高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课件 新人教B版必修4(1).pptVIP

2 3平面向量的数量积 2 3 1向量数量积的物理背景与定义 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 知道平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的运算性质 并会利用其性质解决有关长度 夹角 垂直等问题 1 2 3 4 1 两个向量的夹角 1 定义 已知两个非零向量a b 如图所示 作 b 则 aob称作向量a与向量b的夹角 记作 2 范围 0 并且 3 当 时 称向量a和向量b互相垂直 记作a b 在讨论垂直问题时 规定零向量与任意向量垂直 4 当 0时 a与b同向 当 时 a与b反向 做一做1 在等腰直角三角形abc中 c 90 则答案 90 135 1 2 3 4 2 向量在轴上的正射影 1 已知向量a和轴l 如图所示 作 a 过点o a分别作轴l的垂线 垂足分别为o1 a1 则向量叫做向量a在轴l上的正射影 简称射影 该射影在轴l上的坐标 称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量 记作al 向量a的方向与轴l的正向所成的角为 则有al a cos 2 当 为锐角时 al 0 当 为钝角时 al 0 当 0时 al a 当 时 al a 1 2 3 4 名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量 向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标 与向量a与轴l所成的角有关 与具体位置无关 做一做2 已知 p 2 q 3 且p与q的夹角 为120 则向量p在q方向上的正射影的数量为 向量q在p方向上的正射影的数量为 解析 向量p在q方向上的正射影的数量为 p cos 2 cos120 1 同理 q在p方向上的正射影的数量为 q cos 3 cos120 1 2 3 4 3 向量的数量积 内积 1 定义 a b cos叫做向量a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 2 理解两个向量的内积是一个实数 可以等于正数 负数 零 做一做3 若 a 3 b 4 a b的夹角为135 则a b等于 答案 b 1 2 3 4 4 向量数量积的性质设a b为两个非零向量 e是单位向量 1 a e e a a cos 2 a b a b 0 且a b 0 a b 3 a a a 2或 a 5 a b a b 1 2 3 4 做一做4 1 若m n 0 则m与n的夹角 的取值范围是 答案 c 做一做4 2 若向量a b满足 a b 1 a与b的夹角为60 则a a a b等于 答案 b 向量的数量积与实数的乘法的区别剖析 1 若两个实数满足ab 0 则a与b中至少有一个为0 而若向量a b满足a b 0则可推导出以下四种可能 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 但a b 3 两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法 与以前学过的数的乘法是有区别的 在书写时一定要把它们严格区分开来 不可混淆 4 向量线性运算的结果是一个向量 而数量积运算的结果是实数 知识拓展1 两个向量a b的数量积a b是一个数量 当a b均为非零向量时 这个数量的符号与其夹角的大小有关 当0 0 当 90 时 a b 0 当90 180 时 a b 0 当a b中至少有一个为0时 a b 0 2 数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 知道了数量积的几何意义 可以帮助大家正确认识向量的数量积 如 当a 0时 由a b 0不能推出b一定是零向量 这是因为任一与a垂直的非零向量b 都有a b 0 题型一 题型二 题型三 例1 已知 a 4 b 5 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角为60 时 分别求a与b的数量积 分析解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算 解 1 设a b的夹角为 a b 若a与b同向 则 0 a b a b cos0 4 5 20 若a与b反向 则 180 a b a b cos180 4 5 1 20 2 设a b的夹角为 当a b时 90 故a b a b cos90 0 3 当a与b的夹角为60 时 题型一 题型二 题型三 反思1 求平面向量数量积的步骤是 1 求a与b的夹角 0 180 2 分别求 a 和 b 3 求数量积 即a b a b cos 要特别注意 书写时a与b之间用实心圆点 连接 而不能用 连接 也不能省去 2 非零向量a和b a b a b 0 3 非零向量a与b共线 a b a b 题型一 题型二 题型三 变式训练1 1 已知向量a和向量b的夹角为30 a 2 b 则向量a和向量b的数量积a b 2 若 a 5 b 2 a 且a与b反向共线 则a b 解析 1 a b a b cos 2 cos30 2 由已知可得 a 5 b 10 180 于是a b a b cos 5 10 cos180 50 答案 1 3 2 50 题型一 题型二 题型三 例2 已知a b是两个非零向量 1 若 a 3 b 4 a b 6 求a与b的夹角 2 若 a b a b 求a与a b的夹角 分析 1 利用向量数量积的公式求解 2 利用向量的几何意义求解 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求向量的夹角可应用数量积的变形公式 一般要求两个整体a b a b 不方便求出时 可寻求两者之间的关系 转化条件解方程组 利用向量的几何意义简捷直观地得出答案 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 答案 1 120 2 45 题型一 题型二 题型三 易错点1 不理解正射影的定义致错 例3 已知 a 3 b 4 且 60 试求a在b方向上正射影的数量 错解 根据正射影的定义可知所求数量为a b 即a b a b cos60 6 错因分析把a b错误地理解成了a在b方向上正射影的数量 实际上要使用内积形式必须为a e才表示a在e方向上正射影的数量 题型一 题型二 题型三 变式训练3 已知向量a b满足 b 2 a与b的夹角为60 则b在a方向上的射影是 解析 b在a方向上的射影是 b cos 2 cos60 2 1 答案 1 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 答案 9 1 2 3 4 5 6 1 若 a 3 b 2 30 则a b 答案 b 1 2 3 4 5 6 答案 a 1 2 3 4 5 6 a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 等边三角形解析 cosa 0 cosa 0 角a是钝角 abc是钝角三角形 答案 c 1 2 3 4 5 6 4 已知a b都是单位