江苏省无锡市江阴市南菁高中高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1正方体abcda1b1c1d1中，与对角线ac1异面的棱有条2命题“x0，x2x+10”的否定是3抛物线y=4x2的准线方程为4“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5若l，m，n是三条互不相同的空间直线，是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（填所有正确答案的序号）若，l，n，则ln； 若，l，则l；若ln，mn，则lm； 若l，l，则6已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为7圆锥的体积为，底面积为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为8过点m（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是9设椭圆的右焦点为f1，右准线为l1，若过f1且垂直于x轴的弦长等于点f1到l1的距离，则椭圆的离心率是10在平面直角坐标系xoy中，p为双曲线x2y2=1右支上的一个动点，若点p到直线xy+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为11如图，在三棱柱a1b1c1abc中，d，e，f分别是ab，ac，aa1的中点，设三棱锥fade的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，则v1：v2=12在平面直角坐标系xoy中，点a（0，3），直线l：y=2x4，设圆c的半径为1，圆心在l上若圆c上存在点m，使|ma|=2|mo|，则圆心c的横坐标a的取值范围为13已知a为椭圆=1上的动点，mn为圆（x1）2+y2=1的一条直径，则aman的最大值为14在平面直角坐标系xoy中，圆o：x2+y2=1，p为直线l：x=t（1t2）上一点设直线l与x轴交于点m，线段om的中点为qr为圆o上一点，且rm=1，直线rm与圆o交于另一点n，则线段nq长的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共90分）15已知集合a=（x，y）|x2+（y+1）21，b=（x，y）|x+y=4m，命题p：ab=，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围16如图，四边形a a1 c1c为矩形，四边形cc1b1 b为菱形，且平面cc1b1 ba a1 c1c，d，e分别是a1 b1和c1c的中点求证：（1）bc1平面ab1c；（2）de平面ab1c17在平面直角坐标系xoy中，已知圆c经过a（2，2），b（1，1）两点，且圆心在直线x2y2=0上（1）求圆c的标准方程；（2）过圆c内一点p（1，1）作两条相互垂直的弦ef，gh，当ef=gh时，求四边形egfh的面积（3）设直线l与圆c相交于p，q两点，pq=4，且poq的面积为，求直线l的方程18如图1所示，在边长为12的正方形aaa1a1中，点b，c在线段aa上，且ab=3，bc=4，作bb1aa1，分别交a1a1、aa1于点b1、p，作cc1aa1，分别交a1a1、aa1于点c1、q，将该正方形沿bb1、cc1折叠，使得与aa1重合，构成如图2所示的三棱柱abca1b1c1（1）在三棱柱abca1b1c1中，求证：ab平面bcc1b1；（2）求平面apq将三棱柱abca1b1c1分成上、下两部分几何体的体积之比；（3）试判断直线aq是否与平面a1c1p平行，并说明理由19在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c： +=1（ab0），的离心率为，且经过点（1，），过椭圆的左顶点a作直线lx轴，点m为直线l上的动点（点m与点a在不重合），点b为椭圆右顶点，直线bm交椭圆c于点p（1）求椭圆c的方程；（2）求证：apom；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由20在平面直角坐标系xoy中，设曲线c1： =1（ab0）所围成的封闭图形的面积为4，曲线c1上的点到原点o的最短距离为以曲线c1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为c2（1）求椭圆c2的标准方程；（2）设ab是过椭圆c2中心o的任意弦，l是线段ab的垂直平分线m是l上的点（与o不重合）若mo=2oa，当点a在椭圆c2上运动时，求点m的轨迹方程；若m是l与椭圆c2的交点，求amb的面积的最小值2015-2016学年江苏省无锡市江阴市南菁高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1正方体abcda1b1c1d1中，与对角线ac1异面的棱有6条【考点】异面直线的判定【专题】计算题【分析】根据面直线的定义，在每个面上找出和对角线ac1异面 的棱，可得结果【解答】解：在正方体的每个面上都有一条棱和对角线ac1异面，它们分别为：a1b、b1c、d1c、a1d、b1d1、bd共有6条，故答案为6【点评】本题考查异面直线的判定方法，在每个面上找出和对角线ac1异面 的棱，是解题的难点2命题“x0，x2x+10”的否定是x0，x2x+10【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x0，x2x+10”的否定是：“x0，x2x+10”故答案为：x0，x2x+10【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，是基础题3抛物线y=4x2的准线方程为【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，p=抛物线方程开口向上，准线方程是y=故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质属基础题4“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】椭圆的标准方程；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】当a=1时，a+4=2a=3，方程+=1是圆；由方程+=1表示椭圆，得，由此能求出“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件【解答】解：4a2，当a=1时，a+4=2a=3，方程+=1是圆，“4a2”推不出“方程+=1表示椭圆”，方程+=1表示椭圆，解得4a1或1a2，“方程+=1表示椭圆”“4a2”，“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点评】本题考查椭圆的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”的合理运用5若l，m，n是三条互不相同的空间直线，是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（填所有正确答案的序号）若，l，n，则ln； 若，l，则l；若ln，mn，则lm； 若l，l，则【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】根据面面平行的性质进行判断 根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理进行判断根据直线垂直的性质进行判断 根据线面垂直和平行的性质进行判断【解答】解：若，l，则l，当n，则l不一定平行n，可能是异面直线，错误； 根据面面垂直的性质定理可知，若，l，只有l垂直于两个平面的交线，才有l，错误垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，可能是异面直线，错误根据线面垂直的性质可知，若l，l，则成立，正确故答案为：【点评】本题主要考查空间直线和平面，平面和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的定义和判断条件，比较基础6已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为f（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线方程为y2=8x，2p=8， =2，可得抛物线的焦点为f（2，0）抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，双曲线的右焦点为（2，0），可得c=2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=x，即故答案为：【点评】本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题7圆锥的体积为，底面积为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；对应思想；空间位置关系与距离；立体几何【分析】根据已知，求出圆锥的底面半径和母线长，进而可得该圆锥侧面展开图的圆心角大小【解答】解：圆锥的底面积为，故圆锥的底面半径r=1，又圆锥的体积为，故圆锥的高h=2，故圆锥的母线长l=3，设该圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则=，故=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积公式，圆锥的展开图，难度不大，属于基础题8过点m（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是2x+y12=0或2x5y=0【考点】直线的斜截式方程【专题】计算题【分析】当直线过原点时，可设方程为y=kx，当直线不过原点时，可设方程为，分别代入点m（5，2），可得k和a的值，进而可得方程【解答】解：当直线过原点时，可设方程为y=kx，代入点m（5，2），可得k=，故方程为y=x，即2x5y=0；当直线不过原点时，可设方程为，代入点m（5，2），可得a=6，故方程为，即2x+y12=0；故所求方程为：2x+y12=0或2x5y=0，故答案为：2x+y12=0或2x5y=0【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题9设椭圆的右焦点为f1，右准线为l1，若过f1且垂直于x轴的弦长等于点f1到l1的距离，则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先求出过f1且垂直于x轴的弦长和点f1到l1的距离，由条件：f1且垂直于x轴的弦长等于点f1到l1的距离，建立方程，再利用a、b、c的关系求出的值【解答】解：过f1且垂直于x轴的弦长等于，点f1到l1的距离为c，由条件知，=c，即=， =，故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，通过解方程求出离心率值10在平面直角坐标系xoy中，p为双曲线x2y2=1右支上的一个动点，若点p到直线xy+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线x2y2=1的渐近线方程为xy=0，c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离【解答】解：由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为xy=0，因为点p到直线xy+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线xy+1=0与直线xy=0的距离，即故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础11如图，在三棱柱a1b1c1abc中，d，e，f分别是ab，ac，aa1的中点，设三棱锥fade的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，则v1：v2=1：24【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】立体几何【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值【解答】解：因为d，e，分别是ab，ac的中点，所以sade：sabc=1：4，又f是aa1的中点，所以a1到底面的距离h为f到底面距离h的2倍即三棱柱a1b1c1abc的高是三棱锥fade高的2倍所以v1：v2=1：24故答案为1：24【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题12在平面直角坐标系xoy中，点a（0，3），直线l：y=2x4，设圆c的半径为1，圆心在l上若圆c上存在点m，使|ma|=2|mo|，则圆心c的横坐标a的取值范围为0，【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】设m（x，y），由ma=2mo，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点m的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，由m在圆c上，得到圆c与圆d相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围【解答】解：设点m（x，y），由ma=2mo，知： =2，化简得：x2+（y+1）2=4，点m的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，又点m在圆c上，圆c与圆d的关系为相交或相切，1|cd|3，其中|cd|=，13，化简可得 0a，故答案为：0，【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于基础题13已知a为椭圆=1上的动点，mn为圆（x1）2+y2=1的一条直径，则aman的最大值为15【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，得到椭圆上离圆心最远的点a，在设出圆的直径两端点的坐标，由平面向量数量积运算求得答案【解答】解：如图，圆（x1）2+y2=1在椭圆内，椭圆上的所有点只有左顶点到圆心（1，0）距离最远，由题意可设圆的直径的两个端点为m（1+cos，sin），n（1cos，sin），又a（3，0），=（4+cos，sin），=（4cos，sin），则=16cos2sin2=15aman的最大值为15故答案为：15【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14在平面直角坐标系xoy中，圆o：x2+y2=1，p为直线l：x=t（1t2）上一点设直线l与x轴交于点m，线段om的中点为qr为圆o上一点，且rm=1，直线rm与圆o交于另一点n，则线段nq长的最小值为【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】设r（x0，y0），则，解得x0=， =1，于是可得直线rm的方程为：y=（xt）与圆o：x2+y2=1得n点横坐标为，继而可得nq的表达式，可求得线段nq长的最小值【解答】解：设r（x0，y0），则，解得x0=， =1直线rm的方程为：y=（xt）与圆o：x2+y2=1得n点横坐标为，所以nq=，所以当t2=，即t=时，nq最小为故答案为：【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用、直线的点斜式方程，突出考查方程思想与综合运算能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共90分）15已知集合a=（x，y）|x2+（y+1）21，b=（x，y）|x+y=4m，命题p：ab=，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑【分析】（1）根据命题p是真命题，结合直线和圆的位置关系，求出m的范围即可；（2）分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，求出m的范围即可【解答】解：（1）由命题p为真命题，则d=1解得：m或m （2）若命题q为真命题，则，解得：0m “pq”为真，“pq”为假p，q一真一假若p真q假，则m或m；若p假q真，则0m综上：m的取值范围为m或m，或0m【点评】本题考查了符合命题的判断，考查直线和圆的位置关系以及椭圆的性质，是一道基中档题16如图，四边形a a1 c1c为矩形，四边形cc1b1 b为菱形，且平面cc1b1 ba a1 c1c，d，e分别是a1 b1和c1c的中点求证：（1）bc1平面ab1c；（2）de平面ab1c【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得到ac平面cc1b1 b，再由线面垂直的性质得到acbc1，进一步利用菱形的性质得到b1cbc1，利用线面垂直的判定定理可证；（2）取aa1的中点，连接df，ef，分别判断ef，df与平面平面ab1c平行，得到面面平行，利用面面平行的性质可证【解答】解：（1）四边形a a1 c1c为矩形，accc1，又平面cc1b1 ba a1 c1c，cc1b1 ba a1 c1c=cc1，ac平面cc1b1 b，bc1平面cc1b1 b，acbc1，四边形cc1b1 b为菱形，b1cbc1，又b1cac=c，ac平面a1c，b1c平面ab1c，bc1平面ab1c；（2）取aa1的中点，连接df，ef，四边形a a1 c1c为矩形，e，f分别是c1c，aa1的中点，efac，又ef平面平面ab1c，ac平面ab1c，ef平面ab1c，又d，f分别是a1 b1和aa1的中点，dfa b1，又df平面ab1c，ab1平面ab1c，df平面ab1c，efdf=f，ef平面def，df平面def，平面def平面ab1c，de平面def，de平面ab1c【点评】本题考查直线与平面的垂直的判定、直线与平面平行的判定，体现了转化的思想，考查逻辑思维能力 空间想象能力，是中档题17在平面直角坐标系xoy中，已知圆c经过a（2，2），b（1，1）两点，且圆心在直线x2y2=0上（1）求圆c的标准方程；（2）过圆c内一点p（1，1）作两条相互垂直的弦ef，gh，当ef=gh时，求四边形egfh的面积（3）设直线l与圆c相交于p，q两点，pq=4，且poq的面积为，求直线l的方程【考点】直线和圆的方程的应用【专题】计算题；转化思想；直线与圆【分析】（1）求出线段ab的垂直平分线的方程，与直线x2y2=0联立，求得圆心坐标，再求出圆的半径，即可求圆c的标准方程；（2）c到直线ef，gh的距离相等，设为d，求出d后，进而求出ef=gh，进而得到答案（3）求出pq=4，分类讨论，利用坐标原点o到直线l的距离为，即可求直线l的方程【解答】解：（1）因为a（2，2），b（1，1），所以kab=3，ab的中点为（，），故线段ab的垂直平分线的方程为y+=（x），即x3y3=0，由，解得圆心坐标为（0，1）所以半径r满足r2=12+（11）2=5故圆c的标准方程为x2+（y+1）2=5（2）ef=gh，c到直线ef，gh的距离相等，设为d 则=1，即d=ef=gh=2=3四边形egfh的面积s=9（3）设坐标原点o到直线l的距离为h，因为poq的面积s=，h=当直线l与x轴垂直时，由坐标原点o到直线l的距离为知，直线l的方程为x=或x=，经验证，此时pq4，不适合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+b，由坐标原点到直线l的距离为h=，得k2+1=25b2 （*），又圆心到直线l的距离为c=，所以pq=2=4，即k2+1=（1+b）2 （*），由（*），（*）解得综上所述，直线l的方程为3x+4y1=0或3x4y+1=0【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18如图1所示，在边长为12的正方形aaa1a1中，点b，c在线段aa上，且ab=3，bc=4，作bb1aa1，分别交a1a1、aa1于点b1、p，作cc1aa1，分别交a1a1、aa1于点c1、q，将该正方形沿bb1、cc1折叠，使得与aa1重合，构成如图2所示的三棱柱abca1b1c1（1）在三棱柱abca1b1c1中，求证：ab平面bcc1b1；（2）求平面apq将三棱柱abca1b1c1分成上、下两部分几何体的体积之比；（3）试判断直线aq是否与平面a1c1p平行，并说明理由【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；转化思想；向量法；综合法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）在三棱柱abca1b1c1中，要证：ab平面bcc1b1；只需证明ab垂直平面内的两条相交直线，bc和bb1即可（2）求平面apq将三棱柱abca1b1c1分成上、下两部分几何体的体积之比，先求下部四棱锥的体积，再求棱柱的体积，然后求出两部分体积比（3）以b为原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法能求出直线aq与平面a1c1p不平行【解答】证明：（1）ab=3，bc=4，ac=1234=5，从而有ac2=ab2+bc2，abbc，又abbb1，bcbb1=b，ab平面bcc1b1解：（2）bp=ab=3，cq=ac=7，sbcqp=20，vabcqp=20又=sabcaa1=，平面apq将三棱柱abca1b1c1分成上、下两部分几何体的体积之比为： =（3）直线aq与平面a1c1p不平行理由如下：以b为原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系，a（3，0，0），q（0，4，7），a1（3，0，12），c1（0，5，12），p（0，0，3），=（3，4，7），=（3，0，9），=（0，5，9），设平面a1c1p的法向量，则，取x=3，得=（3，1），=9+7=0，直线aq与平面a1c1p不平行【点评】本题考查直线与平面垂直，棱锥、棱柱的体积求法，考查线面是否平行的判断，考查空间想象能力，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用19在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c： +=1（ab0），的离心率为，且经过点（1，），过椭圆的左顶点a作直线lx轴，点m为直线l上的动点（点m与点a在不重合），点b为椭圆右顶点，直线bm交椭圆c于点p（1）求椭圆c的方程；（2）求证：apom；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）椭圆的离心率为，且经过点（1，），可得，解得a，c，b，即可得出椭圆c的方程；（2）设直线bm的斜率为k，直线bm的方程为：y=k（x2），设p（x1，y2），与椭圆方程联立可得（2k2+1）x24k2x+8k24=0，解得x1，x2可得p坐标，由y=k（x2），令x=2，解得m（2，4k），只要证明=0，即可得出（3）利用数量积运算即可得出是否为定值【解答】（1）解：椭圆的离心率为，且经过点（1，），解得a=2，c=b，椭圆c的方程为；（2）证明：设直线bm的斜率为k，直线bm的方程为：y=k（x2），设p（x1，y2），联立，化为（2k2+1）x28k2x+8k24=0，解得x1=，x2=2y1=k（x12）=，p，由y=k（x2），令x=2，解得y=4k，m（2，4k），=（2，4k），又=0，即apom（3）=4=4为定值【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20在平面直角坐标系xoy中，设曲线c1： =1（ab0）所围成的封闭图形的面积为4，曲线c1上的点到原点o的最短距离为以曲线c1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为c2（1）求椭圆c2的标准方