§2 矢量的表示及其应用.doc

2矢量的表示及其应用xyA (x,y)0图5-121矢量的直角坐标表示利用直角坐标系我们可以用有顺序的一对数字表示矢量。如图512所示，引进坐标系oxy后，矢量就可以用它的终点坐标（x,y)来表示。这样。矢量运算就可以通过数量运算来进行。矢量的相加（或相减），就是相应的坐标相加（或相减），如图513所示。yxx1Kx1y1Ky10图514用表示矢量，用表示矢量，则：如果K取一切正数，则就表示一条过原点的直线（图514）2矢量的三角函数表示图515（甲）所示，单位矢量OM，其长度为1，则，即sin、cos可看成单位矢量在特定状态下（矢量和OX轴的夹角是时）在X轴上的投影。如果矢量的长度不是1而是（图515乙），那么它的纵坐标是，横坐标是，这样矢量就可以写成三角函数式。yx0yx0BMAcossin1甲Ncossin乙图515yx图516在解决实际问题时，我们又常常把一个矢量沿相互垂直的坐标轴分解，或者用“一个矢量在另一个矢量的投影”这样的语言。如图516所示，将矢量沿X轴和Y轴分解，和是矢量在X轴和Y轴方向上的分矢量，因为坐标轴的方向已确定，所以分矢量和只要用数值和和正负号就可以把它们的大小和方向完全表示出来。这样我们就可以省去矢量符号而简单地把它们写成AX和AY，AX和AY叫做分量，显然：由于分量是标量而不是矢量（分量的正负表示分矢量的方向跟指定的方向相同或相反）因此，在X轴和Y轴方向上运算时，就可以把矢量运算转化为代数运算或三角运算。AONB图517图517中的是矢量在矢量上的投影，的大小（ON）是的大小（OA）乘上和的夹角的余弦。即。3矢量的复数表示Y（虚轴）X（实轴）OMab图518如图518所示，我们以X轴为实轴，y轴为虚轴，这两个坐标轴组成复平面，每个复数（）都可用复平面上的一个点M表示（这个点的横坐标为a，纵坐标是b）也可以用连接为O、M的有向线段（O为起点，M为终点（即矢量来表示）因此，矢量可以写成复数表示式：（复数的实部与虚部相当于矢量的x, y的分量）同样利用三角函数，矢量还可写成复数的三角函数式：由图518可见，矢量的长度为：称为复数的模，由X轴转到矢量的角度称为幅角。此外利用数学上的尤拉公式：，复数又可写成为指数形式：必须指出：复数虽然是“一个数”，但具有“大小”和“方向”这两个要素，因此我们把复数作为描写矢量或刻划只有大小和相位的数量（如谐振量）的工具。例55用计算法解例47。例47水流向东，速率为2km/h，汽船以8km/h的航速在向东偏北600的方向航行。一位旅客在甲板上散步，速度为1km/h，面向正西北。求旅客对岸的速度。解：令X轴指向正东，Y轴指向正北，建立直角坐标系oxy，将各速度矢量的起点移至坐标原点，作矢量图（图519）用表示矢量，用表示矢量，用表示矢量。依速度合成规律，有：V水对岸与X轴所成的夹角为：向东偏北。例56在加速行驶的火车上固定一斜面，斜面倾角为（图520），有一物体静止在斜面上，如果火车的加速度小于某一值a0,物体就会下滑。设物体和斜面间的静摩擦a0图520因数为0，推导a0的表达式。解：选斜面上的物体为研究对象，物体受三个力的作用：重力mg，竖直向下；斜面对它的支持力N，与斜面垂直向上，静摩擦力f，沿斜面向上（当加速度为a0时，有最大静摩擦力）解法一：选取加速度a0的方向为X轴正向，与之垂直的方向为Y轴方向建立直角坐标系。将mg、N、f沿X、Y两个方向分解（见图521）得：yxNmgfmoa0图521根据牛顿第二定律有：即：（1）（2）解（1）、（2）两方程得：解法二：斜面是物体的支承面，取沿斜面方向和垂直斜面方向为直角坐标系的方位，将N、mg、f进行分解（见图522），得：mg图522yNfmx0a0a0xa0y根据牛顿第二定律有：即：解（1）、（2）两式得：说明：本例是在分析物体受力情报基础上，根据力的独立性作用原理（每个力都能各自独立产生相应的效应的效果），在受力体的适当的位置建立直角坐标系，把所有作用于物体上的外力沿两条互相垂直的坐标轴分解，然后利用代数方法将各分量叠加（各分量的正负由坐标轴的取向决定），最后依据牛顿第二定律列出方程。在X轴方向上：在Y轴方向上：上述方法称为正交分解法，其主要优点在于：将力和加速度的矢量运算转化为代数运算。若要求合力F，则，F合与X轴的正向的夹角，这样就可用直角三角形色股定理替换三角形的余弦定理进行计算。正交分析法在解决动力学问题中有重要作用。坐标轴的选取需根据物体的运动的特点，一般取加速度方向和垂直于加速度方向（或沿运动方向和垂直于运动方向）。AdcBVBDCl图5-23例57如图523所示，金属矩形框架放在水平位置上，可动边cd可在框架上无摩擦地滑动。已知cd的质量m=0.05kg，边长L0.50m,匀强磁场的B0.50T,方向斜向上与框架平面成150且与线框边AB，CD垂直，整个框架电阻R0.20欧，问当cd的滑动速度达到多大时，它才对框架AD，BC边没有压力。ABCDdcFF1F2BIvGN图524解：如图524所示，由于cd 边以速度V运动时切割了磁感应线，产生由d向c的感应电动势：线框中的感应电流：cd所受的磁场力F垂直于导线cd和磁感应强度B所决定的平面，且：将力F沿直方向和水平方向正交分解：F2FF1GBIV图5-25由此，导线cd在竖直方向上受三个力：重力G，弹力N，磁场分力FeBr2，（平面图如图525所示）为了使cd 对线框没有压力（即N0），必须有：即：即：例58证明质点作匀速圆周运动时，它在直径上的投影作简谐振动地，并写出其投影在任意时刻的位移、速度和加速度的表达式。证明：图526所示，设质点以匀角速度在半径为r的圆周上逆时针运动，并设当t=0时质点在M0处，半径为OM0，与X轴的夹角为，经时间t后，质点到达M点，半径OM与X轴的夹角为，M点在X轴（即直径CB）上的投影为M/,它离开圆心O的位移是矢量在X轴上的投影，其大小：yxM0Maa/M/VV/CBD图526即：（1）根据圆周运动的规律，质点在M处的线速度的大小：,沿切线方向，加速度的大小为，方向指向圆心。M/既然是M在X轴上的投影，那么M/的速度V/、加速度a应分别是M点的速度V和a/在X轴的投影, 即：V/的方向与X轴的取向相反，（2）a/的方向与X轴的取向相反，（3）以（1）代入（3）得：（4）（负号表示加速度的方向与位移的方向相反）（4）式表明投影M/的运动是简谐振动。（1）、（2）、（3）式告诉我们，投影M/的位移、速度和加速度都是时间t的正弦或余弦函数。说明：因为匀速园周运动的质点在直径上的投影的运动是简谐振动，因此我们可借助于匀速园周运动来研究简谐振动。M点所描绘的圆称为M/点的简谐振动的参考圆。例59如图527所示，质量为m，带电量为q的带电粒子，从坐标原点O沿Y轴正方向以速度V射入磁感应强度为B的匀强磁场和电场强度为E的匀强电场中，B、E的方向均平行于Z轴的方向。当带电粒子第一次XOZ平面内的挡板OACD上的小孔M射出时，试求带电粒子的位移。（粒子的重量忽略不计）。ZxyEBACDOMzxx0图5-27解：运动电荷进入匀强磁场和匀强磁场后，受到洛仑兹力和电场力作用：在OXY平面内与垂直，大小为：方向沿Z轴向上，大小为：因为FB与FE互相垂直，根据运动的独立性原理，我们分别在XOY平面内，和沿Z轴方向考虑粒子的运动。在XOY平面内，由于，粒子作匀速圆周运动，且圆周与坐标原点O相切，半径（），圆心在X轴上，其坐标，当粒子第一次从挡板的小孔M射出时，必须满足y=0在Z轴方向上粒子作初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，M点的Z坐标应是：矢径的长度：矢径与X轴的夹角：即带电粒子的位移的大小等于：，方向在OXZ平面内，现X轴的夹角例510用计算法解例48例48：某人以4km/h的速率向正东方向前进时，感觉风从正北方向吹来，若将速率增一倍，则感觉风从东北方向吹来。求风速和风向。解：令x轴为实数轴，指向东；y轴为虚数轴，指向北，作速度矢量图，如图528所示