人教版数学书的解读.doc

依托课本 务实开展研究性学习佛冈县第一中学 刘伟强近几年，神州大地教育界掀起了一股研究性学习的教改热浪，让学生研究什么？这是首先要触及的问题，许多杂志都载文让学生到工厂、农村、商店、医院等地方去寻找研究性素材。笔者认为，对大多数老师和学生来说，简直是空谈泛谈，是不切实际的，解决应用问题只是研究性的一个方面，研究性学习的目的主要是培养学生的探究精神，研究意识，让学生在未来的工作中有所创造。研究性学习要切合实际，要立足课堂，回归课本，研究的内容要让学生跳一跳后能摘到果实。我认为，依托课本，深挖四题（例题、练习题、习题、复习参考题）是最切实可行的研究性素材。本文结合自己的教学实践，谈几点体会。一、将课本例习题，编成开放题，让学生研究。课本上的一些例习题，形式相似，实质相同，只是条件相异，如果隐去条件，便得到条件不完备的开放性试题。高二数学第二册（上）P22练习3：ABC的顶点B、C的坐标分别是（0,0）和（4,0），AB边上的中线的长为3，求顶点A的轨迹方程。P72习题75第4题：点M到点A（4,0）与点B（-4,0）的距离的和为12，求点M的轨迹方程。第8题：两根杆分别绕着定点A和B（AB=2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持垂直，求杆的交点P的轨迹方程。P88复习参考题七A组第18题：已知点P（2,0）与点Q（8,0），且点M到点P的距离是它到点Q的距离的，求点M的轨迹方程。第20题：一条线段AB（）的两个端点A和B分别在轴和轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程。复习参考题八P132A组第5题：已知ABC的三边AB，BC，CA的长成等差数列，且，点B，C的坐标为（-1,0）、（1,0），求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线。P133B组第5题：两定点的坐标分别为A（-1,0），B（2,0），动点M满足条件MBA=2MAB，求动点M的轨迹方程。这些题有共同的题设条件：已知两点A、B的坐标，或线段AB的长，依此特征，隐去其余条件，我编拟成开放题：ABC中，AB边为定值（可用长度也可用点坐标表示），请你添加适当的条件，求出顶点C的轨迹方程。学生颇感兴趣，探究热情高涨，翻阅课本，查找资料，互相交流，汇集起来，上述课本习题均被学生查到，有的学生寻找到了新颖的知识交汇性较强的问题，现摘取2例如下：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（-1,3），若点C满足，其中、，且，求点C的轨迹。在直角坐标平面内，ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-1,0），B（1,0），平面内两点G、M同时满足以下条件：；。求ABC的顶点C的轨迹。在学生编拟的题中，我选取出几道较典型的习题，跟学生一起探讨解法，把求轨迹方程的一些主要方法：直接法、定义法、相关点法、参数法融于其中。这样做可改变学生依赖教师，就题论题，轻视课本等不良习惯。沟通了习题间的内在联系，构筑了知识网络，传授了知识，巩固了方法，提高了能力，培养了他们的钻研精神。数学开放题是研究性学习的一种合适载体，它能调动学生学习的主动性，发展学生的创造潜能，只要我们深入挖掘例习题的形式、价值，做有心人，就能依托课本，编拟出适合学生研究的开放探索题。二、将例习题引申变迁，动态处置，让学生探究。用动的观点处理例习题，由一道题到一类题一片题，是让学生进行研究性学习的极好形式，变形态的问题，学生感到亲切，又不会高不可攀，乐意研究。高二数学第二册（上）P103习题82第6题：已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50108/km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离。通过审题，让学生明确本题有2个题设条件：椭圆方程，椭圆轴上一定点，1个求解：求椭圆上的点到这个定点的最大和最小距离。如果将2个题设与1个求解看作3个命题，任取2个作条件，另1个作为求解，可得如下各种变式，让学生研究解法。变式1：求点P（0,）到椭圆上点的最大距离（只改变轴上的定点）。变式2：求点P（0,m），使其到椭圆上的最大距离为。变式3：设椭圆中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率e=，己知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离为，求该椭圆方程。将原题一般化，可得变式4：求椭圆上的点与长轴定点（m，0）间的最大距离和最小距离。若将定点变为定直线，又可得下列变式：变式5：点P在椭圆上，求点P到直线的距离的最大值。变式6：椭圆中心在原点，焦点在X轴上，离心率e=，椭圆上的各点到直线L：的最短距离为1，求椭圆方程。如果保留轴上的定点，增加一个椭圆内的定点，又可得下列变式。变式7：己知椭圆及点M（2，1），F2是右焦点，设A是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。变式8：给定点A（2，2），己知B是椭圆上的动点，F是左焦点，求的最小值。有些变式题还可以扩展到双曲线和抛物线的情况。用课本例习题切入，精心设计变式题（包括由课本例习题演变的高考题），阶梯式逐渐递进，贴近学生的最近发展区，能激发起学生的研究热情，学生积极主动探索。上述变式源于课本而高于课本，求解几最值的基本方法襄括其中，在探究过程中，学生深刻认识到数学的美妙，使他们享受到学习数学的快乐，层层递进的问题，让学生思维的火花不断撞击，必能优化学生的思维品质，培养学生的创新能力。三、让学生研究例习题结论的应用许多例习题的结论都有广泛应用，在解题中有其独特的作用，能缩短思维回路，使问题简捷获解，我们要引导学生研究它们的应用，开发例习题的应用价值。高二数学第二册（上）复习参考题七B组第4题：两条曲线的方程是，它们的交点是，求证方程的曲线也经过点P（是任意实数）（证明略）。我们称方程为经过两条曲线交点的曲线系方程，给出下列问题让学生研究它的应用。1、求经过两条直线的交点，且垂直于直线3x2y+4=0的直线方程（课本习题73第11题（1）。2、求经过两圆的交点，并且圆心在直线上的圆方程（课本习题76第8题）。3、己知圆C1：，圆C2：，求经过两圆交点A、B的直线L的方程。4、求两圆，的公共弦的长（课本复习参考题七A组第24题）。5、己知圆C：，直线L：，证明直线L与圆C相交。解析，本题可以通过方程联立，消去一个未知数，得含另一未知数的一元二次方程，再利用0证明之；也可利用圆心到直线L的距离小于半径证明，但繁琐得很。引导学生以静制动，识别出直线L恒过定点A（3，2）。将直线L的方程写成的形式，利用上面的曲线系方程，便知L过两直线和的交点，而此交点在圆C内，故直线L与圆C相交，这样便简洁快速得多了。6、己知圆O：，动圆圆心A在圆0上的运动，与圆0相交于B、C两点，且与X轴相切于D，AD与BC相交于P，求点P的轨迹方程。学生设动圆圆心为A（a，b）（b0），写出圆A方程为，将圆A与圆O方程联立，求出交点B，C坐标，再求出直线BC与AD的交点P的坐标，无法完成。在学生碰壁以后，引导学生利用曲线系方程求解。设圆心A（a，b）（b0），P（x，y）为曲线上任意一点，则圆A方程为，经过圆A与圆O交点的直线方程为，令=-1则得BC方程，。将代入得P点轨迹方程为。7、求经过圆和的交点，且面积最小的圆方程。学生思路：求出直线与圆的交点A，B的坐标，分析判断出以AB为直径的圆面积最小，求出AB的中点定圆心，求出AB的长度定直径，写出圆方程。启发学生，能否不求交点坐标？学生联想到曲线系方程，写出经过圆和直线交点的圆系方程为+，即，其半径，当=时，r最小，所求圆的面积最小，将=代入即得所求圆方程为利用有价值的例习题结论，研究它们的应用，解法标新立异，快速简捷，能培养学生的创新思维能力。有些例习题的变式题的结论，也有很重要的价值和广泛应用，是让学生开展研究性学习的好题材。高二数学第二册（上）P86习题81第5题，点P是椭圆上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，求点P的坐标。解完此题后，将其变式为：点P是椭圆上一点，F1、F2是左、右焦点，F1PF2=，求焦点PF1F2的面积。由椭圆定义结合余弦定理求得焦点PF1F2的面积S=。给出下面习题让学生去研究它的应用，并和其它方法作对比。1、椭圆的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是。2、在椭圆上求一点P，使F1PF2最大，其中F1、F2是椭圆的焦点。解析：设F1PF2=，则SF1PF2=。因为F1PF2中的底边长是定值2c，故当高最大时，SF1PF2的面积最大，因而最大，显然当点P在短轴两顶点（，0）时，SF1PF2的面积最大。多么简洁，若用其它方法