2013建模.docx

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 兴义民族师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 崔 天 义 2. 黄 永 波 3. 王 义 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王 美 娜 日期： 2013 年 9 _月 16_日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：车道被占用对城市道路通行能力的影响摘 要车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象，被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。针对问题一：对附件一中的视频1进行数据采集，将采集的数据用Excel呈现出来，然后利用MATLAB软件对数剧进行定量分析，发现定量分析在这里存在缺陷，进一步建立如下模型：利用这个模型可以定性地分析出交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。针对问题二：采集视频2中的相关数据，利用问题一中建立的模型，观察视频2中的交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程，然后利用对比分析得方法说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。针对问题三：参照药物在体内的分布与排除模型【1】，利用微分方程的求解原理建立车辆排队长度的指数模型，分析了长度与时间、车流量，道路通行能力之间的关系。针对问题四：利用第三问建立的模型，将相关数据代其中，即可算得从事故发生开始车辆排队长度到达上游路口经过的时间。关键词：指数模型 实际通行能力 车辆排队长度 MATLAB软件 一、 问题重述车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。2. 根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。4. 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。一、 问题分析 问题一：要求考查视频1中交通事故发生至撤离期间，通过分析因交通事故事带来的额外因素对道路所处横断面实际通行能力的影响，最后描述道路所处横断面在交通事故发生至撤离期间实际通行能力变化过程。问题一：经过研究视频1中交通事故发生至撤离期间因交通事故事带来的额外因素对道路所处横断面实际通行能力的影响，得出道路所处横断面在交通事故发生至撤离期间实际通行能力变化过程。进一步具体分析对比视频1和视频2中两起道路事故对道路实际通行能力影响的差异性。 问题三：要求对视频中的道路实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量以及交通事故发生后车辆排队长度的因素进行分析并建立模型分析前面三者对后者的影响关系变换。问题四：在下游车流量要求不变的前提下，求车辆排队长度达到140米的最小时间。一、 模型假设1、视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。2、假设视屏中所处路段的交通能力不受其他路段意外事故的影响3、假设小区内出入车流不占道行驶4、假设视频中车道上无停车占道四、符号说明L、l-均为长度的表示量-均为表示时间的车辆，为任意下标-均为车流量，为任意下标五、模型的建立与求解5.1求解问题一假定交通事故在T1时刻发生，直至T2时刻结束，描述在T2-T1时间段内事故所处横断面积实际通行能力的变化过程，为分析该变化过程，统计出视频1中T2-T1时间段内每一时间段（每隔30秒统计一次）的车流量C如表1（只考虑四轮以上的大、小型车辆及电瓶车），其中车辆折算系数如下1。表1 车流量统计表小型车109967896888109891191110789688大型车1030010000100100000111010标准车1291567811688101091091191110910116108基于表1中所统计车流量数据，用MATLAB软件做出其变化形式如图1 图1观察图1我们可以得到出，在T2-T1时间段内，车流量随着时间的变化呈现出不规律的周期性，这一点从实际生活当中能得到合理的解释。其中周期性由上游交通灯变化的周期恒定而导致；而周期的不规律性则是因为一天当中不同时段经过同一道路的车流量不同，比如说，上午经过的多下午经过的少，或者车流量高峰期与否。若我们仅用上述的车流量C变化关系刻画道路实际通行能力Bc的变化，在某段时间内没有车辆经过，即车流量C为0，但此种情况下的道路通行能力Bc并不是0，故不能简单地用车流量变化来恒量道路实际通行能力的变化。故进一步建立模型分析。经过观察分析，事故占用二、三车道时，这两车道上的车辆均被迫改到一车道行驶；当事故占用一、二车道时，这两车道上的车辆全部变道到三车道。考虑道路实际通行能力受车辆变道的影响模型，参照车道变换行为对道路通行能力的影响的车辆变道占用的额外空间算法模型2 ，其中，为变道的车辆数目，为自由通行速度，v+为自由通行速度与变道时的速度差，为变道的时间，、均可由测量而得到，为所参照模型中的车辆变道率。建立下面的变道车辆数对道路实际通行能力的损失量的影响模型。在事故尚未发生阶段，每辆车占用道路空间的计算方法为= (1) 其中B表示基本通行能力。 可由公式求出。其中：（该路段无坡度，故取0）由上述变量可求得B为定数。由于交通事故完全占用两条车道，被占用的两条车道上的车辆必须全部改道，故现在可用变道的车辆数（）代替，分别为交通事故占用二三车道时由三变到一和由二变到一车道的车辆数目，故 (2)的损失量 (3)将（1）、（2）代入（3）可得到上述模型可以很好地刻化道路通行能力的损失量的变化情况，进而刻画出道路实际通行能力的变化情况。5.2求解问题二由于交通事故占车道不一样，故导致变道的车辆数目不同，由问题一的模型可以看出，变道的车辆数目越多，道路的实际通行能力越强。通过对视频一和视频二的变道车辆数目进行统计如表2表2 两段视频车流量的统计表变道合计3-1160546440433345172504712-14824284417673393949281051-3624233402051232134220512-353884516183836325173696从表2得到，交通事故占用一二车道与车道占用二三车道相比，被迫进行变道的车辆数目较少，故实际通行能力较大，车流量也更多。5.3求解问题三事故所影响路段的路段车辆排队长度即堵车长度，对题目中所求问题进行机理分析如下：假设堵车长度为，堵车长度为单位长度时通过障碍路段的车辆数目为，此处假称为流率。若车辆排队为单位长度所需时间为，则当车两排队长度为时，通过障碍路段的车流量为，故为通过障碍路段的车流量随着车辆排队长度变化的辩化率。并有关系式: 由此关系式还可以很明显地看出，车辆排队长度与时间成正相关关系。现假设为变化率，参照药物在体内的分布与排除模型【1】可建立如下微分方程模型:接下来分析变化率与事故道路横断面实际通行能力、路段上有车流量之间的关系。显然，越大，越大；增加，也增加，与二者均正相关。故可用和表示为: 其中、分别为与、的相关系数，且，通过给定视屏计量出交通事故发生后相同时段内和的多组数据后用最小二乘法求出。现计量出下表1中数据，用最小二乘求出。是由于从视频读取的数据以及其他数巨量的选取过程中存在一定的误差，但此误差为3%较小，拟合程度较高。于是便可得到 用MATLAB软件求解该模型可得该微分方程的通解结构(*)如下 (*)，其中为常系数。从视频1中读取事故发生后任意时间段通过障碍路段的车流量即可确定，现读入辆/秒，得出辆/时。故由通解（*）确定出如下特解 由（5）式推出的初步表达式又与事故持续时间成正比，故可得到交通事故发生后车辆的排队长度的进一步表达式为： 其中为交通事故发生时车辆的排队长度。该模型为交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量三者之间的关系模型。5.4求解问题四依据建立模型1的理论分析，路段下游需求量不变，事故持续不撤离，交通事故所处横断面积距离上游路口长度=车辆排队长度=140m，路段上游车流量为1500pcu/h，采用问题三中所建立的模型1，即原题意为求模型中的，下的值。另外，模型1中的道路实际同行能力我们已在问题一的模型当中求出，=1077pcu/h。故用MATLAB软件和普通计算机算出=93s。即从事故发生开始，经过93秒后车辆排队长度将到达上游路口。对=93s这一数据进行分析，该数据让人从直觉上觉得很不可思议，但却是较为合理可行的，原因如下：当视频一中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米时，对视屏一进行仔细观察，对视屏上的时间进行记录，在时间逻辑上，两车发生交通事故的时间为16:41:50，此时，可从视频上看到上游路口处的十字路的通行情况，是第一相位处在通行状态，故第二相位的交通指示灯是红灯，此时发生事故的横断面到上游路口的路段只有来自车道一极少的车辆通行，此时可由一车道完全通行，不会形成车辆排队。10秒钟后，交通灯由红灯变为录灯（以十字路口的通行情况来断定），第二相位车辆通行，对上游路口的通行车辆的速度进行估算（在正常情况下通行），可知上游车大约23秒（误差不超过1秒）到达交通事故所处横断面，从事故发生到此时用去时间43秒，而此时交通开始拥堵，车辆开始排队，由视频一，事故后的第一次绿放行排队长度是120米，此时事故所处横断面到上游路口的距离是140米，故不可能在第一批放行的车辆来时车辆排队长度到达上游路口，并且交通灯在放行第一批30后由录灯变为了红灯，红灯期间，横断面到上游路口的路段离车辆排队长度慢慢缩短，由于上游红路灯时间的限制，缩短的距离不是很大，当灯十字路口的红灯又变为录灯，从事故发生到此时用去时间73秒，此时第二相位通行，段面到上游路口的路段离车辆排队长度由开始加成23秒后，还在处于通行状态，而从事故发生到此时用去时间93秒，横断面到上游路口的路段离车辆排队长度将到达上游路口。六、模型改进针对上述模型中所用数据均由人为统计而得出，与真实数据误差有较大的缺陷，可采用统计软件对数据进行统计以减少以上建模过程中的误差；在针对问题三建立微分方程模型过程中，系数、的确定，可进行拟合回归，以减小系数误差，提高模型的可用性。参考文献：1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2012.5.2 陈宽民，严宝杰，道路通行能力分析（第二版），人民交通出版社，2003.10.1.3徐慧智，程国柱，裴玉龙，车道变换行为对道路通行能力影响的研究，中国科技论文在线，第4期：749-753页，2010.10.附录软件名称：MATLAB附录1： A=9,14,6,7,8,11,6,8,8,10,10,9,10,9,11,9,11,10,9,10,11,6,10,8,10,8,12,8,11,13; t=1:1:30; plot(t,A,R)附录2： a=10,14,10,8,14,13,10,11,11,12,8,13,8,11,11,14,12,11,8,9,9,11,10,12,9,11,10,10,12,14,12; t=1:1:3