2013苏教版 附加 直线与抛物线位置关系.doc

（附加）直线与抛物线位置关系备考方向：江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B级要求。近5年江苏高考附加第三题情况如下：08空间向量：空间直线向量夹角公式（夹角为钝角的充要条件）09直线与抛物线：抛物线的标准方程、距离公式及运算能力10分布列：常见概率问题、互斥事件概率（至多、至少问题）11空间向量：平面法向量、空间两点间距离、二面角求解12分布列：古典概型、常规随机变量的分布列问题（最后一概率可采用对立事件概率公式）预测：2013年高考中可能会考查抛物线与直线的位置关系一教学目标：1、 熟练掌握抛物线标准方程及几何性质，利用几何性质解决问题较为简单。2、 解析几何中代数运算求解能力的提高（准确率、速度）3、 直线与抛物线位置一般解决思路的证明与求解（涉及轨迹、函数最值、不等式、过定点等）二例题解析例1、（09江苏）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过焦点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式解(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y22px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p1.因此，抛物线C的标准方程为y22x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直线的斜率为1.因此，所求直线的方程是xy0.(3)法一：设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是yk(xm)，k0.将xm代入y22x，有ky22y2km0，解得y1,2.由ME2DM，知12(1)，化简得k2，因此DE2(x1x2)2(y1y2)2(y1y2)2(m24m)所以f(m) (m0)法二：设D，E，由点M(m,0)及2得t2m2，t02(0s)因此t2s，ms2，所以f(m)DE (m0)本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力练习：1(2012南通密卷)在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线x24y上有两个动点A，B，且满足， 过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.(1)求：的值； (2)证明：为定值解：(1)设A，B，焦点F(0,1)，.，消，得x1x20.化简整理得(x1x2)0.x1x2，x1x24.y1y21.x1x2y1y23.(2)证明：抛物线方程为yx2，yx.过抛物线A，B两点的切线方程分别为yx1(xx1)和yx2(xx2)，即yx1x和yx2x.联立解出两切线交点M的坐标为.0(定值). 2.(2012徐州信息卷)过直线x2上的动点P作抛物线y24x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)若切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)求证：直线AB恒过定点证明：(1)不妨设A(t，2t1)(t10)，B(t，2t2)(t20时，y2，y，所以k1.同理k2.由k1，得tmt120.同理tmt220.所以t1，t2是方程t2mt20的两个实数根所以t1t22.所以k1k2为定值(2)直线AB的方程为y2t1(xt)，即yx2t1，即yx，由于t1t22，所以直线方程化为y(x2)，所以直线AB恒过定点(2,0)例2(2012常州)已知斜率为k(k0)的直线l过抛物线C：y24x的焦点F且交抛物线于A，B两点设线段AB的中点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若2k1时，点M到直线l：3x4ym0(m为常数，m0恒成立，则y0.又x01，消去k ，得y2(x01)，所以点M的轨迹方程为y22(x1)(2)由(1)知，点M.因为m，所以d.由题意，得，m2对2k1恒成立因为2ka)，直线AT，BT与抛物线C的另一个交点分别为A1，B1，当m变化时，记所有直线A1B1组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上解：(1)当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y22px，p2a.y24ax.当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x22py，方程无解，抛物线不存在综上抛物线C的方程为y24ax.(2)设A1(as2,2as)，B1(at2,2at)，T(m,0)(ma)kTAkTA1，as2(ma)sm0.(asm)(s1)0，s，A1.kTBkTB1，.2at2(m4a)t2m0，(2atm)(t2)0.t.B1.直线A1B1的方程为y2m.直线的斜率为在(a，)单调，集合M中的直线必定相交直线的横截距为在(a，)单调，纵截距为在(a，)单调，任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上2.(2012徐州一模)如图，过抛物线C：y24x上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求y1y2的值；(2)若y10，y20，求PAB面积的最大值解：(1)因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y24x上，所以A，B，kPA，同理kPB，依题有kPAkPB，所以，即y1y24.(2)由(1)知kAB1，设AB的方程为yy1x，即xyy10，P到AB的距离为d，AB|y1y2|2|2y1|，所以SPAB2|2y1|y4y112|y12|(y12)216|y12|，令y12t，由y1y24，y10，y20，可知2t2.SPAB|t316t|，因为SPAB|t316t|为偶函数，只考虑0t2的情况，记f(t)|t316t|16tt3，f(t)163t20，故f(t)在0,2是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)24，故SPAB的最大值为6.3.(2012淮阴联考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOAkPA.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足SPQA2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1)设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOPkOAkPA得，整理得轨迹C的方程为yx2(x0且x1)(2)设P(x1，x)，Q(x2，x)，由可知直线PQOA，则kPQkOA，故，即x2x11.直线OP方程为yx1x