高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 第二课时 直线与平面垂直课件 苏教版必修2.ppt

第二课时直线与平面垂直 第1章立体几何初步 学习导航 第1章立体几何初步 1 直线与平面垂直 1 定义 如果一条直线a与一个平面 内的 直线都垂直 我们就说直线a与平面 互相垂直 记作 直线a叫做平面 的 平面 叫做直线a的 垂线和平面的交点称为 任意一条 a 垂线 垂面 垂足 2 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 1 直线与平面垂直的判定定理 两条相交直线 m n a m n 垂直于这个平面 2 直线与平面垂直的性质定理 a b 平行 3 距离 1 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线 这个点和 间的距离 叫做这个点到这个平面的距离 2 直线到平面的距离 一条直线和一个平面平行 这条直线上 到这个平面的距离 叫做这条直线和这个平面的距离 垂足 任意一点 4 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 2 当直线ap与平面垂直时 它们所成的角是 3 当直线与平面平行或在平面内时 它们所成的角是 4 线面角 的范围是 射影 锐角 pao 直角 0 0 90 1 下列说法中正确的个数是 若直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 若直线l与平面 内的两条直线垂直 则l 若直线l与平面 内的两条相交直线垂直 则l 若直线l与平面 内的任意一条直线垂直 则l 解析 对于 不能断定该直线与平面垂直 该直线与平面可能平行 也可能斜交 也可能在平面内 所以是错误的 是正确的 2 2 abc所在的平面为 直线l ab l ac 直线m bc m ac 则不重合的直线l m的位置关系是 解析 直线l ab l ac 且ab ac a l 平面 同理直线m 平面 由线面垂直的性质定理可得l m 3 已知正方形abcd的边长为1 线段pa垂直于平面abcd 且pa 1 则点p到点c的距离为 平行 4 正方体ac1中 直线ab1与平面ac所成的角等于 解析 如图所示 bb1 平面ac 直线ab1在平面ac内的射影是ab b1ab是直线ab1与平面ac所成的角 在rt b1ab中 bb1 ab b1ab 45 45 直线与平面垂直的判定定理的应用 证明 设圆o所在平面为 已知pa 且bm pa bm 又 ab为 o的直径 点m为圆周上一点 am bm 由于直线pa am a bm 平面pam 而an 平面pam bm an 又pm an pm bm m an 平面pbm 方法归纳直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要方法 线面在垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直 关键是找平面内的两条相交直线与已知直线垂直 直线与平面垂直的性质定理的应用 方法归纳若已知一条直线和某个平面垂直 证明这条直线和另一条直线平行 可考虑利用线面垂直的性质定理 证明另一条直线和这个平面垂直 证明时注意利用正方形 平行四边形及三角形中位线的有关性质 证明 ea l ea l 同理eb l ea eb e l 平面eab eb a eb a 又ab a ab eb b a 平面eab a l 求直线与平面所成的角 方法归纳求直线与平面所成角的步骤 1 作图 作 或找 出斜线在平面内的射影 作射影要过斜线上一点作平面的垂线 再过垂足和斜足作直线 注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关 才能便于计算 2 证明 证明某平面角就是斜线与平面所成的角 3 计算 通常在垂线段 斜线和射影所组成的直角三角形中计算 证明 pa 平面abc pa bc 又ac bc bc 平面pac ad 平面pac ad bc pc ad ad 平面pbc ad pb 错因与防范 1 本题易出现证明过程不严密的错误 2 证明线线垂直常常转化为线面垂直问题 即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可 3 证明的转化途径是 线线垂直 线面垂直 线线垂直 4 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 且四边形abcd是矩形 ae pd于e l 平面pcd 求证 l ae 证明 pa 平面abcd cd 平面ab