（2x+）（0）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（）abcd8如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）a10+b10+c6+2+d6+9函数y=ln的图象大致是（）abcd10已知a，b都是负实数，则的最小值是（）ab2（1）c21d2（+1）11设f（x）是定义在r上的函数，其函数为f（x），若f（x）+f（x）1，f（0）=2015，则不等式exf（x）ex2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）ab（，0）c（，0）（0，+）d（，0）12已知r，函数g（x）=x24x+1+4，若关于x的方程f（g（x）=有6个解，则的取值范围为（）abcd二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13如图，已知点o是abc内任意一点，连结ao，bo，co，并延长交对边于a1，b1，c1，则，类比猜想：点o是空间四面体vbcd内的任意一点，连结vo，bo，co，do并延长分别交面bcd，vcd，vbd，vbc于点v1，b1，c1，d1，则有14球o内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球o的体积是15已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且，则实数的值为16已知实数x，y满足，则 的取值范围为三、解答题（共5小题，共60分）17已知向量=（sin，cos2sin），=（1，2）（）若，求tan的值； （）若|=|，求sin（2）的值18已知数列an的前n项和为sn且sn=（）求数列an的通项公式；（）设，数列cn的前n项和tn，求使成立的n的最大值19如图，在直角梯形abcd中，adbc，adc=90，ae平面abcd，efcd，bc=cd=ae=ef=1（）求证：ce平面abf；（）求证：beaf；（）在直线bc上是否存在点m，使二面角emda的大小为？若存在，求出cm的长；若不存在，请说明理由20已知等差数列an的公差为1，前n项和为sn，且a3+a8+a11=4（）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（）从数列an的前五项中抽取三项按原来顺序恰为等比数列bn的前三项，记数列anbn的前n项和为 tn，若存在mn*，使得对任意nn*，总有sntm+成立，求实数的取值范围21已知函数f（x）=ax2+bxlnx（a，br）（）设b=2a，求f（x）的零点的个数；（）设a0，且对于任意x0，f（x）f（1），试比较lna与2b的大小四、选做题22已知函数f（x）=|x2|2xa|（ar）（）当a=2时，解不等式f（x）0；（）当x（，2）时f（x）0恒成立，求a的取值范围23已知f（x）=|2x|+|2x+|（1）关于x的不等式f（x）a2a恒成立，求实数a的取值范围；（2）设m，nr+，且m+n=1，求证：+2江西省南昌二中2016届高三上学期第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1复数z满足z（34i）=1（i是虚数单位），则|z|=（）abcd【考点】复数求模【专题】数系的扩充和复数【分析】直接通过复数方程两边求模，化简求解即可【解答】解：复数z满足z（34i）=1（i是虚数单位），可得|z（34i）|=1，即|z|34i|=1，可得5|z|=1，|z|=，故选：d【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查2若a、b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是（）aa2b2bclg（ab）0d【考点】不等关系与不等式【专题】探究型【分析】由题意a、b是任意实数，且ab，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，a，b，c可通过特例排除，d可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论【解答】解：由题意a、b是任意实数，且ab，由于0ab时，有a2b2成立，故a不对；由于当a=0时，无意义，故b不对；由于0ab1是存在的，故lg（ab）0不一定成立，所以c不对；由于函数y=是一个减函数，当ab时一定有成立，故d正确综上，d选项是正确选项故选d【点评】本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法3下列命题中正确的是（）a若pq为真命题，则pq为真命题b“a0，b0”是“+2”的充分必要条件c命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x+20”d命题p：xr，使得x2+x10，则p：xr，使得x2+x10【考点】命题的真假判断与应用【专题】阅读型；简易逻辑【分析】由若pq为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p且q真假不确定，即可判断a；运用充分必要条件的定义和基本不等式，即可判断b；由原命题和逆否命题的关系，注意或的否定为且，即可判断c；由存在性命题的否定为全称性命题，即可判断d【解答】解：对于a若pq为真命题，则p，q中至少有一个为真，则pq的真假不定，则a错误；对于b若a0，b0，则+2=2，当且仅当a=b取得等号，反之，若+2即为0，即0，即有ab0，则“a0，b0”是“+2”的充分不必要条件，则b错误；对于c命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x+20”，则c错误；对于d命题p：xr，使得x2+x10，则p：xr，使得x2+x10，则d正确故选d【点评】本题考查简易逻辑的知识，主要考查复合命题的真假、充分必要条件的判断和四种命题及命题的否定形式，属于基础题和易错题4在abc中，则abc一定是（）a直角三角形b钝角三角形c等腰三角形d等边三角形【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由，利用正弦定理可得tana=tanb=tanc，再利用三角函数的单调性即可得出【解答】解：由正弦定理可得：=，又，tana=tanb=tanc，又a，b，c（0，），a=b=c=，则abc是等边三角形故选：d【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是（）a4bc3d2【考点】余弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是3=3sinx=3，故选：c【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，属于基础题6设、是三个不重合的平面，给出下列命题：若，则 m，n，则mn若，则 若m，n在内的射影相互垂直，则mn其中错误的个数为（）a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】两平面都垂直于同一个平面，两平面可能平行可能相交，故错误；m，n，则m，n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；由平面平行的传递性，可知，若，则，故正确；若m，n在内的射影相互垂直，则m，n可能相交，可能异面，故错误【解答】解：两平面都垂直于同一个平面，两平面可能平行可能相交，不一定垂直，故错误；m，n，则m，n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；由平面平行的传递性，可知，若，则，故正确；若m，n在内的射影相互垂直，则m，n可能相交，可能异面，故错误故命题正确的为故选d【点评】本题为命题真假的判断，正确认识空间里直线与平面的位置关系是解决问题的关键，属基础题7将函数y=sin（2x+）（0）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用y=asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性，得出结论【解答】解：将函数y=sin（2x+）（0）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数y=sin2（x+）+=sin（2x+）的图象，可得+=，求得的最小值为，故选：b【点评】本题主要考查y=asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性，属于基础题8如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）a10+b10+c6+2+d6+【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，cd底面pad，ba底面pad，paad，pa=ad=cd=2，ab=1即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，cd底面pad，ba底面pad，paad，pa=ad=cd=2，ab=1pc=2，pb=，bc=spbc=该几何体的表面积s=+=6+故选：c【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题9函数y=ln的图象大致是（）abcd【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除b、d，再根据当x（0，1）时，ln0，从而排除c，从而得到答案【解答】解：函数y=ln，x+sinx0，x0，故函数的定义域为x|x0再根据y=f（x）的解析式可得f（x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除b、d当x（0，1）时，0sinxx1，01，函数y=ln0，故排除c，只有a满足条件，故选：a【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于中档题10已知a，b都是负实数，则的最小值是（）ab2（1）c21d2（+1）【考点】函数的最值及其几何意义【专题】计算题【分析】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值【解答】解：直接通分相加得 =1=1因为a，b都是负实数，所以，都为正实数 那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值 最小值为为2分母有最小值，即有最大值 那么1可得最小值 最小值：22故选b【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值11设f（x）是定义在r上的函数，其函数为f（x），若f（x）+f（x）1，f（0）=2015，则不等式exf（x）ex2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）ab（，0）c（，0）（0，+）d（，0）【考点】导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，（xr），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，（xr），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减，exf（x）ex2014，g（x）2014，又g（0）=e0f（0）e0=20151=2014，g（x）g（0），x0不等式exf（x）ex2014的解集为（，0）故选：d【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题12已知r，函数g（x）=x24x+1+4，若关于x的方程f（g（x）=有6个解，则的取值范围为（）abcd【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合；换元法；函数的性质及应用【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=的图象，则方程f（t）=的解有3个，由图象可得，01且三个解分别为t1=1，t2=1+，t3=10再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=的解有3个，由图象可得，01且三个解分别为t1=1，t2=1+，t3=10，则x24x+1+4=1，x24x+1+4=1+，x24x+1+4=10，均有两个不相等的实根，则10，且20，且30，即164（2+5）0且164（2+3）0，解得0，当0时，3=164（1+410）0即34+100恒成立，故的取值范围为（0，）故选d【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13如图，已知点o是abc内任意一点，连结ao，bo，co，并延长交对边于a1，b1，c1，则，类比猜想：点o是空间四面体vbcd内的任意一点，连结vo，bo，co，do并延长分别交面bcd，vcd，vbd，vbc于点v1，b1，c1，d1，则有【考点】类比推理【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明【解答】解：利用类比推理，猜想，点o是空间四面体vbcd内的任意一点，连结vo，bo，co，do并延长分别交面bcd，vcd，vbd，vbc于点v1，b1，c1，d1，应有；故答案为：【点评】本题主要考查类比推理，用平面中图形的线段的性质类比立体图形中的体积的性质，属于基础题14球o内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球o的体积是【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由球的正方体的表面积求出球的半径，然后求体积【解答】解：因为球o内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则正方体的棱长为4，正方体的体对角线为4，所以球o的半径是2，体积是=32故答案为：32；【点评】本题考查了球的内接正方体的与球的几何关系；关键是求出球的半径，利用公式求体积15已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且，则实数的值为【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论【解答】解：向量与的夹角为120，且|=2，|=3，=|cos120=2=3，=+，且，=（+）=（+）（）=0，即，3+9+34=0，解得，故答案为：【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键16已知实数x，y满足，则 的取值范围为，【考点】简单线性规划【专题】数形结合；数形结合法；转化法；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用转化法结合换元法进行转化求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=1+=1+，设k=，则z=1+=1+，由图象知k的最大值为k=1，当直线y=kx与y=x2+在第第一象限相切时，k取得最小值，此时k0，此时x2+=kx，即x2kx+1=0，由判别式=k24=0得k=2或k=2（舍），即1k2，设t=2k+=2（k+），则当1k2，3t，则则，则+1，即，故答案为：，【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质，利用换元法和转化法，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题（共5小题，共60分）17已知向量=（sin，cos2sin），=（1，2）（）若，求tan的值； （）若|=|，求sin（2）的值【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（）由，即x1y2x2y1=0，代入数据求出tan的值； （）由|=|，即=；化简，求出sin（2+）的值【解答】解：（）向量=（sin，cos2sin），=（1，2），当时，2sin（cos2sin）=4sincos=0，tan=； （）|=|，即=；两边平方，得sin2+cos24sincos+4sin2=5，即12sin2+4=5，sin2+cos2=1，sin（2+）=【点评】本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应根据平面向量的平行与模长，利用坐标表示，求出所要解答的问题18已知数列an的前n项和为sn且sn=（）求数列an的通项公式；（）设，数列cn的前n项和tn，求使成立的n的最大值【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）当n2时利用an=snsn1化简，进而可知an=n；（）通过（i）裂项可知cn=，进而并项相加即得结论【解答】解：（）sn=，当n2时，sn1=（n1）2+n1，两式相减得：an=snsn1=（2n1+1）=n，又a1=（1+1）=1满足上式，数列an的通项公式an=n；（）由（i）可知=，tn=1+=1=，即，解得：n，又nn*，nmax=9【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题19如图，在直角梯形abcd中，adbc，adc=90，ae平面abcd，efcd，bc=cd=ae=ef=1（）求证：ce平面abf；（）求证：beaf；（）在直线bc上是否存在点m，使二面角emda的大小为？若存在，求出cm的长；若不存在，请说明理由【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】（i）作 fgea，agef，连结eg交af于h，连结bh，bg，由题设条件推导出四边形aefg为正方形，从而得到cdag为平行四边形，由此能够证明ce面abf（）利用已知条件推导出bg面aefg，从而得到af平面bge，由此能够证明afbe（）以a为原点，ag为x轴，ad为y轴，ae为z轴，建立空间直角坐标系axyz利用向量法能够求出结果【解答】（i）证明：如图，作 fgea，agef，连结eg交af于h，连结bh，bg，efcd且ef=cd，agcd，即点g在平面abcd内由ae平面abcd，知aeag，四边形aefg为正方形，cdag为平行四边形，h为eg的中点，b为cg中点，bhce，ce面abf（）证明：在平行四边形cdag中，adc=90，bgag又由ae平面abcd，知aebg，bg面aefg，bgaf又afeg，af平面bge，afbe（）解：如图，以a为原点，ag为x轴，ae为z轴，ad为y轴，建立空间直角坐标系axyz由题意得：a（0，0，0），g（1，0，0），e（0，0，1），d（0，2，0），设m（1，y0，0），则，设面emd的一个法向量=（x，y，z），则，令y=1，得z=2，x=2y0，=（2y0，1，2）又，为面amd的法向量，二面角emda的大小为，|cos|=|=cos=，解得，在bc上存在点m，且|cm|=|=【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意向量法的合理运用20已知等差数列an的公差为1，前n项和为sn，且a3+a8+a11=4（）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（）从数列an的前五项中抽取三项按原来顺序恰为等比数列bn的前三项，记数列anbn的前n项和为 tn，若存在mn*，使得对任意nn*，总有sntm+成立，求实数的取值范围【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（i）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（）由（）知数列an的前5项为5，4，3，2，1，可知：等比数列bn的前3项为4，2，1首项为4，公比为，可得bn利用“错位相减法”可得tn，再利用单调性可得：t1t2t3t4t5=t6t7，存在mn*，使得对任意nn*，总有sntm+成立可得（sn）max（tm）max+【解答】解：（）an为等差数列，公差d=1，且a3+a8+a11=4，3a1+19（1）=4，解得a1=5an=5（n1）=6n，nn*，sn=，nn*（）由（）知数列an的前5项为5，4，3，2，1，等比数列bn的前3项为4，2，1，首项为4，公比为，数列anbn的前n项和tn的tn=5+4+3+（6n），=+（7n）+（6n），=5（6n）=5（6n）=4+（n4），nn*，t1t2t3t4t5=t6t7，又，nn*时，（sn）max=s5=s6=15，存在mn*，使得对任意nn*，总有sntm+成立（sn）max（tm）max+，实数的取值范围为【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知函数f（x）=ax2+bxlnx（a，br）（）设b=2a，求f（x）的零点的个数；（）设a0，且对于任意x0，f（x）f（1），试比较lna与2b的大小【考点】根的存在性及根的个数判断；不等式比较大小【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】（）由b=2a得，f（x）=ax2+（2a）xlnx，进而，对a进行分类讨论，结合讨论结果，可得不同情况下f（x）的零点的个数；（）由a0，且对于任意x0，f（x）f（1），则函数f（x）在x=1处取得最小值，进而可得=1，令g（x）=24x+lnx，利用导数法确定其最值，可得lna与2b的大小【解答】解：（）b=2a，f（x）=ax2+（2a）xlnx，（1）若a0，则x（0，）时，f（x）0，f（x）为减函数，x（，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，故当x=时，函数取最小值，当0，即0a4（1+ln2）时，函数无零点；当=0，即a=4（1+ln2）时，函数有一个零点；当0，即a4（1+ln2）时，函数有两个零点；（2）若a0，当2a0时，x（0，）或x（，+）时，f（x）0，f（x）为减函数，x（，）时，f（x）0，f（x）为增函数，此时f（）=0，函数有一个零点；当a=2时，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上为减函数，函数有一个零点；当a2时，x（0，）或x（，+）时，f（x）0，f（x）为减函数，x（，）时，f（x）0，f（x）为增函数，此时f（）=+1+ln（a）0，函数有一个零点；综上可得：0a4（1+ln2）时，函数无零点；a0，或a=4（1+ln2）时，函数有一个零点；a4（1+ln2）时，函数有两个零点；（） 由a0，且对于任意x0，f（x）f（1），则函数f（x）在x=1处取得最小值，由得是f（x）的唯一的极小值点，故=1，整理得 2a+b=1即b=12a令g（x）=24x+lnx，则g（x）=，令g（x）=0得x=，当0x时