湖南省七校联考高二数学上学期期末试卷 理（含解析）(1).doc

湖南省七校联考2014-2015学年高二上 学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡相应的答题栏内）1（5分）不等式1的解集是（）a（，0）b（1，+）c（0，+）d（0，1）2（5分）已知等差数列an满足a2+a8=4，a3+a11=8，则它的前11项之和等于（）a22b33c44d663（5分）已知函数f（x）=x22ax+b，则“1a2”是“f（1）f（3）”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（5分）已知空间向量=（1，1，0），=（1，0，2），则与向量+方向相反的单位向量的坐标是（）a（0，1，2）b（0，1，2）cd5（5分）下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题d命题“xr使得x2+x+10”的否定是“xr均有x2+x+10”6（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）abcd7（5分）若数列an满足a1=1，a2=2，anan2=an1（n3），则a2014的值为（）a2bc1d220148（5分）设f1，f2是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的点，且|pf1|：|pf2|=4：3，则pf1f2的面积为（）a4bcd69（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1中，p为线段bc1上的动点，则下列判断错误的是（）adb1平面acd1bbc1平面acd1cbc1db1d三棱锥pacd1的体积与p点位置有关10（5分）一批物资随17辆货车从甲地以v km/h（100v120）的速度匀速运达乙地已知甲、乙两地间相距600km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于（）2km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（）a4小时b9.8小时c10小时d10.5小时二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填入答题卡相应相应的答题栏内）11（5分）若“x或xx|x2或x9”是假命题，则x的取值范围是（最后结果用区间表示）12（5分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosc最小值为13（5分）若数列an满足：a1=1，且对任意的正整数m，n都有am+n=am+an+2mn，则数列an的通项公式an=14（5分）已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是15（5分）设点p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，且|pf1|=2|pf2|，则双曲线的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案填入答题卡相应的答题栏内）16（12分）在abc中，bc=，ac=3，sinc=2sina（）求ab的值（）求sin2a的值17（12分）设命题p：m24m+30，命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围18（12分）已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn满足对任意的自然数n均有+=an+1成立，求c1+c2+c3+c2014的值19（12分）在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m，n分别为ab，sb的中点（）证明：acsb；（）求二面角ncmb的余弦值20（13分）某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%（1）设第n年该生产线设备低劣化值为an，求an的表达式；（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为an，当an达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由21（14分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形（1）求椭圆c的方程；（2）直线l与椭圆c交于a，b两点，若线段ab的垂直平分线经过点，求aob（o为原点）面积的最大值湖南省七校联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡相应的答题栏内）1（5分）不等式1的解集是（）a（，0）b（1，+）c（0，+）d（0，1）考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：根据分式不等式的解法进行求解即可解答：解：不等式等价为1=0，即x10，解得x1，故不等式的解集为（1，+），故选：b点评：本题主要考查不等式的求解，比较基础2（5分）已知等差数列an满足a2+a8=4，a3+a11=8，则它的前11项之和等于（）a22b33c44d66考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质和已知条件可得a5=2，a7=4，进而可得a6=3，代入s11=11a6可得解答：解：等差数列an满足a2+a8=4，a3+a11=8，2a5=a2+a8=4，2a7=a3+a11=8，a5=2，a7=4，2a6=a5+a7=6，解得a6=3，数列的前11项之和s11=11a6=33故选：b点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题3（5分）已知函数f（x）=x22ax+b，则“1a2”是“f（1）f（3）”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的单调性进行判断即可解答：解：函数的对称轴为x=a，若1a2，则0a11，13a2，即3到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，则f（1）f（3）成立，即充分性成立，若a=0，则函数f（x）在点评：本题主要考查了空间向量运算的坐标表示，以及相反向量和单位向量等基本概念，属于基础题5（5分）下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题d命题“xr使得x2+x+10”的否定是“xr均有x2+x+10”考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：a利用否命题的定义即可判断出；b由x25x6=0解得x=1或6，即可判断出；c利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出；d利用命题的否定即可判断出解答：解：a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x21，则x1”，因此不正确；b由x25x6=0解得x=1或6，因此“x=1”是“x25x6=0”的充分不必要条件，不正确；c命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；d命题“xr使得x2+x+10”的否定是“xr，均有x2+x+10”，因此不正确综上可得：只有c正确故选：c点评：本题考查了简易逻辑的判定，属于基础题6（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）abcd考点：简单线性规划的应用 专题：不等式的解法及应用分析：由图解出两个边界直线对应的方程，由二元一次不等式与区域的对应关系从选项中选出正确选项解答：解：由图知，一边界过（0，1），（1，0）两点，故其直线方程为xy+1=0另一边界直线过（0，2），（2，0）两点，故其直线方程为xy+2=0由不等式与区域的对应关系知区域应满足xy+10与xy+20，且x0，y0故区域对应的不等式组为故选a点评：考查用两点法求直线方程与二元一次方程与区域的对应关系，是基本概念应用的题型7（5分）若数列an满足a1=1，a2=2，anan2=an1（n3），则a2014的值为（）a2bc1d22014考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：首先根据递推关系式，求出一部分的值，在观察出数列的各项具备的规律，利用周期最后求出结果解答：解：数列an满足：a1=1，a2=2，利用anan2=an1（n3且nn），则：a3=2，a4=1，a5=，a6=，a7=1，a8=2，1，2，2，1，1，2，2，1，1，2，所以：数列的周期为：62014=3356+4所以：a2014=a4=1故选：c点评：本题考查的知识要点：数列递推关系式的应用，数列的周期性在运算中的应用属于中档题8（5分）设f1，f2是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的点，且|pf1|：|pf2|=4：3，则pf1f2的面积为（）a4bcd6考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质 专题：计算题分析：由题意能够推导出pf1f2是直角三角形，其面积=解答：解：|pf1|：|pf2|=4：3，可设|pf1|=4k，|pf2|=3k，由题意可知3k+4k=7，k=1，|pf1|=4，|pf2|=3，|f1f2|=5，pf1f2是直角三角形，其面积=6故选d点评：本题考查椭圆的性质，判断出pf1f2是直角三角形能够简化运算9（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1中，p为线段bc1上的动点，则下列判断错误的是（）adb1平面acd1bbc1平面acd1cbc1db1d三棱锥pacd1的体积与p点位置有关考点：空间中直线与平面之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：连接bd，a1d，利用三垂线定理能够证明db1平面acd1；由bc1ad1，bc1面acd1，ad1acd1，得到bc1平面acd1；由db1平面acd1，知db1ad1，再由bc1ad1，知bc1db1；由bc1平面acd1，p为线段bc1上的动点，知三棱锥pacd1的体积为定值解答：解：连接bd，则bdac，bb1面abcd，db1ac，连接a1d，则a1dad1，a1b1面add1a1，db1ad1，db1平面acd1，故a正确；bc1ad1，bc1面acd1，ad1acd1，bc1平面acd1，故b正确；db1平面acd1，ad1平面acd1，db1ad1，bc1ad1，bc1db1，故c正确；bc1平面acd1，p为线段bc1上的动点，三棱锥pacd1的体积为定值，与p点位置无关，故d错误故选d点评：本题考查空间中直线与平面、直线与直线、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10（5分）一批物资随17辆货车从甲地以v km/h（100v120）的速度匀速运达乙地已知甲、乙两地间相距600km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于（）2km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（）a4小时b9.8小时c10小时d10.5小时考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：根据题意设出把货物全部运到b市的时间为y，表示出y的解析式，再利用基本不等式，即可求得最快需要的时间解答：解：设这批物资全部运到b市用的时间为y小时，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16（）2千米时，时间最快则y=+2=4，当且仅当=，即v=50千米/小时，时间ymin=4小时，故选：a点评：本题考查学生会根据实际问题选择函数的类型的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填入答题卡相应相应的答题栏内）11（5分）若“x或xx|x2或x9”是假命题，则x的取值范围是或xx|x2或x9”是假命题，可得“x且xx|x2或x9”是真命题，即可得出解答：解：“x或xx|x2或x9”是假命题，“x且xx|x2或x9”是真命题，x点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意叠加法的合理运用14（5分）已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是4m2考点：函数恒成立问题 专题：计算题；压轴题分析：先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2ym2+2m求得m2+2m8，进而求得m的范围解答：解：，x+2y=（x+2y）=4+4+2=8x+2ym2+2m恒成立，m2+2m8，求得4m2故答案为：4m2点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力15（5分）设点p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，且|pf1|=2|pf2|，则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：根据点p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点可得点p到原点的距离，f1pf2=90，再根据|pf1|=2|pf2|，借助于双曲线的定义，利用勾股定理，可求得结论解答：解：点p是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点点p到原点的距离|po|=c，f1pf2=90，|pf1|=2|pf2|，|pf1|pf2|=|pf2|=2a，|pf1|=4a，|pf2|=2a，16a2+4a2=4c2，5a2=c2，e=故答案为：点评：本题重点考查圆与双曲线的性质，确定|pf1|=4a，|pf2|=2a，是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案填入答题卡相应的答题栏内）16（12分）在abc中，bc=，ac=3，sinc=2sina（）求ab的值（）求sin2a的值考点：正弦定理 专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（）由正弦定理将角化为边，计算即可得到；（）由余弦定理可得cosa，再由平方关系可得sina，再由二倍角的正弦公式计算即可得到解答：解：（）由正弦定理可得，sinc=2sina，即为ab=2bc=2；（）由余弦定理可得，cosa=，即有sina=，则有sin2a=2sinacosa=2=点评：本题考查正弦定理和余弦定理及运用，考查同角的平方关系和二倍角的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题17（12分）设命题p：m24m+30，命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：命题p：m24m+30，解得1m3命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，则m（m2）0，解得m由于“pq”为真，“pq”为假，可得p与q必然一真一假解答：解：命题p：m24m+30，解得1m3命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，则m（m2）0，解得0m2“pq”为真，“pq”为假，p与q必然一真一假或，解得2m3或0m1实数m的取值范围为2m3或0m1点评：本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解法、双曲线的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn满足对任意的自然数n均有+=an+1成立，求c1+c2+c3+c2014的值考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，从而得到d=2，进而求出an=2n1，由等比数列性质得，由此能求出bn=3n1（2）当n=1时，c1=a2b1=31=3，当n2时，=an+1an=2（n+1）2n=2，从而cn=2bn=23n1，由此能求出c1+c2+c3+c2014的值解答：解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，（d0）a1=1，d=2，an=2n1，b2=a2=1+2=3，b3=a5=1+8=9，b1=1，q=3，bn=3n1（2）+=an+1，当n=1时，c1=a2b1=31=3，当n2时，=an+1an=2（n+1）2n=2，cn=2bn=23n1，c1+c2+c3+c2014=3+2（3+32+33+32013）=3+2=3+320143=32014点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用19（12分）在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m，n分别为ab，sb的中点（）证明：acsb；（）求二面角ncmb的余弦值考点：直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：解法一：几何法（i）取ac中点d，连结sd，bd，根据等腰三角形三线合一，可得acsd且acbd，结合线面垂直的判定定理得到ac平面sbd，再由线面垂直的性质得到acsb；（）过n作nebd于e，则ne平面abc，过e作efcm于f，连结nf，则nfcm则nfe为二面角ncmb的平面角，解rtnef可得二面角ncmb的余弦值解法二：向量法（i）取ac中点o，连结os、ob，建立空间坐标系，求出各点的坐标后，进而求出直线ac和sb方向向量的坐标，进而根据向量垂直的充要条件，证得acsb（ii）分别求出平面cmn的一个法向量和平面bcm（即平面abc）的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角ncmb的余弦值解答：解法一：几何法证明：（）取ac中点d，连结sd，bdsa=sc，ab=bcacsd且acbd，（2分）又sdbd=d，sd，bd平面sbdac平面sbd，又sb平面sbd，acsb；（）ac平面sbd，ac平面abc，平面abc平面sbd，过n作nebd于e，则ne平面abc，过e作efcm于f，连结nf，则nfcmnfe为二面角ncmb的平面角（6分）平面abc平面sac，sdacsd平面abc又ne平面abc，nesdsn=nb，ne=sd=，且ed=eb在正abc中，由平面几何知识可求得ef=mb=，在rtnef中，tannfe=2cosnfe=二面角ncmb的余弦值为（9分）解法二：（）取ac中点o，连结os、obsa=sc，ab=bc，acso且acbo平面sac平面abc，平面sac平面abc=acso面abc，sobo如图所示建立空间直角坐标系oxyz（2分）则a（2，0，0），b（0，2，0），c（2，0，0），s（0，0，2），m（1，0），n（0，）=（4，0，0），=（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0，（3分）acsb（4分）（）由（）得=（3，0），=（1，0，）设=（x，y，z）为平面cmn的一个法向量，即，取z=1，则=（，1）（6分）又=（0，0，2）为平面abc的一个法向量，cos，=（8分）二面角ncmb的余弦值为（9分）点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，解法一的关键是（1）熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，（2）将异面直线夹角转化为解三角形问题，解法二的关键是建立空间坐标系，将问题转化为向量夹角问题20（13分）某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%（1）设第n年该生产线设备低劣化值为an，求an的表达式；（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为an，当an达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；等差数列与等比数列分析：（i）当n7时，数列an是首项为4，公差为2的等差数列；当n8时，数列an是首项为a7，公比为 54的等比数列，故可求n年该生产线设备低劣化值为an的表达式；（2）设sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得sn，该生产线前n年设备低劣化平均值为an为增数列，从而可求第9年初需要更新该生产线解答：解：（1）当n7时，数列an是首项为4，公差为2的等差数列，an=4+2（n1）=2n+2；当n8时，数列an是首项为a7，公比为的等比数列，又a7=16，an=16（）n7an的表达式为an=；（ii）设sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n7时，sn=4n+n（n1）=n