Strongart数学笔记：浅谈Poisson流形上的微分几何学.pdf

浅谈浅谈 Poisson 流形上的微分几何学流形上的微分几何学 2015 02 02 13 24 19 Poisson 几何是比辛几何更广泛的一类几何 与数学和 物理中的诸多分支都有联系 下面我们来小结一下它的基本 性质 希望能够帮助初学者抓住问题核心 从繁琐的符号演 算中解放出来 基本记号 对光滑流形 M 记 V p M 为其上的 p 次 多重向量空间 即 p 0 型张量场空间 C M V 0 M M V 1 M V M 是所有 V p M 的 直和 p 0 1 2 类似地 记 p M 为其上的 p 次 微分形式空间 即 0 p 型张量场空间 M 1 M M 是所有 p M 的直和 先从 Poisson 代数开始介绍 域 K 上的 Poisson 代数是指 带线性括号 A A A 的结合代数 满足条件 对任何 f g h A 有 1 反对称性 f g g f 2 Leibniz 法则 f gh g f h f g h 3 Jacobi 恒等式 f g h h f g g h f 0 这样的代数 A 一把可以不是交换的 但通常还对交换的 Poisson 代数关注得更多 这里约定 本文讨论的 Poisson 代 数都是交换的 这里的 称为代数 A 的 Poisson 括号 它实际上决定 了 Poisson 代数的本质意义 其原型应该是分析力学中 2n 维 欧式空间 R 2n 上对广义坐标 q 1 q n p 1 p n 的下 列典型 Poisson 括号 f g f p i g q i f q i g p i 可以定义 Poisson 代数 A 到 B 的态射为代数同态 A B 满足条件 f g A f g B 设 A 是 Poisson 代数 对 f A 可以证明有典型同态 X f g f g 形如 X f 的典型同态称为 Hamilton 的 对光滑流形 M 若在 C M 上定义了 Poisson 括号 则它称为是 Poisson 流形 若光滑流形的可微函数还是相对 应的 Poisson 代数的态射 那么它就是称为 Poisson 流形的态 射 在 Poisson 流形 M 上 可以定义 Hamilton 向量场由 X f M f C M 组成 其中 X f g f g g C M 有些书的定义与 这里差一个符号 请注意辨别 M 上 Hamliton 向量场的全体记作 Ham M 它实际上就 是 Hamilton 映射 C M M f X f 的像 我们有一个基本公式 对任何 f g C M 有 X f g X f X g Hamilton 映射 C M M f X f 的核为 Cas M f C M f g 0 对任何 g C M Cas M 中的元素称为 M 的 Casimir 函数 对此有正合列 0 Cas M C M Ham M 0 我们还有比 Hamliton 向量场更一般 Poisson 向量场 又 称为无穷小 Poisson 自同构 可以定义为满足典型导子条 件 X f g Xf g f Xg 的 X M 的全体 记作 Poiss M 借助于下面将要 定义的 Poisson 张量 这个条件又等价于 L X 0 这 一点在下面将用来刻画一阶 Poisson 上同调 对任何 Poisson 流形 M 总存在一个双向量场 V 2 M 使得对任何 f g C M 有 f g 它保持了 Poisson 括号的信息 称为 Poisson 张量 或者更准 确的说是 Poisson 双向量 一般也把这样的 Poisson 流形记 作 M 对V 2 M 上的 Poisson 张量 我们有这样的等 价条件 1 对 任 何 f g h C M f g h g h f h f g 0 2 对任何 f g C M H f H g H f g 3 0 在 Poisson 流形上 满足 0 的 Poisson 张量由 Poisson 括号唯一决定 反之它也能够唯一决定 Poisson 括号 也就 是说它完全保持了流形的 Poisson 性质 因为我们也常把 Poisson 张量为 的 Poisson 流形 M 记作 M 借助于 Poisson 张量 我们可以定义锐映射 sharp map M M 如下 对任何 M 定 义 特别 我们有 df X f 可见锐映射的像就是 M 上的 Hamliton 向量场 对于 Poisson 态射 我们同样可以从 Poisson 括号 Hamliton 向量场与 Poisson 张量三个角度来刻画 即有如下 的等价关系 1 M 1 M 2 是 Poisson 映射 即对任何 f g C M 1 f g f g 2 任何 Hamilton 向量场是 相关的 即对任何 f C M 2 x M 1 x X f x X f x 3 Poisson 张量是 相关的 即对任何 M 2 x M 1 我们还可以通过上迷向子流形 coisotropic submanifold 来刻画 Poisson 映射 子流形 C 称为 Poisson 流形 M 的上迷向子流形 若 N C TC 其中 N C T M 0 对任何 v TC 我们有 M 1 M 2 是 Poisson 映射 iff 其图像 G x x x M 1 是 M 1 M 2 的上迷向子 流形 其中 M 2 是指其 Poisson 张量为 2 在 Poisson 流形 M 上 我们可以用锐映射来定义括号 即对任何 M 有 L L d 它构成了唯一 R 线性反对称括号 使得锐映射 M M 的李代数同态 并且满足下列条件 对任何 f g C M M 1 df dg d f g 2 f f f 这里的条件 2 实际上是说 M M M 是锚 anchor 为 的李代数胚 Lie algebroid 这样的括号 Poisson 流形上更一般的张量场上可以推广 为 Schouten Nijenhuis 括号 V M V M V M 使得 1 是 1 次的 2 对所有 X M Q V M 有 X Q L X Q 3 对所有 P V p M Q V q M 有 P Q 1 p 1 q 1 Q P 4 对所有 P V p M Q V q M R M 有 P Q R P Q R 1 p 1 qQ P R 此外 它还满足分次 Jacobi 恒等式 后面我们会用这个 Schouten Nijenhuis 括号来定义 Poisson 上同调 对 Poisson 流形 M 上任一点 x 锐映射 在 x 处的像的维 数就是 Poisson 流形 M 在 x 处的秩 记作 rank x 若对所 有 x M 它是秩都是相同的 则称 Poisson 流形 M 是正则 的 若 x M 存在某个邻域 U 使得 U 内点的秩都等于 x 的 秩 则称 x 是 M 的正则点 反之则称为 M 的奇异点 可以证明 x rank x 是 M 上的下半连续函数 M 的 正则点构成 M 上的开稠密集 而奇异点则是 M 上的闭无处 稠密集 令M R 2n k 有坐标系 q 1 q n p 1 p n y 1 y k 取 d q i d p i 则 Poisson 流形 M 是秩为 2n 正则的 Poisson 流形 M 是辛流形 symplectic manifold iff 它是正则的且 dim M rank M iff 锐映射 M M 是同构 由此可见 辛流形的 Poisson 流形的特例 设 M 是辛流形 则可定义 Poisson 括号 f g X f X g 使得它成为 Poisson 流形 对于局部结构 我们有下面的 Weinstein 可裂定理 设 M 是 m 2n t 维 Poisson 流形 对任何 x M 总存在x的邻域U和 Poisson同构 s n U S N 使得 S 是一个辛流形 N 是一个 Poisson 流形 而且 N 在 n x 的秩为零 这里的 S 与 N 在相差一个局部 Poisson 同构的意义上是唯一确定的 由此可得 若 x 是 M 的正则点且 rank x 2n 则 存 在 x 的 带 标 准 坐 标 系 q 1 q n p 1 p n y 1 y t 的邻域 U 这里的标准坐标系是指满足条件 对 任何可能的 i j k l q i q j p i p j q i y k p i y k y k y l 0 q i p j ij 此时 Poisson 张量可以表示为 对任何 x U x 1 i n d q i d p i k l kl x d y k d y l 其中 ij x 仅与坐标系 y 1 y t 有关且 kl x 0 实际上 辛几何中的 Darboux 定理就是这个 Weinstein 可裂定理当 t 0 时的特例 下面我们来看 Poisson 流形 M 上的辛叶结构 symplectic foliation 假若 M 是正则的 注意上文中关于 Poisson 张量的等价条件 2 由 Frobenius 定理可以得到其 Hamilton向量场是完全可积的 因此它配备有正则叶状结构 对一般的 Poisson 流形 我们可以先定义 Hamilton 等价 关系 称 x y M 是 Hamilton 等价的 若存在 x 到 y 的光 滑曲线 t 使得其切向量是 Hamilton 的 这个关系的 等价类就称为辛叶 symplectic leaf 它是 M 的极大积分 子流形 在各个辛叶上我们有良定义辛结构 使得它可以作 为 Poisson 子流形嵌入 M 内 设 M 是 Poisson 流形 则其上有如下辛叶状结 构 1 任何一点 x M 都包含在唯一的辛叶内 2 im 的任何包含 x 的积分子流形都在包含 x 的辛叶 内 3 M 的正则点集与奇异点集都是其辛叶状结构的饱 和集 saturated set 即为若干辛叶的并 显然 辛流形自身就是辛叶 对非平凡的例子 最简单 的应该是 R 2 x 2 y 2 dx dy 它有两个辛叶 一 个是零维的 0 0 另一个就是二维的 R 2 0 0 利用辛叶结构 可以更好的看清 Poisson 流形上的 Casimir 函数 事实上我们有如下的等价条件 1 f C M 是 Casimir 函数 2 f 沿任何 Hamilton 向量场的流为常值的 3 H f 0 4 f 在各个辛叶上的常值的 最后 我们简单看一下 Poisson 上同调 设 M 是 Poisson 流形 可以考虑上链复形 V k M d 其 中 d V k M V k 1 M 给定为 d P P 这样的复形诱导的上同调就是 Poisson 上同调 记作 H k M 对于低阶 Poisson 上同调 我们有下面结论 1 H 0 M Cas M 2 H 1 M Poiss M Cas M 一般的 H k M 则可以视为 Cas M 模 同时 微分形式的外积诱导出 Poisson 上同调的超交换积 H k M H l M H k l M 这样的积 称为 Poisson 积 对于 Poisson 流形 M 锐映射 M V 1 M M X 1 M 可以被推到更一般 V k M X k M 上 满足链条件 d d 由此可得 de Rham 上同调到 Poisson 上同调之间的同态 H k dR M H k M 并且它关于上同调积和 Poisson 积构成代数 同态 若 M 是辛的 则上述代数同态为同构 实际上 一般 Poisson 上同调的计算是比较困难的 最 简单的分平凡情形 R 2 x 2 y 2 dx dy 其零到二 阶 Poisson 上同调分别为 R R R 详细的计算过程可参见 2 此外 我们还有 Poisson 同调的概念 设 M 是 Poisson 流形 考虑算子 D i d di V k M V k 1 M 这样得到复形 V D 它诱导的同调称为 Poisson 同调 记作 H k M 一般 Poisson 流形上的同调与上同调没有明显的关系 但在辛流形上 则由 Hodge 类 算子给出了如下的对偶关系 对 m 维辛流形 M 有 H k M H m k dR M H m k M 扩展阅读 1 贺龙光 辛几何与泊松几何引论 M 首都师范大学 出版社 2001 目前唯一的 Poisson 几何中文书 2 Ciccoli N l Witkowski P From Poisson to Quantum Geometry J 2006 Poisson 几何的简明讲义 本文主要参 考资料 下载地址 toknotes mimuw edu pl sem4 files Ciccoli fpqg pdf 3 Fernandes R L Marcut I Lectures on Poisson Geometry J 2014 最新的 Poisson 几何的短篇讲义 下载 地址 www math illinois edu ruiloja Math595 book pdf 4 Vaisman I Lectures on the geometry of Poisson manifolds M Springer Science Business Media 1994 简明而又