第二章极限习题及答案：极限的四则运算.doc

分类讨论求极限例 已知数列、都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，设，为数列的前项和，求. （1997年全国高考试题，理科难度0.33）解： . 分两种情况讨论；（1）当时， ，故，（2）当时， ， . 说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：（1）（2）分析：第（1）题中，当 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则第（2）题中，当时，分式与都趋向于，这种形式叫“”型，变形的一般方法是先通分，变成“”型或“”型，再求极限解：（1）（2）说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法无穷减无穷型极限求解例 求极限：（1）（2）分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限解：（1）原式（2）原式说明：当时，因此利用运算法则求极限 例 计算下列极限： （1）； （2）. （1992年全国高考试题，文科难度0.63） 解： （1）原式. （2）原式. 说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式 （2）原式用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设，求分析：把用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得解：或：逆用等比数列求和公式：原式说明：要注意p是与n无关的正整数，不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等零乘无穷型转化为无穷除无穷型例 求分析：当时，所求极限相当于型，需要设法化为我们熟悉的型解： 说明：对于这种含有根号的型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现如本题是通过分子有理化，从而化为，即为型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即，完成极限的计算根据极限确定字母的范围例 已知，求实数m的取值范围分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决解：于是，即说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由可知，的极限必为0，而的充要条件是，于是解不等式零比零型的极限例 求分析：这是一个型的极限，显然当时，直接从函数分子、分母中约去x有困难，但是当时也趋近于0，此时x化为，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设，则解：设，则，于是，当时，原式说明：本题采用的换元法是把化为，这是一种变量代换灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题例如对于，我们一般采用因式分解，然后约去，得到其实也可以采用这种代换，即设，则当时，这样就有组合与极限的综合题例 A0 B2 C D分析：将组合项展开后化简再求极限解： 故应选D说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念高考填空题1计算2若数列的通项公式是，则3计算：1解析 说明：利用数列极限公式，把原题的代数式稍加变形即可获解本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力2解析 说明：本题的思考障碍点是如何求？只要懂得在通项公式中令，可立得的具体值，本题考查数列极限的基本知识3解析 说明：本题考查数列极限公式的应用根据已知极限和四则运算求其它极限例 若，且存在，则A0 B C D不存在分析：根据题设知和均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论解：又即选C说明：是关键，不能错误地认为，两个数列、的极限存在是两个数列的和差、积存在极限的充分条件但的极限不一定存在化简表达式再求数列的极限例 求下列极限（1）（2）（3）分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算解：（1）原式（2）原式（3）原式说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为而得到（1）的结果是0无穷比无穷和字母讨论的数列极限例 求下列极限：（1） （2）分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子第（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论解：（1）原式（2）当时，当时，说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为根据极限确定等比数列首项的取值范围例 已知等比数列的首项为，公比为q，且有，求的取值范围分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知存在，因此可得q的取值范围，从而确定出的取值范围解：由，得存在且 或 当时，有 ， ，解得 ，又，因此 当时，这时有， 综上可得：，且或说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q的特点，容易将这一条件忽视，从而导致错误求函数在某一点处的极限例 求下列极限：（1）（2）（3）（4）分析：第（1）题中，在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算解：（1）（2）（3）（4）说明：不能错误地认为，由于不存在，也不存在，因此（4）式的极限不存在（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”型，再求极限函数在某一点处零比零型的极限例 求下列极限：（1） （2）分析：第（1）题中，当时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有： 对多项式进行