材料力学 第十四章 静不定问题分析.pdf

第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 1 1313 1 1 引言引言 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 1313 2 2 用力法分析静不定问题用力法分析静不定问题 1313 3 3 对称与反对称静不定问题分析对称与反对称静不定问题分析 1313 4 4 平面刚架空间受力分析平面刚架空间受力分析 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 2 1313 1 1 引言引言 外力静不定结构外力静不定结构内力静不定结构内力静不定结构混合型静不定结构混合型静不定结构 AB q A B q Ax F Ay F Bx F By F A B q Ax F Ay F Bx F By F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 3 外力静不定外力静不定 外外1度度 外外3度 平面 度 平面 外外6度 空间 度 空间 约束力分量个数 约束力分量个数 平面固定铰平面固定铰 平面固定端平面固定端 平面活动铰平面活动铰空间球形铰空间球形铰 空间固定端空间固定端 2 21 1 3 3 3 3 6 6 F F q q 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 4 内力静不定内力静不定 桁架桁架 内内1度度 内内2度度 静不定度静不定度 m 2n 3 m 杆数 杆数 n 节点数节点数 F F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 5 内内6度度 外 外3自由度 自由度 单闭口的平面单闭口的平面 刚架或曲杆 刚架或曲杆 3 3度内静不定度内静不定 FF q 内内3度度 S F N F M q 内力静不定内力静不定 刚架刚架 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 6 F F 6度内力静不定度内力静不定 外外3自由度自由度 FF 5度内力静不定度内力静不定 加一中间铰减加一中间铰减 少一度静不定少一度静不定 FF 4度内力静不定度内力静不定 加一根二力杆增加一加一根二力杆增加一 度静不定度静不定 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 7 混合静不定混合静不定 1 内 内 1 外 外 2 度度3 内 内 3 外 外 6 度度 圆环在水平方向有一自由度圆环在水平方向有一自由度 梁 外梁 外3 3 环 内环 内3 3 梁环接触 梁环接触 1 1 3 3 1 7 度度 F 圆环圆环 F F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 8 a b c a 内内2度度 b 1度度 c 2度度 混合静不定 梁杆结构 混合静不定 梁杆结构 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page 9 1313 2 2 用力法分析静不定问题用力法分析静不定问题 几个概念 几个概念 基本系统 基本系统 解除多余约束后的静定结构 静定基 解除多余约束后的静定结构 静定基 相当相当系统 系统 作用有载荷和多余反力的基本系统 作用有载荷和多余反力的基本系统 基本系统和相当系统不唯一基本系统和相当系统不唯一 分析要点 分析要点 1 去除多余约束 建立相当系统去除多余约束 建立相当系统 2 建立补充方程 找变形协调条件 建立补充方程 找变形协调条件 3 确定多余未知力确定多余未知力 多余内力和多余外力多余内力和多余外力 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page10 一 一 外力静不定结构分析外力静不定结构分析 解除多余的外部约束 代之以支反力解除多余的外部约束 代之以支反力 相当系统相当系统 在解除约束处 建立变形协调条件在解除约束处 建立变形协调条件 建立补充方程建立补充方程 AB C l l AB RC l l HC 0 0 C C f A B C l l RC M 0 0 A A f 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page11 二 二 内力静不定结构分析内力静不定结构分析 切开提供多余内部约束的杆件 代之以截面上的内力切开提供多余内部约束的杆件 代之以截面上的内力 相当系统相当系统 利用切开截面的相对广义位移为零 建立变形协调条件利用切开截面的相对广义位移为零 建立变形协调条件 建立补充方程建立补充方程 m m 0 0 0 m m m m m m f 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page12 例 例 已知外力偶已知外力偶 M0 求求B B端约束端约束 反力反力FB B和水平位移和水平位移 BH O O R A A B B 1 1 b b B0 1cos 1cos MF RM MR 解 解 1 1 求支反力 求支反力 弯矩弯矩 变形协调条件变形协调条件 0 0 BV 单位载荷法单位载荷法 BVB0 0 32 B0 1 1cos1cosd 13 0 2 F RMRR EI F RM R EI 0 B 2 3 M F R O R A B M0 FB a 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page13 2 求求 BH 讨论 选取哪种讨论 选取哪种 单位载荷系统单位载荷系统 O R A B M0 FB a 1 O R A B FB d O R AB 1 c 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page14 B端的水平位移为端的水平位移为 BH0 0 2 0 0 2 0 12cos 1 sind 3 sinsin2d 3 2 3 MRR EI M R R EI M R EI 方法1 O R AB 1 c sinMR 0 0 0 2 1cos 3 12cos 3 M MRM R M 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page15 B 4 3 F 方法2 解静不定问题 求单位载荷系统的解静不定问题 求单位载荷系统的 B F BH0 0 22 00 0 2 0 12cos 14 1cossind 33 24 coscos2d 39 2 3 MRRR EI M RM R EIEI M R EI 1 O R A B FB d 0 00 12cos2 1cos 33 M MRMM R B 4 1cossin1cossin 3 MF RRRR 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page16 思考 思考 计算计算 下图相当系统选取是否正确 下图相当系统选取是否正确 BH o A B 0 M R 0 3 M R 0 3 M R 对应的单位载荷系统 对应的单位载荷系统 o AB 1 R 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page17 例 例 求求B 端反力端反力 q lA B l 相当系统相当系统 q A B Bx F By F 变形协调条件 变形协调条件 0 0 BB f 单位载荷系统单位载荷系统 1 1 1 A B 单位载荷系统单位载荷系统 2 2 1 A B 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page18 例 例 图示桁图示桁架 各杆架 各杆EA相同 求各杆轴力相同 求各杆轴力 a 1 2 3 4 5 6 7 8 a a P 解 解 判断静不定度 判断静不定度 外力静定外力静定 内力静不定度 内力静不定度 8 2 5 3 1 1 去除多余约束 建立相当系统去除多余约束 建立相当系统 2 建立补充方程建立补充方程 找变形协调条件找变形协调条件 0 m m 1 2 3 4 5 6 8PN7 N7 m m 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page19 1 2 3 4 5 6 81 1 1 2 3 4 5 6 8PN7 N7 利用单位载荷法建立补充方程利用单位载荷法建立补充方程 N7 P Ni 18 17 a6 a5 a4 a3 0a2 01 Nili 2a 2a 2a 7 2NP 2P 7 2 2 NP 7 2 2 N 7 2 2 N 7 2 2 NP 2 2 2 2 2 2 2 2 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page20 8 1 7 22 22 0 ii i m m i N N l EA a NP EA 7 2 2 NP a 1 2 3 4 5 6 7 8 a a P 1 2 3 4 5 6 8 1 思考 若求加载点的水平位移 如何选择单位载荷状态思考 若求加载点的水平位移 如何选择单位载荷状态 1 2 3 4 5 6 8 1 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page21 思考 思考 求求BD杆的转角 正确杆的转角 正确 的单位载荷系统是的单位载荷系统是 答 答 C D 1 a 1 a AD B C A B 1 a 1 a AD B C C 2 2a AD B C 2 2a D 2 2a AD B C 2 2a 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page22 1313 3 3 对称与反对称静不定问题分析对称与反对称静不定问题分析 基本概念基本概念 对称结构 对称结构 形状 截面尺寸 材料 支持形状 截面尺寸 材料 支持 方式沿对称面对称 方式沿对称面对称 P M 对称载荷对称载荷反对称载荷反对称载荷 P F F P M M PP F F MM 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page23 利用对称变形条件利用对称变形条件可以唯一确定对称内力可以唯一确定对称内力0 0 CC N CC FM 变形特征 变形特征 AB a F C F a 内力特征 内力特征 AB a F C F a C C 0 0 C 0 0 C M C M NC F NC F F SC 0 0 利用对称性 可直接确定某 些 多余未知力 简化计算 利用对称性 可直接确定某 些 多余未知力 简化计算 但并不降低静不定度 但并不降低静不定度 对称问题的内力与变形特点对称问题的内力与变形特点 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page24 利用反对称变形条件利用反对称变形条件 f C 0 可以唯一确定反对称内力 可以唯一确定反对称内力FSC 在结构对称点在结构对称点C 对称加载情形 可直接确定一个内力 对称加载情形 可直接确定一个内力 反对称加载情形 可直接确定两个内力 反对称加载情形 可直接确定两个内力 变形特征 变形特征 AB M CM 内力特征 内力特征 AB M CM SC F SC F F NC 0 0 MC 0f C 0 0 C 反对称问题的内力与变形特点反对称问题的内力与变形特点 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page25 例 例 已知圆环已知圆环EI 求 求B D相对位移相对位移d d A B C D R F F o A B A M 2 F 0 A R F C A B A M 2 F 0 A 解 解 1 1 利用对称性 选取相当系统 利用对称性 选取相当系统 R F CA B A M NA FNA F A M N 1 2 A FF 0 A C 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page26 sin 2 B F MMR 1M 2 0 1 sin0 2 BB F MRRd EI 1 0 22 B R MFR EI 1sin 2 B FR MMFR 解 解 2 2 利用单位载荷法 计算 利用单位载荷法 计算MB B M oA B 2 F 1 oA B 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page27 2 0 2 3 2 0 33 4 41sin 2 2 0 149 4 B D MMRd EI FR d EI FRFR EIEI 3 3 计算 计算 B D A B C D R F F i i 利用整圆环 利用整圆环 1sin 2 MFR 1sin 2 MR A B C D R 1 1 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page28 3 3 计算 计算 B D 2 0 33 2 2 21sin sin 2 80 149 4 B DB RFRRd EI FRFR EIEI 讨论 求讨论 求 哪种方法简单 哪种方法简单 A C 1sin 2 MFR sinMR 1 oA B R iiii 利用 利用圆环圆环 1 4 B M oA B 2 F R 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page29 F A B R 2FR F A B R 2FR 2 F 2 F 2 F 2 F 变形特征变形特征 0 0 ANA MF 0 A B 内力特征内力特征 S F未知力未知力 反对称轴反对称轴AB 例 例 小曲率圆环 已知小曲率圆环 已知R EI 求求A截面内力截面内力 2 F 2 F FR FS FS A B 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page30 1 0 0 11 33 2 0 22 2 S S MMRd A B EI F RFR EI F F 1 sin 1 cos 2 sin S MF RFR MR A B 1 1 2 F 2 F FR FS FS A B 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page31 一类双反对称轴问题可仅用平衡条件求解一类双反对称轴问题可仅用平衡条件求解 FF F F 2 a 2 a 2a2a 例 例 对称还是反对称问题 对称还是反对称问题 F F FS FS 22cos450 2 2 S S FF FF 双反对称轴问题双反对称轴问题 双对称轴问题双对称轴问题 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page32 结构对称 载荷不对称的问题结构对称 载荷不对称的问题 F 结论结论 结构对称 载荷不对称的平面结构问题可结构对称 载荷不对称的平面结构问题可 分解为一个对称与一个反对称问题 分解为一个对称与一个反对称问题 2 F 2 F 2 F 2 F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page33 中心对称问题中心对称问题 D C A B E F O m m m 关于原点关于原点O O 中心对称中心对称 o MC C m M A 3 3 MMm AC MC M A m 30 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page34 FF FF DC AB O 1 2 3 例 例 正方形行架杆 各杆正方形行架杆 各杆EI O点固结 点固结 1 几度静不定 几度静不定 2 求各杆内力 求各杆内力 解 解 1 4度静不定度静不定 2 中心对称中心对称 各杆应变相同 各杆应变相同 FN相同相同 NN N 2cos45 2 1 12 FFF F FF F N F N F N F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page35 1122 112 11 244 1 2 F M xxM xFaFx M xxM xa EI Fa EI Fa dxFaxFa EI dxFx EI aa CH 12 16 1 8 1 48 1 8 1 8 1 1 2 11 33 22 2 0 2 1 0 不对 不对 改错改错 求求C点支反力与铅垂位移点支反力与铅垂位移 cv a 2 a 2 a F C 2 F N F FFN 4 1 1 1 x 2 x 对不对 对不对 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page36 2 F 2 a a 1 1 x 2 x 2211 2211 2 1 2 1 4 1 4 1 2 1 xaxMxxM FxFaxMFxxM 22 2 1122 00 3 11 28 16 a a CV F Fx dxaxdx EIEI Fa EI 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page37 例 例 右图问题是对称问题右图问题是对称问题 还是反对称问题 还是反对称问题 对称问题对称问题 F F 反对称问题反对称问题 2 F 2 F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page38 F Fx FyFy Fx F 2 F 2 F 2 F 2 F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page39 1313 4 平面刚架空间受力分析平面刚架空间受力分析 a a 面内加载 面内加载 b b 面外加载 面外加载 平面刚架平面刚架 轴线位于同一平面的刚架轴线位于同一平面的刚架 面内加载面内加载 外载荷位于刚架轴线平面内 已研究 外载荷位于刚架轴线平面内 已研究 面外加载面外加载 外载荷位于垂直于刚架轴线平面外载荷位于垂直于刚架轴线平面 F C BA D q MF C BA D q M 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page40 内力内力 轴线平面内的内力分量 轴力轴线平面内的内力分量 轴力FN 面内 面内 剪力剪力 FSz与面内弯矩与面内弯矩My 忽略不计 忽略不计 反力反力 作用在轴线平面内的支反力与支反力偶矩作用在轴线平面内的支反力与支反力偶矩 忽略不计忽略不计 面外加载时变形与受力的特点面外加载时变形与受力的特点 位移位移 小变形时小变形时 横截面形心在轴线平面内的位横截面形心在轴线平面内的位 移 移 轴线的面内变形轴线的面内变形 忽略不计 忽略不计 C B A D F q Me E C B D C B A Me Sy F T N F y M Sz F z M x y z C B A Me Sy F T y M z M x y z 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page41 面内 面外内力分量及一般载荷分解面内 面外内力分量及一般载荷分解 结论 作用于平面结构的载荷总可分解为面内与面外结论 作用于平面结构的载荷总可分解为面内与面外 载荷 分别引起面内与面外内力 可以解耦计算 载荷 分别引起面内与面外内力 可以解耦计算 面内内力与面内面内内力与面内 约束力分量约束力分量 z F x F y M y M N F S F 面外内力与面外面外内力与面外 约束力分量约束力分量 z M x M y F Sy F x M T 一般载荷的分解一般载荷的分解 M F 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page42 讨论 对比面外与面内载荷的对称问题讨论 对比面外与面内载荷的对称问题 面内受力 面内受力 NS 0 0 0 CzCCx FMF 面外受力特征 面外受力特征 S 0 0 CzC FT 变形特征 变形特征 0 Cx 2a2a a F C BA z y x o a 2a C 2 F Cx M 面外载荷的对称问题面外载荷的对称问题 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page43 例 例 已知已知EI GIP 求 求C点内力点内力 MCx 及铅垂位移及铅垂位移 分析 分析 待求未知量待求未知量MCx 变形条件 变形条件 Cx 0 2a2a a F C BA z y x o a 2a C 2 F Cx M 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page44 1 求求MCX a 2a C MCX 1 x 2 x 2 F 1 2 11 0 111222 00 4 8 2 aa M xM x dxT xT xdx CX EIGI p GIEI Fa p MCX GIEI p 1 11 2 M xMFx CX 1 22 2 M xFx 1 2 4 T xMFa CX 1 1 M x 0 2 M x 1 2 T x 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page45 a 2a C MCX 1 x 2 x 2 F 1 2 求铅垂位移求铅垂位移 CV 2 1111111 2 11122 22242 000 1131 23 82168 aaa MFxx dxFxdxMFaadx CxCx CV EIEIGI p MaFa Cx EIGIEIGI pp 1 11 2 M xMFx Cx 1 22 2 M xFx 1 2 4 T xMFa Cx 1 1 M xx 2 2 M xx 22 a T x 第十三章第十三章静不定问题分析静不定问题分析 Page46 面外载荷的反对称问题面外载荷的反对称问题 讨论 讨论 对比面外与面内载荷的对称问题对比面外与面内载荷的对称问题 面内受力 面内受力 NS 0 0 0 CzCCx FMF 面内受力特征 面内受力特征 0 Cx M 变形特征 变形特征 2a2a a M0 C BA z y x o a 2a Cz