（应用数学专业论文）一类带扰动项的非线性椭圆系统正解的存在性和多重性.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 一类带扰动项的非线性椭圆系统正解的存在性和多重性奉 学科专业 应用数学 指导教师 唐春雷教授 研究方向t 非线性分析 研究生 储昌木 s 2 0 0 5 0 9 6 9 摘要 本文主要研究如下一类带扰动项的非线性椭圆系统 一 u 弓g z u t 卵 z z q 一 t 弓菩 z u e h z z q 1 u o v o z q u t 0 z a q 其中q 是r 中的有界光滑区域 f c 1 俾 2 r 这里矿 0 o o 9 h c 1 o o 为参数 我们发现问题 1 正解的存在性与线性椭圆方程 全 功 主募 c 2 和 掣 二主未 是否有非负解有紧密的联系 因此 我们将在问题 2 和问题 3 有非负解的前提下 讨论问题 1 的正解的存在性和多重性 首先 应用上下解方法和极大值原理 对f 关于名 t u 满足超线性条件 且 筹 z 名 筹 z z c r 2 r 分别关于u t 在矿 o 上严格单调递增 l v f z z i d h 当例一o 在q 上一致成立时 证明了问题 1 的正解的存在性 用同样的方法 对f 满足次线性条件且f z 石 f z 是p p 1 2 次齐次函数 即 对任意的t o f t 石 俨f z 时 证明了问题 1 正解的存在性 并指出了在超临 国家自然科学基金资助项目 批准号 1 0 7 7 1 1 7 3 教育部高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划项 目 西南大学硕士学位论文中文摘要 界和次线性情形 当f 为齐次函数时 问题 2 和问题 3 有非负解是问题 1 正解存 在的充要条件 其次 就f 关于z u t 满足超线性条件情形 在问题 1 正解存在的基础上 对 f 在次临界和临界增长时分别讨论了问题 1 正解的多重性 应用变分方法 对f 满足 随后条件 篑 z 彳 筹 z 名 c 豆 r 2 r 分别关于u 在r o 上严格单调 递增 iv f z 彳 i d 当例一o 在q 上一致成立 存在常数r 2 r 2 使得z v f z 石 妒 z 孑 成立 其中 z z n r 2 f 心 o f o 口 舞 o t 筹 t o o 对任意 仳 t 兄 成立 证明了问题 1 正解的多重性 对f 满足临界条件 f z z f 石 是2 次齐次函数且f t l o f o t 铬 o t 筹 t o o 对任意u 可 冗 成立 时 也证明了问题 1 正解的多重性 最后 将问题 1 推广到拟线性椭圆系统 并证明了在一定条件下拟线性椭圆系 统非负解的存在性 关键词 非线性椭圆系统 扰动 上下解方法 极大值原理 山路引理 正解的 存在性和多重性 西南大学硕士学位论文 英文摘要 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o rac l a s so fe l l i p t i cs y s t e m sw i t hp e r t u r b a t i o n s l m a j o rla p p l i e dm a t h e m a t i 馏 s p e c i a l i t yln o n l i n e 盯a n a l y s i s s u p e r v i s o rlp r o f 仇n gc h u n l e i a u t h o rl c h uc h a n g m u s 2 0 0 5 0 9 6 9 a b s t r a c t ht h i sp a p e r w es t u d yt h ef o n o 池ge m p t i cs r s t e 瑚 一 u 篑 z t i t 7 钮 z z n 一 可 铬 z u t e z z q u 0 可 0 牡 可 0 z q z a q 锺 1 w h e 弛qi sab 咖d e d 锄o o t hi nr f c 1 孬 r 2 r h 盯e r o o o g i i d 1 o e oi 8ap 缸锄e t e r w b 缸dt h a tt h ee x i s t 朗c eo fp i t 如e l u t i 0 璐f d rp r o b l e m 1 i 8c l e l y 弛l a t e dt ot h e n o n n e g a t i v es 0 1 u t i o 璐0 ft h ef 湘i n g 咖e m p t i cp r o b l e 瑚 剐缸 联曼 2 i u o z a q a n d l 卸 矾 曼 3 l o z a q t h e r e 五d 阳 骶c 0 砸i d e rt h ee x i s t 锄c e 蛆dd t i p u c i t i 鹤o fp i t i v es o l u t i i d 珊f o rp r o b l e m 1 u n d e rt h i 80 0 n d i t i 0 璐w 1 1 i c hp r o b l e m 2 锄dp r o b l e m 3 h 姗n 锄e g a t 溉s o l u t i 0 璐 f i r s t l y 惦i i l g 肌b 8 u p e r l u t i o nm e t h o d 蛆dt h em 懿i n u mp r i l l c i p l e t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i e l u t i o 珊f o rp r o b l e m 1 i 8p 删b y a 懿皿et h a tf s a t i s f 池8 u p e r l i n e a rc o n d i t i 0 珊 筹 z 名 筹 z 名 c 死 r 2 r a 弛s t r i c t l yi n c r e 铀i n gf 蛆c t i o na b o u tu 衄dt i n r o ivf z l d 1 名1 幽 k i 啼o 岫洳r m l yi nz q s 也1 i a d y a 黯咄t h 8 tf 1 s u p p o r t e db yn b t i o n a ln a t a ls d 锄 f o 皿d b t i o fc h i n a n o 1 0 7 7 1 1 7 3 衄dbt h en a c l 血g a n d 胁e 盯出a 啊 诅p r o f 岫五叶o u t s t a n d 岫gy o 衄g 呦哪i n g h 盱e d u t i o i i l 砒i t u t i o 珊o f m o e p r c i i i 西南大学硕士学位论文 英文摘要 8 毗近鹪l o w n n e 缸 n 拙岫 衄df 毛石 f 孑 i 8h o m o g e n 瑚0 f d e 盼p 1 2 t h a ti 8 f 切 俨f z f o ra 1 1t o 骶p r 0 et h a tp r o b l e m 1 h a v ep i t i v e 烈u t i 0 璐 m o r e r 五d rt h eg u p e r c r i t i c a l 衄dl o e r l i n e 缸啪d i t i 0 璐 p r o b l e m 2 锄dp r o b l e m 3 h 啪 n 彻删g a t 蛔e l l l t i o 聃啪an e c 留s a r yc o n c l i t i t h a tg u 缸蛆t e 鲳t h e 麟i s t e n c e0 fp o s i t i e 8 0 l u t i o 衄五d rp r o b l e m 1 s e c o n d l y f b rt h ec a 阳o fs u p e r u n e a rc o n d i t i 0 璐 t h em u l t i p u c i t i 0 fp i t t 饨 l u t i o 瑚 f o rp r o b l e m 1 i n8 u b c r i t i c a l 蛆dc r i t i c a lc d i t i 0 珊啪d i 8 c 岫s e d b ym e a 珊0 ft h ev a d 和 t i o n a l 印p r 吐 锄衄et h a tf8 a t i s 丘笛铬 孑 筹 石 c 孬 r 2 肘 锄8 t r i c t l y i n c r e 豁i i l gf 凹c t i o na b o u tt 姐dt i nj 矿 o lvf z 名 i d 够 m o u n 洳m d y i nz q t h e 弛e x 遮t sa 蛐b 钉 s a t k i 6 r i n g2 2 跚c ht h a t 名 v f z 石 q f z 名 f o ra u z z 孬 肘 2 f o f o t 篑 o t 篑 t o o w h e 弛u 口 兄 w ep r o 垤 t h 8 tt h e u l t i p u c i t l 皓0 fp i t t 饨s o l u t i 0 珊f b rp r o b l e m 1 a 龉皿et h a tfs a t i s 丑昭c r i t 自c a l o o n c l i t i o 璐 f 石 f z i sh o m o 驴n e o l 培o fd e f 2 缸df u o f o 口 篑 o 掣 铬 u o o w h e r eu 可 矿 t h em u l t i p u c i t 自晦0 fp i t i r e8 0 l u t i o 璐f o rp r o b l 锄 1 a 阳 p r 0 叭db ym e 锄o ft h e 删a t i o n a la p p r 0 础 f i n a l l l y w eg e n e r a l i z ep r o b l e m 1 t 0q u 够i l i n e 缸e m p t i cs y 8 t e m 8a n dp r o r et h ee 姬s t e n o fn o 曲e g a t i v es o u t i o n 8u n d e r8 u i t a m ec o n c l i t i 0 璐 k e yw o r d sn o n 1 i n e 缸e i p t i cs y 8 t e m 8 p e r t u r b a t i o 璐 8 u b 叭p e 璐0 1 u t i o nm e t h o d t h em 黜i m 吼p r i n c i p l e m o u n t a i np a 鼹t h e 咖 t h e 积i s t e n c e 蛆dm l l l t i p h c i t 妇0 fp i t i 伦 8 0 1 0 t i 咖 学位论文题目 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果 文中已加 了特别标注 对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师 朋友 同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢 学位论文作者 彳涝昌木 签字日期 加占年矿月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留 使用学位论文的规 定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允 许论文被查阅和借阅 本人授权西南大学研究生院 筹 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩 印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 本论文 口不保密 口保密期限至年月止 一 学位论文作者签名 倘呙夺 导师签名 厉右裔 签字日期 妒子年中月卯日签字日期 伽g 年争月z 多日 西南大学硕士学位论文 前言 套由 l 一 日i j昌 非线性微分方程有着极其丰富的源泉 研究它的常用方法有拓扑方法和变分方法 等 在非线性微分方程本身具有某种正则性的情形 上下解方法 或称单调方法 对研 究其解的存在性是 个很有效的方法 参考文献 1 和 2 变分方法作为一种将自然 界中的大量问题 称为变分问题 归结为某个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问 题的方法 可以将研究微分方程边值问题的弱解转化为研究相应泛函的临界点 该方 法是寻求微分方程多重解的常用工具之一 近几十年来 随着临界点理论 又称大范围变分法 的逐渐完善和发展 寻找泛 函的临界点的理论和方法也日趋成熟 参考文献 3 和 4 1 9 7 3 年 a i n b r e t t i 和 r a b i i l o i t z 在文献 5 1 中得出的山路引理被人们广泛应用于寻求非线性椭圆问题非平 凡解的存在性和多重性 这里大都要求问题本身具有紧性 但是 目前理论上和应用 上出现的大量问题是缺乏紧性的 诸如在有界区域上涉及s o b o l e rl 临界指数的半线性 椭圆问题和无界区域上的半线性椭圆问题等 1 9 7 4 年 e l e l 觚d 在文献 6 得出的 e 姒趾d 变分原理 也称e k e l 姐d 近似极小值点定理 在不需要空间紧性及泛函凸性 的情况下 保证泛函有近似极小值点 随后 在1 9 8 3 年 b r 铭i s 和n i r e n b e r g 在文献 7 中通过选择特殊的山路和能量估计 用局部紧性条件证明了涉及s o b o l e 临界指数 的半线性椭圆方程正解的存在性 当非线性椭圆方程推广到非线性椭圆系统时 克服紧性条件的缺乏等有更多的困 难 通常需要对非线性项作微小的扰动 才能寻求相应泛函的临界点 本文就是利用 上下解方法和文献 7 中的变分技巧来研究一类带扰动项的非线性椭圆系统正解的存 在性和多重性 西南大学硕士学位论文 文献综述 二 文献综述 考虑如下一类半线性椭圆方程 僻 删 三茎未 这里 z u 满足某些特殊条件 q 是r 中的有界光滑区域 长期以来 非齐次半线性椭圆方程一直受到人们的广泛关注 人们分别通过对区域 q 函数 z 牡 和夕 z 作各种假设来获取问题 4 无穷多解的存在性或正解的存在性 和多重性 例如文献 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 i 1 5 i 1 6 i 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 1 2 3 在区域q 有界的情况下 b a h r i 和b e 麟锣出在文献 2 1 中最先证明了问题 4 有无 穷多个解 随后 这一结果被r a b i n o w i t z 见文献 2 2 b a h r i 和l i i 瑚 见文献 2 3 完 善 当函数 z t 对 z t 满足连续性条件 对t 满足某种增长条件时 在s o b o l e 空间 础 q 中研究问题 4 非平凡解的存在性等价于寻求变分泛函 札 三上l v u l 2 出一上f z u 出一5 上弘出 u 日3 q 的非零临界点 这里f z u j z t 出 在 z t 对t 满足次临界增长条件下 由于嵌入础 q q 矿 q 2 f 2 青兰 是紧的 由山路引理容易得到j t 的非零临界点 当 z t 对t 满足临界或超 临界增长时 由于嵌入础 q q q p 2 已不再是紧的 寻找j u 的非零临 界点就变得困难起来 寻求克服缺乏紧性条件的理论和方法来获取 t 的非零l 临界点 成为了人们研究的主要对象 经典的方法和技巧源于文献 7 在文献 7 中b r e z i 8 和 n n n b e r g 证明了当g o 时 如下极小值问题 q 础 舞 p 1 厶 1 v 1 1 2 一弘 如q 月3 n i i u 2 1 n 存在极小值 也可以参见文献 1 5 的相关结果 后来 他们在文献 3 0 中又证明了 9 o 是该极小值存在的充要条件 在此结果的基础上 1 k a n t e u 0 在文献 8 对问题 4 中 z 牡 l t j p 1 u 1 p 2 一1 的情形 通过如下假设 删和上触 0 f 似 t p f z 此外 我们还将问题 1 推 广到拟线性系统中去 并讨论其非负解的存在性 3 南器北q u 0 可 一 一 u u ii i 亘壹盔兰堡主兰垡篁奎 塑 塞堡望 三 预备知识 为了更好地陈述本文结果 以下对与本文内容相关的概念及定理等作一定的说明 令e 础 q 础 q 名 u t 例 何w 2 搿 i 冗 2 0 o o 2 鹩 设七是非负整数 记c 七 固为通常的七次连续可微的函数空间 其范数为 一 伊匝 s u 旦i 铲t l 圳 i a 七o 又设o 卢 1 萨 为通常的七 卢次龇连续函数空间 其范数定义为 忆印旷 岵 喾 嚣v 面警端掣 慨喾尹v 2 v i l 口 用矿 q r 1 表示经典的b 缸a c h 空间 定义空间 q q 的范数为 i i r 肌r 印拿 j 在扩 q 中 当r 时 b 眦a d b 空间f q 记为俨 q 并定义其范数为 删一l i 岛 箸岛c n 霉醌 i 此外 用础 q 表示通常的s o b o l e r 空间 定义空间e 础 q 础 q 的范数为 怕 五 附 附 如 考 用f 表示e 的对偶空间 和 三兰三莩 二 二 二篡 三三三 一 型 餐 z 坠 型 e 9 z z q 一 型 名吾 z 笪 型 7 l z z q 堑 箜 0 z a q 4 i j l ii 西南大学硕士学位论文预备知识 则称乏 主为问题 1 的上解和下解 上下解方法 见文献 2 设 互分别为问题 1 的上 下解 在q 上 乏 主 即 可 墼 可 型 皿 m i n m 婆笪 m 婆型 o 对 nz n霉 n譬 矗 v z r s 1 r t 西 匦 哑 翮 有 f z r s 一f 暑 r t i k i z 一暑 l a i t 一r l i s t i 则问题 1 存在一个解石 俨托 俨如 且满足互s 名 乏 强极大值原理 见文献 3 2 假设u 俨 q 且在q 满足 一 u o o 那么 除非u 在q 中恒为常量 否则u 在q 内部不能达到非负最大值 非正最小值 山路引理 参考文献 5 设e 为实b 趾a c h 空间 其对偶空间为驴 j c 1 e r 且存在口 o 及忽 e 满足恢0 p 使得下式成立 设 m 越 心1 a p 黔j 名 c 2 瓣踊晰 7 r t i o 1 其中r n c o 1 1 e l y o o y 1 o 危 z o o 1 筹 z u t 筹 z u 口 c 西 r 2 r 且它们分别关于u 和口在矿 o 上严格单调递增 2 ivf z 名 i o 吲 当 o 在q 上一致成立 若问题 2 和问题 3 有非负解 则存在矿 o 当e o 矿 时 问题 1 有 个 极小正解磊 毗 满足 1 当e o 时 i l m 蜮引 i i i 一o 且 说 在e o 矿 上关于e 严格单调递增 此外 若f z 彳 f z c 1 胪 2 矿 是p 2 次齐次函数 则问题 2 和问题 3 有非负解也是问题 1 存在正解的 个必要条件 事实上 我们有 定理2假设f c 1 矿 2 冗 为p p 2 次齐次函数 令qc 冗 3 是一星形区域 且m 2 r 砂i i 1 f z o 如果存在宇 o 当 o 旬时 问题 1 存在正解 则问题 2 和问题 3 存在非负解 定理3假设1 p 0 问题 1 至少有 个正解当且仅当问题 2 和 问题 3 有非负解 注记1 我们的定理l 定理2 和定理3 分别是文献 1 6 和文献 17 中椭圆方程的 相关结果到椭圆系统的推广 4 2 一类带扰动项的非线性椭圆系统正解的多重性 定理4 假设 0 1 和 2 成立 且 3 存在常数 2 2 使得名 v f z 石 g f z z 成立 帆 对任意t 口 肘 成立f u o f o t 篑 o 钉 筹 t o o 6 西南大学硕士学位论文 主要结果 若问题 2 和问题 3 有非负解 则存在印 o 矿 当 o e o 问题 1 至 少有两个正解 定理5假设 5 p 2 f z z f 彳 c 1 r 2 j 矿 是p 次齐次函 数 0 价 和 成立 且f 满足条件 6 存在口 1 p 1 满足 q 倦 及存在函数l s t c r 2 r 满足 l s t o 当且仅当8 t o 使碍 f u 8 t t 一f u t 一f s t l s t t q 若问题 2 和问题 3 有非负解 则存在手 op e 当 o 习 问题 1 至少有两 个正解 注记2我们定理4 和定理5 是文献 1 7 中定理1 2 到椭圆系统的推广 注记3文献f 2 6 中定理1 1 和定理1 2 的相关结果是我们定理4 和定理5 在 f 札 t 南i u i 口i 口l p 口 l p 1 的特殊情形 存在函数f 分别满足我们定理4 和定 理5 的条件 但不满足 2 6 中定理1 1 和定理1 2 的条件 例如 f u t l u i a i 训风 i u i 口 i t i 卢2 其中啦 1 展 1 l 2 a l 口2 且2 口l 角 口2 庞 2 显然 f c 1 r 2 r 且当口1 尻 o 为参数 7 西南大学硕士学位论文 主要结果 此时 问题 6 的非负解的存在性与拟线性椭圆方程 瞄如 z q z q z a q 是否有非负解有着紧密的联系 事实上 我们有如下定理 定理6假设1 p o 问题 6 至少有 个非负解当且仅当问题 7 和问题 8 有非负解 定理7假设p p 一1 夕 l c 1 砭 o f c 1 r 2 胪 是p 次齐次函 数 且 成立 若问题 7 和问题 8 有非负解 则存在芒 0 当e o 虿 时 问题 6 至少有一个非负解 注记5定理6 和定理7 是文献 3 1 1 中定理1 1 和1 2 相关结果到拟线性椭圆系 统的推广 8 8 q q 孢 z z z z 矿q 仉 i 一 可 可 和 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 五 主要结果的证明 定理l 的证明设t 0 蜘分别是问题 2 和问题 3 的非负解 由 1 知 对所有 e o 铷 锄 满足 j 一 e t 0 卵 甏 吼幻 e 伽 叼o i 一 e t j o 如 z 筹p 锄 铷 砘 z 因此 讹o e 伽 是问题 1 的 个下解 为了证明问题 1 解的存在性 下面我们将 寻求问题 1 的一个上解 为此 用e 表示如下问题 忙 三茎未 的解 由强极大值原理 参见文献 3 2 j 知 当z q 时 e z o 令c 0 刃耙 o 由 2 知 存在6 o 当例 6 时 在q 上 i v z z j isc o 川 再令砚 一e 口 o 1 则当e 0 且 一 砚一筹 z 砚 砚 一眈 z 一筹 z 砚 砚 一砘 z 一 0 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 由此可知 砚 矾 是问题 1 在e o 矿 时的 个上解 由矾 o 及 1 我们有 z q z n 由强极大值原理 可得ose t 0 面 o 如 面 通过上下解方法 见文献 2 或 3 3 1 得知问题 1 至少有一个非负解佩 玩 满足 o e t 0 磁s 砚 o e 伽s 玩 砚 1 0 睽 三 啬掣 主蕊 高掣 三茎篡 篑 磁 玩 筹 磁 玩 箬 e t o 伽 筹 e t 0 e 如 o c e 忍 忍 蔷 c e 砚 砚 z 卵瓦 卯丽 饵 卜 薹一 姗 铷 爿 砚 砚 堋 l l 啦 啦 一 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 现在我们证明问题 1 有极小正解 对问题 1 的任何正解2 雹 钟 设u l e 伽 t 1 5 伽 由 可作如下单调迭代 f 一 篑 z l 一1 钮 z q l 一 筹 z 1 一1 如 z z q i 0 o 蚝化 u m n o z a q 这里m 2 3 由 1 及极大值原理 我们有 不妨设 0 u 1 t 1 2 钍m 鼠z q 0 口1 1 j 2 z q t l 一 一 z q 则气 是问题 1 的 个正解 当z n 时 由极大值原理有o s 矗 o 岔 再由2 砬 动是问题 1 的任意正解知 忍 是问题 1 的极小正 解 此外 由 1 0 易知当 o 时 i k 0 最后 假设 1 e 2 o 矿 且 1 2 则气2 2 2 是问题 1 在e e l 的 个 上解 因此问题 1 在 1 时有 个解乏 可 满足o 醢 2 o 移 2 z n 又因为缸l 他 1 是问题 1 在 e 1 的极小正解 所以 1 豇 2 可 2 由强极大值原理有 0 缸 o 硼k2t 缸 o z q z a q 分别用t 口1 t 忱乘以 1 2 的两个微分方程后在n 上积分 有 上 阳训2 i v 嵫1 2 出 2 二f 毗 伽知 如 上毗夕如 上抛眦 1 3 一方面 从引理1 和 1 3 我们有 上 叫 z v 出 上 妇 z v 伽钯 如 竽加甜叩耐肌三胁n i 等1 2 l 等弘 竿 2 上f 抛 如 竿二 毗夕 屹助出 毛船n 1 等1 2 i 等阻 1 4 另一方面 注意到在a q 上 k t 1 2 o 及f 的齐次性 我们得出在a q 上 f t l 1 毗 o 所以 二 瓮 毗蚓州z 巾肌曲出 上p 吨筹 姚 m 如 v 毗 如 扩 2 上 z v f 叫k t 忱 如 上夕 z v t i 1 如 上 z v 呶 出 一矿 2 上f 1 暑 娩 出一 上 l c g 伽拓h 如 一厶毗 z v 9 出一厶伽拓 z v 7 1 出 1 5 由 1 2 1 4 和 1 5 得到 竿一苦 一2 上f c 毗 啦 如 三厶c 1 等1 2 l 等1 2 打 盟笋厶 t t 夕 加拓7 1 出 厶钾 z v 夕 出 五t 忱 z v i 1 出 1 6 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 由p 2 知 学一管 o 因为q 是星形区域 从而在a q 上 z n o 所以 如佗 i 等1 2 f 等 2 出孤 从 1 6 我们推出 眇 2 上f 伽 c t 忱 如sq 五叫 c 夕如 石慨九出 厶伽t c z v 夕 出 上叫黏 z v 出 由 1 3 可得 上 i v t t i v 玩1 2 出 旷 2 上f 叫k t c 拓 出 上t t 夕如 上伽拈 池 仍 二伽 s 9 如 五t 忱眦 二 k v 9 出 上t t 缸 v 九 司 1 7 因为f 是p 次齐次函数 我们有m psf 名 m 蚓p 其中m2 i 石 簧磐川 1 f z m 伽 嘏弱 i l f z 由s o b 0 1 e v 嵌入定理知 厶 i v 叫 e 1 2 i v t t 拓1 2 出 仍 上叫嚣如s 侥 厶硼萎如 侥 1 8 结合 1 7 和 1 8 我们可得存在一个与e 无关的常数q o 使得 e p 2 厶f l c 毗 出 q 设磊 1 耽 由f 名 m m p 和仇 o 有 e 扩2 五i 磊i p 出 去q 1 9 从 1 8 知 当 o 时 在 t 1 7 k 加2 5 中存在 个子序列 仍记为 伽k 删2 在e 上 叫 伽勉 可 留2 f 2 0 1 其中舰5 d 嘏警 1 篑 z 由 1 9 和i 玉6 1 d e r 不等式 对任意妒 妒 c 矿 q 我们 得到 i 上篑 毗 毗 妒出i 尬五刚p 1 酬如 圳圳q 1 1 p 肛 忙 似 舰m 孚 i q 向妒 甲 1 3 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 因此 当s o 时 旷2 上篑 毗川妒出川 2 1 同样的方法可得到 当 o 时 五筹 毗蚓恤乩 2 2 分别用妒 砂乘以 1 2 的两个微分方程后在q 上积分 有 五v 叫k v 妒出 2 五篑 伽 垆出 五9 妒如 2 3 五v 毗 v 矽如 矿 2 五筹 伽 叫拓 妒出 上脚出 2 4 在 2 3 和 2 4 两边让 一o 结合 2 0 2 1 和 2 2 我们有 厶 v 咄 上9 妒出 五v 砚 v 妒如 五 l 妒出 这就是说面1 砚分别为问题 2 和问题 3 的弱解 因为在n 上硼k 缸 o 所以 在q 上面1 砚 o 也就是说面l 2 分别为问题 2 和问题 3 的非负解 定理2 证 毕 定理3 的证明首先 设t o 伽分别是问题 2 和问题 3 的非负解 由定理1 的 证明知 t 0 铷 是问题 1 的 个下解 下面我们将寻求问题 1 的 个上解 仍 用e 表示问题 9 的解 取充分大的常数凰 让其满足 凰 础 1 搿箦 e e 搿等 e e s 搿1 9 i 搿 事实上这样的凰是存在的 因为1 p o 一 面一筹 叩 础 垆凰一硝 1 箬 e e 砘 咖o 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 这就是说 丽 面 是问题 1 的 个上解 由可 o 和 并重复定理1 的相关证明过 程 我们得到问题 1 至少有 个正解 其次 我们证明对所有 o 当问题 1 至少有 个正解时 问题 2 和问题 3 有非负解 仍设慨 巩 是问题 1 关于参数e 的任一正解 仍令磁 钆 l 巩 e t l 7 知 则 伽l 缸 满足 一 叫1 e e p 一2 筹 叫k 叫拓 9 z z q 一 毗2e p 一2 筹 t t 1 z q 2 5 加1 e 0 t l 知 o 加k2 拈20 z q z a q 因为f 是p 次齐次非负函数 所以f m 例p 其中m 2 似 嘏耀i 1 f 名 对所有 e 1 用t 1 7 l c 埘知分别乘以问题 2 5 的两个微分方程后再在n 上积分 应用s d 舢z 不等式 h 6 l d e r 不等式和p o i n c 谢不等式 并注意到1 p o 仅依赖于q 9 和7 1 因此 存在与 无关的常数锯 0 使得 i i v t l k 0 侥 i l v 加拈0 锯 由m e r 8 迭代方法和s o b 0 1 e v 弩不等式 见文献 3 5 或f 3 6 知 0 t t 1 c i i c 口 a n s 侥 0 耽c i i c 2 口 n s 侥 1 5 亘直盔堂亟 学位论文主要结果的证明 其中口 o 1 再根据枷 a 忍e l a 定理 见文献f 3 7 当占 o o 时 在俨 q 中 可设 加k 矿 忱5 矿 此外 由极限的保号性知 矿 口 o 在 2 5 让 o 得出u z 和矿 z 分别 满足 尝 三主曼 和 0 t o u t 0 z q z 勰 称o z t 钉 e 是问题 2 6 的弱解 若 尼 v t v 妒 v t i w 出一届 餐 z 札 t 一铬 z 妒如 一 n 簪 z u t 一筹 霉 t k 1 妒如 o v 妒 妒 e 问题 2 6 所对应的能量泛函是 j u 口 三二 i v u l 2 i v t 1 2 出一五 f u 矿 他 一f 如 上卜 篑 m 筹 如 啪 2 7 其中矿 m 缸扣 o 矿 m 强 口 o 对j 在j 5 7 中任一临界点 u v 必有 t t 妒 t t 妒 o v 妒 妒 硪 q 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 直接计算 可得 刚 功 五v u v 妒出一五 箦 矿 魄矿 一篑 地 础 v 妒 础 吼 u 妒 二乳 v 妒如一五 筹 u 啦 矿 一筹他 妒如 v 妒 日3 跳 所以 j 在e 中任一临界点 札 t 满足 f 一 u 篑 缸 地 t 一篑 z q 一 t 篑 矿 口 一筹 魄 z q 2 8 lu t 0 z a s z 由强极大值原理知 在豆上 u o t o 这就是说j 在e 中任一临界点 u t 是 非负的 根据 2 6 2 8 和 t t 的非负性 我们得到j 在e 的临界点是问题 2 6 的弱 解 此外 由仇 和极大值原理 易知j 在e 的非负非零临界点是正的 所以 我们 寻求问题 2 6 的正解转化为寻求 在f 的非负非零临界点 引理2 设f c 1 j 矿 2 r 2 和 3 成立 则对所有的 7 o 存在 c 叩 o 使得 l f z u t l f 7 1 名1 2 c 叩 i z i 1 v z z n j 矿 2 2 9 证明 任一 7 o 由 2 知 存在2 f l 以 7 o 使得当 s 觅时 在q 一致 成立 i v f z 名 i 去叩悱 再由 知 存在j l 幻 o 使得当 毛时 在q 一致成立 l v f z 名 i 此外 通过f c 1 r 2 r 的假设 易知存在6 6 矗 o 使得当矗 时 在n 一致成立 i v f 即 i 1 由 4 我们有 g t 2 面备 钯 v f 切 一g f o 切 o 换句话说 对 z z 西 r 2 g t 在t l 上单调递增 所以 g t 芝g 1 即 f p 切 芝伊f p z vt 1 p 名 巧 矿 2 定义 r 7 c o 1 e l7 o o 晰 1 o c 7 o 及p 2 2 使得对v z z n 俾 2 均有 i f z z is 7 i z l 2 c t 7 1 名i p 1 8 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 则存在序列钿 ce 使得当n 时 j c 钿 o 在矿上是强收敛的 且 在e 中存在弱收敛的子序列 证明通过s o b o k v 嵌入定理知 eq q q 是连续的 显然 j o o o 对任意的p 2 2 存在常数侥 o 使得 叫1 2 q 叫i f 叫l ps 岛 k 比 e 3 2 由i f z u t l f 7 h 2 c 叩 p 的假设 及 2 7 3 2 和m i n k 洲b l i 不等式 我们有 心 扣i 刍一厶f 即 如 扣l 刍一上 枇 气1 2 c 训矿 计 出 扣i l 刍一 7 胪 无i j 2 c 7 胪 磊雌 砉1 1 名 刍一 7 o z 0 2 i i 磊0 2 2 一c 加 0 名 i i p 0 忆尸 去o z o 刍一2 7 l i z 旧一2 p 一1 c t 7 o z 吆一 2 f 7 0 眩 2 p 一1 c 7 o 磊i 隘 之 去 名 刍一2 7 c 6 l i z o e 2 2 p 一1 c 7 c 6 1 1 名o e p 一 2 t 7 0 乙o 2 p c t 7 o 磊i 瞄 吉一2 叼诺 o z o 刍一2 p 一1 c n 甜 忪o e 尸一 2 叩 磊眩 2 p 一1 c t 7 o 雌 在上面的不等式中 令f 7 南 劬 沙甜c 7 g 2 训磊惦 垆 1 c f 7 i i 讫i i 由定理1 知 当 o 时 g o 因此 存在p 南 南 o 知 o 使得当 s 0 e 1 d 时 丢矿一岛矿 丢矿 丢矿一q 0 故 仍 o 雅p j z 去矿一仍矿一g o 此外 对任意名 e o o 由 我们有 z 扣圳刍一五f z u 矿 出 五f z 出 二u 箦 肌p 筹 让 i e 1 且u o o 由上面不等式及 4 我们有 j 切 三t 2 一t 9 上f z u 矿 如 上f z 如 t 五 u 筹 m 等 出 1 9 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 这里t 1 因为f c 1 r 2 r 且 1 成立 并注意到z u 可 o 可得尼f z 矿 出 o 所以 当t 时 如 一 因此 存在常数硒满足i l t o z 忙 p j z o 对任意盯 o 对上面不等式应用y 池g 不等式 得到 三一1 o 钿临 上 v v v v 如 仍 凹 o 钿怯 口0 i i 刍 c 仃 i i 磊0 刍 q c g o 0 钿0 e 让仃 o 足够小 可得0 忙 o 即可 假设在n 上z 兰o 因为在 3 中 r 2 2 一1 所以eql r 1 q 矿 1 q 是紧嵌入 从而 t l z o o 在e 中为强收敛 故对任意 o e o 有o o 定理4 得证 在f 为临界增长情形 需要用到明 q 在l 2 q 嵌入的最佳s o b l e v 常数 肛 蕊 器 拂 n f o 如m p 如 2 2 在q r 上 通过满足方程一 矿 u 2 一1 的函数 u z 一2 一2 4 1 j 叫2 一2 2 能达到 9 参见文献f 3 8 j 的定理2 1 或见文献同 此时 厶 i v c 1 2 出2 厶 l u f 2 出 啦 零妨假设o q 让 c 铲m 表示在 附近满足 三l 的非负函数 并对 7 o 定 哳 z 功 z z 2 7 2 2 u 考 从 7 j 直接计算后可得如下引理 引理5 当 5 时 如下估计式成立 二i 寸嘶j 2 如 s 2 d 7 一2 z i 嘶1 2 出 s 舭 o 矿 如一 篡 i 矿 2 a 2 口 鹊 这里 竺7 表示p 与 y 的商是正的和有界的 该引理也可以参见文献 2 6 引理3 2 昂c q 2 嫫曰 舀竽 器 上f c 牡 t d z 2 l 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 引理6 若 5 5 和魄 成立 并假设f c 1 肘 2 a 是2 次齐次函数 则 和 2 昂 q 2 而l 气 j 证明因为f c 1 r 2 r 是2 次齐次函数 所以有e u l e r 等式 z v f z 2 f z f z sm 川r 这里m 2 r 写耀i 1 f 名 由 3 5 和m i i l 鼬不等式 有 上f c u t 出 嘉 m 毒 上 z 如 暑 m 争 五舻 出 暑 上v 2 出 拳 m 暑喜上 i v u l 2 i v 砰 如 由此可推出 跏 q s m 一2 矿 3 3 3 4 3 5 3 6 此外 从f c 1 肘 2 耐 和 3 5 知 存在 e 1 e 2 名 肘 2 h 2 1 使 得f e l e 2 肘 为了完成引理5 的证明 我们只需证明当f 7 o 充分小时 掣概 锄小南 挈 舭 3 7 假设j t e l t 地锄 在t 叶取得其最大值 从引理5 可得 男j e 1 嘶 钯2 岛e l t 岛e 2 s 孚二 岛 e 箦 e 2 筹 z 哳出 q o 瑶 岛 3 8 因此 若岛 o 或当 7 一 时钿 o 则由 3 8 知 3 7 在t 7 o 充分小时成立 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 否则 由t o o 时 t e l 蛔 一 可以假设当 7 0 冗分小时 o q l 岛 研2 因为f 俨 俾 2 r 是2 次齐次的非负函数 由 1 和 6 的假设 结合 3 6 和引理5 我们推出 岛e l 钿e 2 嘞 孚五i v 锄1 2 如一厶 岛e 1 讹 岛e 2 t 一f 出 钿上 e 等 眈筹 蜥出 萼二l v 锄f 2 由一五f 岛e l t i 岛免 出 一上碍 卢e g 蠕 钇 如 岛二 e 篑 勉筹 嘶如 2 孚上j v 1 2 出一m 芎五嵋 出 一上塄 卢e 拿髫皤 卢厶 如 岛厶 e 篑 e 2 篆 锄出 塔 薯五 一御 胎出 一q 3 厶u 邗如 q 4 厶 出 言 燃 两s 譬一q 5 2 卅 2 学 二 k 2 m 凫媚 出 v 1 别 v 1 刚 嘉 南 南s 譬一仍5 肛2 a 卵 2 学 s 南 学 号一q s 肛2 口 肋 学 3 9 由 3 9 并注意到 一 一2 口 所 2 o 充分小时 3 7 成立 引理6 获证 此外 我们还需要用到b r 6 z i 8 l i e b 在文献 3 9 中证明的如下引理 引理7设f c 1 r 2 r 满足f o o o 且存在a 7 o 及s 1 使 得l 箦 z i i 篑 z jsa 7 川卜1 让 珊 为 q r 2 中一有界序列 且在e 中满 足 t 七 一 t 移 则 上f 鲰 出 二f u 七一u 一v 如 上f u t 如 1 4 0 定理5 的证明因为f 为2 次齐次函数 所以引理4 条件满足 由引理4 和 的临 亘童盔兰堡主兰垡垒塞一 主要结果的证明 界点与问题 2 6 弱解的关系 我们可得到当 o 知 时 气 孑为问题 1 的解 由 强极大值原理可知 z o 为了证明问题 1 多重正解的存在性 只需证明孑 o 即 可 假设在q 上孑三o 因为当n 时 t i t i n 叶o 由引理 7 知 当 n o o 时 五 i 1 2 f v 1 2 出一2 厶f 菇 如 o 因此 当n o o 时 看收敛的子序列 仍记为 t f i 满足 厶 i v 1 2 i v 1 2 如 2 a 厶f 砖 如一以 4 1 这里a 是一个非负常数 如果a o 则在e 中钿 z o o 从而 当 o 印 时 o o 应用s o b o 研不等式 我们有 7 五f 毋 出 2 s 面b 上 i v 砧1 2 i v 砖1 2 如 赢 裔厶 i v 1 2 l v 1 2 如 4 2 结合 4 1 与 4 2 得出a 2 2 番而a 即a 鲤 批 再应用引理7 可推出 c 2 壶二 j v 1 2 i v 1 2 出一二f 茄 如 1 之 一z a 三f 型 i 舭 此与在引理5 中得出的c o 定理5 得证 定理6 的证明首先 设铆 耽分别是问题 7 和问题 8 的非负解 由 1 知 对所有 o 0 击叫1 e 南耽 满足 j 一辞忙守t t 1 钮 z s 誓0 古 南忱 卵 力 一 p g 声t 屹 s 筹0 盘t 1 e 南t 2 e h z 因此 舟伽1 e 占耽 是问题 6 的 个下解 下面我们将寻求问题 6 的一个上解 用u 表示问题 i 一 l z q u o z q l o z a q 4 3 西南大学硕士学位论文主要结果的诞哩 解 由强极大值原理知 在q 上u 甸 o 取充分大的常数日o 让其满足 日o 舻嘛篑 搿筹 眙例 搿 事实上这样的凰是存在的 因为l p o 我们可以选择日 充分 大 使得 ose 南伽1 亩 ose 南t l 2 亩 由上下解方法 我们得出题 6 至少有一个非负解 研 奶 满足 由t 口 窃 亩 南t j 2 奶 o 当问题 6 至少有一个非负解时 问题 7 和问题 8 有非负解 设 霹 霹 是问题 6 关于参数e 的任一非负解 并令霹 e 南面1 霹 e 击姚 则 面1 e 玩 满足 一 p 面k 舒篑 面k 玩 9 z z q 一 p 玩 e 筹筹 伍k 如 7 l z z q 4 4 西l c 0 面j 2 0 面1 c 面耽 0 z q z a q 因为f 是p 次齐次非负函数 所以f m h p 其中m 2 r m 椎l 1 f 名 对所有 e 1 用面1 面k 分别乘以问题 的两个微分方程后再在n 上积分 应用s d l w a 磁 不等式 h i l d 盯不等式和p 0 i n c a r 6 不等式 并注意到1 p 0 仅依赖于q 9 和 1 因此 存在与e 无关的常数q 8 o 使得 0 v 面k i 喀 q 8 0 v 面拈0 c i 8 由m e r s 迭代方法和s o b 0 1 e v 8 不等式知 i 面1 e i i a 2 a n 冬仍8 i i i i 拓0 c 曙 a n q 8 其中a o 1 再根据舡c o l i 缸z e l a 定理 当e o o 时 在俨 q 中 可设