高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 导数的运算法则课件 新人教A版选修22.ppt

第2课时导数的运算法则 主题1导数的运算法则利用导数的定义分别求y 5 x y 5x y 的导数 提示 1 1 1 故y 5 x的导数为1 2 5 5 故y 5x的导数为5 3 故y 的导数为 结论 导数的运算法则1 函数和差的导数 f x g x 2 函数积的导数 f x g x f x g x f x g x f x g x 3 函数商的导数 g x 0 推论 常数与函数的积的导数 cf x cf x 微思考 1 导数的和 差 运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗 提示 成立 有时可先化简再求导 2 在导数的运算法则中 f x g x 是否能是常数函数 提示 可以 例如 若y f x c 则y f x 若y af x 则y af x f x 0 主题2复合函数的导数1 y ln x 2 的结构特征是什么 提示 令u x 2 则y lnu 因此y ln x 2 可看成是由u x 2和y lnu复合而成的 2 如何求y ln x 2 的导数 提示 由y ln x 2 的结构特征 可考虑由外向内求导数 令u x 2 则y lnu 因此y x y u u x lnu x 2 结论 1 复合函数对于两个函数y f u 和u g x 如果 那么称这个函数为函数y f u 和u g x 的复合函数 记作y f g x 通过变量u y可以表示成x的函数 2 求导法则复合函数y f g x 的导数和函数y f u 和u g x 的导数间的关系为y x y u u x 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 微思考 求解复合函数的导数时 关键点是什么 提示 理清层次 逐层使用求导法则求解 预习自测 1 下列求导运算正确的是 a 1 b log2x c 3x 3xlog3ed x2cosx 2sinx 解析 选b 3x 3xln3 x2cosx x2 cosx x2 cosx 2xcosx x2sinx 2 当函数y a 0 在x x0处的导数为0时 那么x0等于 a ab ac ad a2 解析 选b y 由x20 a2 0得x0 a 3 f x lncos2x的导数是 a b c d 解析 选d 因为f x lncos2x 所以f x 4 函数y 的导数是 a b c d 解析 选c 5 函数f x 的导数为 解析 f x 答案 类型一利用运算法则求函数的导数 典例1 1 2016 天津高考 已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 2 求下列函数的导数 y x3 log2x y x 2 2 3x 1 2 y 2xlnx y 解题指南 1 求出f x 代入x 0即可 2 分析各个函数解析式的特点 应用和 差 积 商的导数法则求导 解析 1 因为f x 2x 3 ex 所以f 0 3 答案 3 2 因为y x3 log2x 所以y 因为y x 2 2 3x 1 2 3x2 5x 2 2 所以y 36x3 90 x2 26x 20 因为y 2xlnx 所以y 因为y 所以y 方法总结 利用导数的公式及运算法则求导思路 拓展 以y f x g x h x 为例 讨论连续多个函数的积如何求导 提示 1 利用整体思想 化为两个函数的积求导 即 y f x g x h x f x g x h x 从而y f x g x h x f x g x h x 2 展开化简y f x g x h x 转化为多项式 利用和 差的导数法则求导 补偿训练 求下列函数的导数 1 y 2 y 解析 1 y 2 y 巩固训练 求下列函数的导数 1 y cosx 2 y x sin cos 解析 1 y 2 因为y 所以y 类型二求复合函数的导数 典例2 1 已知函数f x 求其导数 2 设函数f x cos x 0 且f x f x 为奇函数 求 的值 求f x f x 的最值 解题指南 1 f x 是y eu与u ax2 bx的复合 2 先求出函数f x cos x 0 的导数 再利用f x f x 为奇函数求 的值 进而求出f x f x 的最值 解析 1 令u ax2 bx 则y eu y x y u u x eu ax2 bx eu 2ax b 2ax b 2 f x f x cos x sin x x cos x sin x 2sin x 因为0 f x f x 是奇函数 所以 由 知f x f x 2sin x 2sinx 故f x f x 的最大值是2 最小值是 2 方法总结 求复合函数的导数的步骤 1 适当选定中间变量 正确分解复合关系 2 分步求导 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导 3 把中间变量代回原自变量 一般是x 的函数 即 分解 求导 回代 巩固训练 求下列函数的导数 1 y 2 y 3 y 4 y 5log2 2x 1 解析 1 设y u 1 2x2 则y 1 2x2 4x 2 设y eu u sinv v ax b 则yx yu uv vx eu cosv a acos ax b 3 设y u2 u sinv v 2x 则yx yu uv vx 2u cosv 2 4sinvcosv 2sin2v 4 设y 5log2u u 2x 1 则y 5 log2u 2x 1 补偿训练 指出下列函数的复合关系 1 y sinx3 2 y 3 y 解析 函数的复合关系分别是 1 y sinu u x3 2 y cosu u 3 y u 2 cosv v 3x 类型三求导法则的综合应用 典例3 1 2016 全国卷 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是 2 已知曲线y 求 曲线在点p 2 4 处的切线方程 曲线上与直线4x y 3 0平行的切线方程 解题指南 1 先求出f x 当x 0时的解析式 然后再求切线 2 先求出y 的导数 再利用导数的几何意义求出在点p 2 4 处的切线方程和与直线4x y 3 0平行的切线方程 解析 1 设x 0 则 x 0 因为x 0时 f x e x 1 x 所以f x 又因为f x 为偶函数 所以f x f x f 1 所以切线方程为y 2 2 x 1 即 2x y 0 答案 2x y 0 2 因为p 2 4 在曲线上 且y x2 所以在点p 2 4 处的切线的斜率为4 所以曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 设切点坐标为 x0 y0 则切线斜率为x20 由题意得x20 4 所以x0 2或 2 切点 2 4 或 所以切线方程为y 4 4 x 2 或y 4 x 2 即4x y 4 0或12x 3y 20 0 延伸探究 本例 2 中的条件不变 把在点p 2 4 处的切线方程改为过点p 2 4 的切线方程 结果是什么 解析 设曲线y 与过点p 2 4 的切线相切于点a x0 则切线的斜率为x20 所以切线方程为y x20 x x0 即y x20 x 因为点p 2 4 在切线上 所以4 2x20 即x30 3x20 4 0 所以x30 x20 4x20 4 0 所以x20 x0 1 4 x0 1 x0 1 0 所以 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 故所求的切线方程为x y 2 0或4x y 4 0 方法总结 求曲线在某一点处切线方程的一般步骤 1 根据曲线的解析式求出导数 2 代入切点横坐标求出切线的斜率 3 利用点斜式写出切线的方程 巩固训练 已知曲线f x x3 3x 过点a 0 16 作曲线f x 的切线 求曲线的切线方程 解析 设切点为 x0 y0 则由导数定义得切线的斜率k f x0 3x20 3 所以切线方程为y 3x20 3 x 16 又切点 x0 y0 在切线上 所以y0 3 x20 1 x0 16 即x30 3x0 3 x20 1 x0 16 解得x0 2 所以切线方程为9x y 16 0 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结函数的求导方法 1 公式法 即直接利用基本初等函数求导公式求导 2 运算法则法 将函数转化为基本初等函数的和 差 积 商 然后运用求导法则求导 3 复合函数求导法 利用复合函数求导法则求导 拓展类型 曲线的公切线 典例 已知定义在正实数集上的函数f x g x a 0 设两曲线f x g x 有公共点 且在公共点处的切线相同 1 若a 1 求b的值 2 试写出b关于a的函数关系式 解题指南 先设公共点的坐标 利用切点处的导数相等建立关系式 解析 1 设f x g x 的公共点为 x0 y0 因为y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 且f x x 2 g x 所以f x0 g x0 f x0 g x0 所以由x0 2 得x0 1或x0 3 舍去 即有b 2 设f x g x 的公共点为 x0 y0 因为y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 且f x x 2a g x 所以f x0