高中数学 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

第二章 点 直线 平面之间的位置关系 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 2平面与平面垂直的判定 自主预习学案 建筑工地上 泥水匠砌墙时 为了保证墙面与地面垂直 泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线 再沿着该线砌墙 如图 这样就能保证墙面与地面垂直 1 二面角 半平面 棱 面 棱 平面角 平面角 直角 l p l q 2 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面 与平面 垂直 记作 2 画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的 垂直 如图所示 直二面角 横边 3 判定定理 垂线 l c 解析 ab 平面bcd 且ab 平面abc和ab 平面abd 平面abc 平面bcd 平面abd 平面bcd ab 平面bcd ab cd 又 bc cd ab bc b cd 平面abc cd 平面acd 平面abc 平面acd 故图中互相垂直的平面有平面abc 平面bcd 平面abd 平面bcd 平面abc 平面acd 解析 ab cb 且e是ac的中点 be ac 同理有de ac 于是ac 平面bde ac在平面abc内 平面abc 平面bde 又ac 平面acd 平面acd 平面bde 故选c c 互动探究学案 命题方向1 面面垂直的判断 思路分析 要证平面pac 平面pbc 可证平面pbc内的一条直线垂直于平面pac 题目中告诉了ab是 o的直径 acb为直角 又bc pa 可证得bc 平面pac 即平面pac 平面pbc 解析 如图 连接ac bc ab是 o的直径 则bc ac 又pa 平面abc bc 平面abc pa bc 而pa ac a bc 平面pac 又bc 平面pbc 平面pac 面pbc 规律方法 证明平面与平面垂直的方法 1 定义法 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角 2 判定定理 判定定理是证明面面垂直的常用方法 即要证面面垂直就要转化为证线面垂直 其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面面垂直 3 利用 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于第三个平面 命题方向2 求二面角的大小 思路分析 求二面角的平面角的大小 先找二面角的平面角 然后在三角形中求解 解析 1 因为pa 平面abcd 所以pa cd 因为四边形abcd为正方形 所以cd ad 又pa ad a 所以cd 平面pad 又cd 平面pcd 所以平面pad 平面pcd 所以二面角a pd c的平面角的度数为90 2 因为pa 平面abcd 所以ab pa ad pa 所以 bad为二面角b pa d的平面角 又由题意知 bad 90 所以二面角b pa d的平面角的度数为90 3 因为pa 平面abcd 所以ab pa ac pa 所以 bac为二面角b pa c的平面角 又四边形abcd为正方形 所以 bac 45 所以二面角b pa c的平面角的度数为45 4 作be pc于e 连接de bd 且bd与ac交于点o 连接eo 如图 由题意知 pbc pdc 则 bpe dpe 从而 pbe pde 所以 dep bep 90 且be de 所以 bed为二面角b pc d的平面角 又pa 平面abcd 所以pa bc 2 作二面角的平面角的方法 方法一 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如右图所示 aob为二面角 a 的平面角 方法二 垂线法 过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图所示 afe为二面角a bc d的平面角 方法三 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 如图所示 aob为二面角 a 的平面角 命题方向3 线面 面面垂直的综合问题 思路分析 本题的题设条件有三个 abc是直角三角形 bc ac pdb是正三角形 d是ab的中点 pd db 10 解答本题 1 只需证线面垂直 进而由线面垂直证明面面垂直 对于 2 首先应作出二面角的平面角 然后求其正弦值 解答 3 小题的关键是用等体积法求解 解析 1 由ab是圆的直径 得ac bc 由pa 平面abc bc 平面abc 得pa bc 又pa ac a pa 平面pac ac 平面pac 所以bc 平面pac 因为bc 平面pbc 所以平面pbc 平面pac 不能正确找出二面角的平面角 错解 过a在底面abcd内作ae cd于e 连接pe pa 平面abcd cd 平面abcd pa cd 又 pa ae a cd 平面pae 又 pe 平面pae cd pe pea为二面角p cd b的平面角 以下略 错因分析 点e的位置应首先由已知的数量关系确定 而不是盲目地按三垂线法直接作出 在找二面角的平面角时 一般按照先找后作的原则 避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角 直观想象能力与转化思想的应用 折叠问题 折叠问题 即由平面图形经过折叠成为立体图形 在立体图形中解决有关问题 解题过程中 一定要抓住折叠前后的变量与不变量 画出平面图形和空间直观图 对比分析找出其数量关系和位置关系 思路分析 由ab bc 且 b 90 知 取ac中点 则bo ac 从而折成直二面角后 有bo 平面acd 只要在平面acd内作oe ad 则be ad 可得二面角的平面角 又 bcd 135 且易知 acb 45 从而ac cd 因此易证cd 平面acb 从而第一问得证 解析 1 点c 在平面abd上的射影o在ab上 c o 平面abd c o da 又 da ab ab c o o da 平面abc da bc 又 bc cd bc c d da c d d bc 平面ac d 2 如图所示 过a作ae c d 垂足为e bc 平面ac d bc ae 又 bc c d c ae 平面bc d 连接be 则be是ab在平面bc d上的射影 故 abe就是直线ab与平面bc d所成的角