（应用数学专业论文）乘积型差商空间中的组合差商法及其在抛物型方程中的应用.pdf

i j 默未一一一 堡主笙塞 叁璺型茎堕 婴 塑塑宣叁塑些墨茎垄塾塑型查堡 塑堕旦 vu 亿h o uu n e r s r r r 摘要 本论文介绍了在乘积型差商空间中构造高精度 高稳定差分格式的一种新手 段 组合差商法 以及该方法在抛物型方程中的具体应用和实现 最后对一绝 对稳定的隐格式利用嵌套迭代的方法给出了一个高效率的并行算法 数值例子验 证了理论分析的正确性 本论文主要分为三个部分 第一部分 首先介绍了有关微分方程的有限差分格式的基本概念和原理 分 析了局部节点集上的差商的线性性质和乘积型差商空间的基本概念 提出了在乘 积型差商空间中的组合差商法的思想 第二部分 把第一部分的理论方法具体运用到求解 维抛物型方程初边值问 题上 构造了三个有效的两层六点分布的半显差分格式 格式 1 m l 格式 i i 1 2 i 格式 i i i 三个格式都是在如下分布的局部节点集上构造的 f f o a 格式 i 绝对稳定 误差精度阶为0 0 3 已发表 格式 i i 较格式 i 相比 截断误差阶提高到o 扛2 3 但它是条件 稳定 稳定性条件是ocrc 1 1 7 已发表 格式 i i i 在保持格式 1 i 高精度的条件下 把稳定性条件进一步提高 到o s 1 5 它们是目前所知半显格式中最好的结果 在第三章里 构造了一个隐式差分格式 该格式的节点集的选取如图 b f 批量一一一 堡主笙兰 墨塑里鲞塑 塑 堕望垒篓堕婆墨苎壅塑塑型查堡 塑生旦 vl e 喇o uu n e r s r r y 式 b 格式 是绝对稳定的 截断误差阶是0 0 2 h 4 优于已有的c j v 格 数值例子验证了以上的理论分析结果 同时说明了组合差商法是一种行之有 效的新算法 第三部分 在第四章里对两层隐式差分格式 利用嵌套迭代方法构造一类 绝对稳定的迭代并行算法 数值例子表明该算法是高效率并行算法 关键词 乘积型差商空间组合差商解法差分格式截断误差稳定性条件 图书分类号 0 2 4 1 8 2 g 虫缝点一一一一一堕堡墅堑塑堕塑型堕竺茎型型塑塾竺墅壁 堕笪旦 vu 日h o uu n i v e r s r r v s u m m a i y i nt h i sp 印e fw er e p o nac l a s so f h i 曲一p r e c i s e h i g h s t a b i l i t yd i f f c r e n c es c h e m e s i nt h ep r o d u c td i 雎r e n c es p a c ca i l di ta p p l i e st o t h eo n e o r d e ro n e d i m e n s i o n a l c o n s t a n fc o e f f i d e n tp a r a b o l i ce q u a t i o n t h el a s tw e 百v eah i g i l e 伍c i e n c yp a r a l l e l a 1 9 0 r i t h m i i lt h i sc h a p t e re v e r yt es c h e m ei s 百v e nn u m e r i c a l 唧u t e a n dt h e r e s u l f sv a l i d a t em et h e o r ya n a l y s i s t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h i sp a p e r a tf i r s t w e 百v es o m eb a s i cd e f i i l i t i o n sa n ds o m el 咖a s 曲 0 u tc o m b i n a t i o n d j 胎r e n c ca l g o j 衄n r ca n a l y z e h er e a l i o no fn o d ed j s f r j b u j n ga n dt p eo f d i f f e r e n c es c h e m e s t h e nb r i n gf o n a r dt h ec o m b i n a t i o nd i 行e r e n c ea l g o r i t t 皿i nt h e p r o d u c td i a c r e n c es p a c e s e c o n d t h em e t h o d a p p l i e s t ot h eo n e o r d e ro n e d i m e n s i o n a lc o n s t a n t c o e m c i c n cp a r a b o l i ce q u a t i o na n dw eh a v et h r e ee m c i e n c ys e m i e x 讲i c i td i f f e r e n c e s c h e m e s f b 瑚a t i f 0 肋a t 1 1 2 1f o 册a f 1 i i t h e s ef o m a t sa r ec o n s f r u c l e dj n t h el o c a n o d ev o h l m e j j a t 1 1 es c h 锄e i i sa b s o l u t e l ys t a b l ea n dt h ef 0 栅e rt m n c a t i o ne r r o ri s o 一 3 7 r h es c h e m i i t n l n c a t i o ne r r o ri s0 0 2 3 a n dt h es t a b i l i t yc o n d i t i o n i s0 0 口 0 0 s x l f 皂0 的差分格式的构造上 构造了一批高精度 高稳定 高效率的差分格式 并对所 构造的精度为o p 2 4 的绝对稳定的隐式格式 利用嵌套迭代法构造了一类绝 对稳定的并行算法 数值例子表明该方法是有效的 1 1 国内外研究概况 国内外对微分方程数值解这个数学模型的研究很多 用有限差分的方法做出 的结果也不少 见文献 7 等 现有的差分格式主要分为三类 隐式差分格式 显式差分格式和半显式差分格式 隐式差分格式 已有的隐式差分格式都是两层或三层分布的格式 其中精度最高n 勺当属马明 书等人i 驯 1 2 l 给出的恒稳臆式差分格式 其截断误差阶为o p 3 6 格式的局 毫 i 皱点 一 堡主堡苎 鲞塑翌叁塑皇婴 塑望鱼差塑垫墨茎童塑塑型查墨 塑窒旦 v u 酬0 uu n e r s 仃y 部节点分布如图 c 这类隐式差分格式虽有高精度的优点 但它层次多 又需要求解大型方程组 计算量比较大 显式差分格式 三层显式差分格式中绝对稳定格式不多 其精度也不高 在局部节点集为三 层分布的格式中论稳定性而言较好的格式是h 口嘶l d i m 格式1 6 j 1 0 它是绝对稳 定的 但其截断误差阶仅为o p 2 2 还有绝对稳定的d m 厂d 一f r n n e f 格式 其截断误差阶为0 0 2 2 兹z 论精度阶而言当前最好的是马明书 1 9 1 利用待定 系数法给出的格式 它的截断误差阶为0 p 3 4 但其稳定性条件只是 6s 一 2so 2 2 8 7 三层格式计算量比两层格式计算量大 两层显式差分格 式中有马明书 1 8 1 给出的格式 局部节点集分布如图示 d 其截断误差阶为o r 2 4 稳定性条件为o trs 但在实际计算过程中需 要附加内边界值 降低了实用性 显式差分格式具有计算简单容易实现的优点 但是它又不容易达到高精度 高稳定的要求 半显式差分格式 半显式差分格式不是显式格式 但在实际计算过程中却是显式计算 从而使 q j 姓一一一 堡 堕兰 垂塑型叁塑皇囹 塑塑鱼叁堕望墨苎堡塑塑型查堡 箜璧旦 一u 酬口uu h e r s l t y 计算量人为减少 因此半显式差分格式常兼有显式格式的计算简单性 半显式格 式形式上是隐式差分格式 兼有隐式差分格式良好的数值稳定性的优点 它在构 造微分方程并行算法中也起着独特作用 但已知的半显格式如 f b 格式 6 1 1 0 l 精确度仅为o r 2 因此 构造高精度高稳定的半显格式意义很大 l2 研究内容及结论 本论文针对微分方程初边值问题 在第一部分提出在乘积型差商空间中构造 高效率差分格式的组合差商法的概念 在第二部分把该方法具体运用到一维抛物 型方程初边值问题中 并有较好的实现 本文的主要结论有如下几点 乘积型差商空间的构造 在局部节点集上利用 y d r 展开或其他方法得到 多个分别关于时间的差商 然后研究各个时间差商的线性关系 把线性无关的差 商作为一组基扩张为一个时间差商空间 用同样的办法可得到一个空阿差商空 问 把两个差商空问进行耦合即得到乘积型差商空间 在乘积型差商空间中 利用它们的基本差商的组合来逼近微分方程的方法 就是组合差商法 该方法是在研究 归纳 总结了已有的直接差商法 待定系数 法 组合算法 外推算法 误差校正法等方法的思想原理 深入分析了差商的线 性性质的基础上提出来的一种行之有效的方法 更容易达到高精度 高稳定的目 标要求 该理论体系在一维抛物型方程上的具体应用和体现 本文利用组合差商法 针对一维抛物型方程共构造了三个有效的半显差分格式 和一个高精度绝对稳定 的隐格式 在选定的局部节点集 a 上构造了三个半显格式 搿 2 8 r 1 一 1 3 r 1 一 1 扣 1 5 j 一r z i 其截断误差精度阶是o p 3 绝对稳定 1 6 r 加 1 1 6 r 卜 一6 r 2 7 r 辨t 1 跏2 2 h 1 纠 f i i 一 8 厂2 1 5 r 鼻1 6 2 一 鼻2 7 1 童南邑一一一 堡主堡兰 歪里堕坚塑量皇塑 堕堕坚生塑曼鲎丝墨至塑塑竺坠堑里 壁旦 vu 酬o uu n i v e r s i t y 其截断误差精度阶是o 扣2 3 稳定性条件是o crc 1 1 7 一 搿 抽 一1 一 3 一r 如 一川 1 1 1 其截断误差精度阶也是o p 2 3 该格式稳定性条件为0 crs1 5 在选定的局部节点集 b 上构造了一个绝对稳定的隐格式 1 6 r 加 1 0 1 2 r 1 6 r m 篇 1 6 r 沁量1 1 0 1 2 r 1 6 弦 1 它与c 一 格式一样也是恒稳格式 但其截断误差阶为o p 2 4 达到了饱和 精度 本文对隐式差分格式 利用嵌套方法构造一个绝对稳定的迭代并行算法 数值例子表明该算法是高效率的并行算法 1 3 基本概念和原理 应用差分方法来求解微分方程数值解其关键在于恰当地选取逼近微分方程 中的导数的差商 差商的构造 既可直接由7 砂f r 展式直接构造 又可根据微分方程的特点进 行构造 例如对堕i 而言 甜 一直接由脚 d r 展开得到 如 州 华肿肛华等 其中 l 表示t 方向的向前差商 v 表示t 方向的向后差商 一 利用微分方程构造 对一维抛物型方程 詈 d 窘 当微分方程的解充分光滑时 有 8 f a 默点一一一 堡主堡兰 墨塑型茎塑窒塑 塑望鱼叁堕望墨基垄塑塑型塑堡 塑堡旦 vu 证h o uu v e r s r r y 筹 筹m 黼负整数 1 3 1 成立a 考虑c 一 c 知 c a c a 逼近剖 假定 充分光滑 把 甜j 在节点 处由7 砂如r 展式知 叮1 叫 r 孙萼剥 味 叫一 瓤 譬剥 一等剖 丢窘i 略 叫 氯 譬剥 譬剖 鲁剖 略 叫 舶孙 利用 1 3 1 有 c 1 c 2 h 一l c 3 l c 4 h 2 等鲁 枷s 2 4 巩 c c 均弘 坼c c 弛 剽 丢c 挑 c 屿 和 剖 等 c 2 4 其中 c 1 c 2 c 3 c 4 是参数 令 岳 1 2 r 2 c l c 2 c 3 1 6 c 4 成立 取q c 为待定的 解之得 o 如3 5 9 到酬 坚6 堕舻 2 一 竺2 0 c 4 缸巳 q 屯 吒 h r 站 一砜 缸 勺 l 2 旧 陀 i 商 卢 差 印 陌 叠 一 a 盼 批 m 近 令 逼得 f l j d 丛一一一 堡主丝塞 墨墼型差塑皇塑 塑 鱼差塑鎏墨苎垄塑塑型塑矍 塑堡旦 vu 酬o uu n n 毫r s r r y 引咄 b 型 等篓 墨f 2 a 3 口一二一二 一k 一黜一n 瓦南瓤 譬缓窘l p 2 纽 3 口一旦一望缸4 令l 阻 o 表示在节点缸 f 处的差分格式 在节点 r 处 微分方程 为陋 一o r 一 扣 工 r 为用差分算子代替微分算子所引起的截断误差 定义1 设有差商组j b a a 口 如果存在 组数z 一 z 使 卢 f l a 2 口2 j n 成立 则称差商声是差商组口 a 口 的线性组合 或称卢可由 q a o 线性表示 其中 f 2 称为组合系数 使 定义2 设有差商组a 口 a 如果存在一组不全为o 的数 f 一 a l l 口2 a io 1 3 2 成立 则称差商组q a q 线性相关 如果当且仅当z z f j 全为o 时 1 3 2 式成立 则称差商组a 口 线性无关a 定义3 选取部分合适的节点构成一个局部节点集 在局部节点集上通过线 性无关的时间差商所张成的空间称之为时间差商空问 记为s 同样的 通过线 性无关的空间差商所张成的空间称之为空间差商空问 记为 时间差商空间 与空问差商空间的耦合称为时空乘积型差商空间 简称为时空差商空间或乘积型 差商空问 记为s 即s s s 在乘积型差商空间中线性无关的差商称为该 空阃的基本差商 最大线性无关的基本差商组可作为该空间的一组基 基的个数 l o 挑点一一一 堡主堡奎 鲞堡型薹塑窒塑 竺丝鱼墨塑望墨苎垄塑塑型壅堡 塑壁旦 ju 刚o uu n e r s r t y 称为该空问的维数 定义4 在乘积型差商空问中分别用基本时间差商和基本空间差商的线性组 合构造差分算子l 来逼近微分算子l 从而得到达到一定目标要求的差分 格式 这种构造差分格式的方法称为组合差商法 关于差分格式稳定性的判定 常用到下面引理 6 j1 1 0 对 i 层差分格式的一般形式为 荟 m 蠕2 弘 一 h 1 3 3 n 和n 足包含0 及其附近的正负整数的有限集合 和6 不依赖j 但和f 有 关 0 的而m r f 级数展式 堡 o v v t r x e d r p 以h 的肋h r 把r 级数展式的通项 代到 1 3 3 两端 得 一e 呐恤 等 1 荟 k v 三 8 帆 消去公因子e 叶 即得 v 1 罾m 一 三y 矿前面的因子称为增长因子 记为g 肋 r 1 3 4 引理1 差分格式 1 3 3 稳定一i g 加 石 15 1 其中 m 是与f 无 关的常数 g 力 石 s1 胁也称为 册月条件a 引理2 胡家赣 5 l 设m 一 m 为n 阶方阵 一 h 为n 阵 m 严 枞 啦 小峄t 圳 协 旷 皇拟点一一一 堡主堡墨 垂篓墼墨塑窒塑 些塑鱼董塑婆垦基童塑塑里查墨 塑堕旦 vu 酬o uu n e r s r r y 第二章解抛物型方程半显差分格式 半显格式不仅兼有显格式的计算简单性 隐格式良好的数值稳定性的优点 而且在构造抛物型方程的并行差分格式中起着独特作用 但是针对求解一维抛物 型方程初边值问题 w 1 所构造的半显格式并不多 目 前只有非对称的 f 钾格 式 它是绝对稳定格式 然而其截断误差阶不高 只有 扛 2 本文利 用组合差商法在局部节点集 a 上构造了三个半显格式 第一个格式截断误差阶 是o p 3 绝对稳定 第二个格式截断误差阶是0 0 2 1 1 3 稳定性条件是 0t c1 1 7 第三个格式在保持第二个格式截断误差阶的基础上 稳定性条件可 进一步提高到0 trs 1 5 它们和现有的鼬 f o v 格式相比 截断误差阶都有了较 大提高 2 1 绝对稳定的半显差分格式 2 1 1 格式构造 在平面区域g o s 工s l os fs t 上建立时空差商空问 取时间步长f 空间 步长 对区域 0 l o r 作矩形剖分 取局部节点集为 a k i o o f 扛 l f j f o 川 f o m f j 其中 肋 f n r 并令m 一 吼 f a 是阻 的近似值 当问题c w 的解充分光滑时 有如下关系式成立 旦 冬 仃n 罢芸罢 m 为非负整数 2 1 1 1 皇仃 m 九月习f 姒筮裂i z i 1 1j 栅 a f 缸 将六个节点上 的值在节点 业 盯 处作丁砂幻r 展开 并使用关系式 2 1 1 1 进行 整理 便可导出下述关于时间和空间的差商的渐近表达式 f i 鲢点一 一 堡主堡苎 墨塑型苎堕至塑 竺翌量茎壁垫墨茎壅塑望型壅望 些壁望 ju 科o uu n e r s r r y m 叫r 华 面卦 譬甜啡 心t 华 孙 姐喵 幽监等筹些盟 其中 r 一盯 2 是网比 易知a m e a h 线性无关 令 s 一 p 口n 一 厶 m s h 卑 p 口疗 这样就得到乘积型差商空间s 一 s 用乘积型差商空间s 中的差商建立含多参数的差分算子 k m 7 m 一 叼 阻 一0 m 一o 2 1 1 2 来逼近微分算子 票 盯要警 其中 巩 f 1 2 j 七是待定参数 m融 把各差商的渐近表达式代入 2 1 1 2 经整理得 瓤嘲 甜仃务锐 一仃剖 一抽志剖 一口笔篙剖 讲m 为了使截断误差阶达到o 扛 3 只须下列方程组 叩l 7 2 1 七 7 一再面 9 屉 丽 2 1 1 3 埘 吣 剥 鲰一致生 旷一心 剥 志 剥 皂 救点一一 堡主笙苎 耋塑型茎塑皇塑 塑望鱼茎堕鲨墨墨垄塑塑型查堡 箜壁旦 vu 旺h o uu n e r s l l y 成立 解之得 令 3 七 占 l 3 七 2 1 1 4 艮己亿 国 口高一1 5 卢 取卢 一 2 8 r 2 时 由 2 1 1 5 格式 2 1 1 2 可化为 暑 2 8 聊 1 3 r 1 h 一 1 弘 1 5 删 一埘 左 右 i 2 1 2 稳定性分析 定理1 格式 i 绝对稳定 其截断误差阶是o p 3 证明 因 2 1 1 5 成立 故 i 的裁断误差阶是o p 3 又据 一盯 2 及 2 1 1 4 可把格式 2 1 1 2 整理为 7 7 一 r 口 2 声 叩 知一 2 0 3 卢 一 7 2 掰w a l 胁二2 2 1 1 6 掘分离变量法1 6 1 10 1 令 刀口归 h s 刀 f 一 厅 代入 2 1 1 6 经运算 整理可得到传播因子 a j p 向其中 q 墨1 卢s l 卢s i n 口 p 1 2 4 1 廊 2 毋2 f s i n 口 1 2 啊 卢5 1 一 s 口 o 2 i g l 2 1 2 摩 1 芦 i p f 2 1 2 卢 2 4 r 1 p 4 巾 1 4 4 侈 1 0 卢 p 2 8 巾2 1 1 3 p 3 格式 2 1 1 6 稳定一川2s l f 5 6 l f p f 2 一 q i 2so 卢 1 2 十 1 4 4 卢 1 0 卢 1 b 2 卢 1 3 r 1 s 2 so 令 s 一1 2 1 4 4 卢 1 0 1 p 2 卢 1 3 1 s 2 则 f a k 点一一一 堡主堡苎 垄璺型茎塑 塑 塑塑鱼茎塑堡墨墨垄苎塑至查矍 壁垒旦 一 u l z h o uu n e r s r r y b 刀成立一 滁 义 o 的二次项系数小于零 故 c s 芑 协 t o 2 一 翟 孑2 成立 而 2 一7 2 8 r 卢 2 声 1 芑o 2 8 r 卢 2 卢 1 o 声2 v 2 8 r 2 从而 一 2 8 r 2 s 卢 o a ta x l 0 s i n x o s 工s 玎 0 f 一 p f 一0 t 之0 已知问题 v 的精确解为 o f 一e 一 s i n z 我们分别利用格式 i i 以及精确解求解数值解 表中的值是节点 加 l f 处的误差值 其中 加5 0 町 3 娜 孟 附 格式 j j 计算得到的误差值 j 6 01 2 0 1 8 02 4 0 爿1 1 6 2 3 3 5 8 8 e 0 2 3 7 7 8 2 4 e 0 2 3 7 7 8 2 4 e 0 2 2 3 3 5 8 6 e 舵 盅5 1 2 7 4 8 8 e 0 2 2 0 6 2 6 1 e 0 2 也 0 6 2 6 1 e 0 2 1 2 7 4 8 8 e 0 2 2 2 高精度半显差分格式 2 2 1 格式构造 在局部节点集如图 a 又可得到下述分别关于时间 空间的差商渐近表达 式 如下 川卜华 帮一础嵇 等 孰脚2 埘 训 华 靴 盯譬r 瓤哪2 五 m 一 位 2 卢 以 一 一 口 一 卢以 一 郇州卢一手一 黜州一争乳 譬c h a 脚一昙 一 m n 奶 i 鲢点一一 竺主丝墨堡塑型墨塑 鲤 塑望量茎堕苎丝墨壁塑塑型壅望 塑生曼 vu c o uu n e r s r r r 朝喵 毕 瓤 箬窘忡 胡嘿 生 窘i m 窘i 等窘n 0 易知 阻 1 阻 五 m 1 线性无关 6 m 也是线性无关的 令 s t 妒鲫佾阻m 五 s 印鲫 h 6 得到乘积型差商空间s s s 在乘积型差商空间s 中建立含多参数的差分算子 l 鲁f 一 考 a 五 e 1 一o 考 6 m 耋 6 曩o 2 2 1 1 来逼近微分算子上 票一盯鲁 其中 岛o 1 2 3 4 口 卢是待定参数 甜以 一 把各差商的渐近表达式代入 2 2 1 1 取卢和p 一叩 7 口 卢为自由变量 令 丢专卅p 一壶 1 1 1 8 咖 3 卢 2 r 口 p 一3 一r 2 2 1 2 如1 一壶 6 1 胁吾卢 和击 6 r 棚p 一号卢 把 2 2 1 2 代入格式 2 2 1 1 且利用 一盯扔2 经整理格式 2 2 1 变为 1 一 1 1 嘶 7 2 砌 鼍 1 1 1 8 厂2 2 1 1 1 沁 一1 8 2 1 5 弘 l 酊2 一r 2 该格式精度为0 0 2 3 i 璺缱一一 堡主堡苎 垩塑型篓堕 塑 塑望鱼茎塑些墨苎垄塑塑翌塑 墼堡旦 vu 甜o uu n e r s r r v 2 2 2 稳定性分析 首先 因 2 2 1 2 成立 故 1 i 的精度是o p 2 3 又 易知格式 i i 的传播因子为 a p q 其中 p 暑1 2 一 1 8 r 1 s 2 6 r 一r s z f s i n 8 k 6 r 一1 一2 6 r 2 一r s j q 1 2 6 一1 s f s i n 8 1 6 s 1 c o s d h 2 整理得 1 日1 2 1 4 4 2 6 一1 1 1 6 r s p 1 2 一 2 8 8 r 一3 8 4 r3 8 r 2 8 r s 3 一2 8 跚3 6 7 2 r 2 8 r s 2 7 2 2 4 5 6 r 一2 2 s 1 4 4 格式 1 i 稳定一例2s 1 1 5 6 l l p l 2 一 口1 2so 甘 3 6 r 3 4 8 r 2 十r 1 s 2 一3 6 r 2 8 4 一1 s 一7 2 s o 2 2 1 3 令 5 皇 3 6 r3 4 8 r 2 r 1 s 2 一3 6 r 2 8 4 r 一1 s 一7 2 z 司成立一 暑 j 7 2 5 成立 又 2 s 0 g r 一7 2 r 3 1 3 2 2 8 6 一3 5s o 由g a 2 1 6 2 2 6 4 r 8 6 易知a co v 尺有g r 0 即g r 是增函数 用牛顿迭代法可解 得g r 一o 的解为r 0 1 1 7 因而 g r s 0 讳o o t 1 有 1 0 v 0 有 c o v r o 1 时 0 的二次项系数 r 大于零 故协 o 2 有厂 5 so r r 1 时 o 的二次项系数为0 而一次项系数为 一3 6 1 2 8 4 r 1 1 1 2 0 2 4 0 知此时 s 单调上升 又 2 z2 一3 6 2 8 4 一1 一7 2 2 4 0 4 8 7 2 0 故协 0 2 有 o s 0 v r o 时 0 一2 3 6 3 4 8 r 2 r 1 s 一3 6 厂2 8 4 r 1 3 6 r 3 4 8 r 2 1 o 即可 f 一o 5 4 2 5 7 1 1 一o 解之得 2 一o 8 0 0 9 3 大根 易知f 2 一1 2 0 8 o o 是递增的 又 2 c0 讥 0 2 v o 1 6 7 1 1 7 有 0 so 总之 当0 c o 一1 1 7 时格式 1 i 稳定 因此有 定理2 格式 i i 的误差阶精度是o p 2 1 3 且在0 crc 1 1 7 时格式 i 稳定 注 根据对称性 格式 i i 的对称格式 i i 为 2 2 3 数值例子 同样对初边值问题 v 分别利用格式 1 i 1 i 求解数值解 表中的值是 在节点 j 盯 处的误差值 其中n 一5 0 0 一3 0 0 蠡 左 呻 右 啦 7 川 一 m t 斛j 1 如卜 白 哆 o n醐 辛 一 蹄 o o l 童照琏一一一 堡主堡塞 墨望型苎堕皇塑 塑望鱼茎塑堡丝苎壅塑塑里塑堡 堕堕旦 vu 洲o uu n e r s r r y 附 格式 1 1 i i 计算得到的误差值 j 6 01 2 01 8 02 4 0 i 厂鼍1 6 2 3 8 4 1 9 p 0 72 j 3 8 4 1 9 e 0 72 3 8 4 1 9 e 0 7 1 7 8 8 4 e 一0 7 2 3 高精度高稳定的半显差分格式 2 3 1 格式构造 在局部节点集 a 上 又可导出下述关于空问的两个新差商 它们的渐近表 达式如下 孙 垡型挚 窘l 一施窘n 譬 窘卜 p 埘 哥 垡兰专磐盟 窘卜导 罟j 箬 3 r 4 窘卜 r 2 易知6 脚 j 6 职 砣陋 露f 是线性无关的 令 s 一e p 口月 m 一 h s 一印n d h 玢 l 砣 玢p 陋 就得到乘积型差商空间墨一黾 s 其中 c f 一1 2 6 是待定参数 把各差商的渐近表达式代入 2 3 1 1 令 丁 c 三c 6 得 b 却 嘶助 一 阻叫露 r c 屯 阻 一醒川岛 矗 1 q m 阻 妣 令 f 童墨未点一一一 堡主笙兰 垂塑皇茎堕 塑 堕咝堕苎墨苎型塑型查堡 塑壁旦 v u 删o uu n i v e r s i t y c i r c 5 一三c 6 篇一丁 c r c 三c l r c l c 3 置 一丁一 丁 c 2 2 r c 3 c 4 一 c 5 茸1 2 r r 3 玎 c 3 2 r c r c s 一 一r 3 r 丁 c 三c s 川 这样 格式 2 3 1 1 就化为 2 3 1 2 弛蒿 1 丁 尹罱 r 一丁一r t 一 1 2 r 丁 3 t 扣 r 一3 r 丁 n 当r 一三时上述格式变为 一 搿 3 一 r 一1 一 3 一 姐 一埘 盖 左 右 i i i 该格式精度为o 扣2 j i l 3 2 3 2 稳定性分析 定 定理3 格式 1 1 1 的误差阶精度是0 0 2 3 且在o t rs 1 5 时格式 i i i 稳 证明 格式 i n 的裁断误差阶是o p 2 3 据分离变量法脚 圳 令 一刀e 归 蚓5 玎 l 一伍代入格式 i u 经楚理 得传播因子 a p 局 其中 p 置2 坩2 1 4 5 2 f s i n 口 1 2 憎 口 s 2 j s i n 口 其中 s 一1 一c o s 口 o 2 川2 一8 r 2 8 扣3 6 2 8 r p 2 6 1 6 扣 4 6 s 4 格式 i i i 稳定一川2s 1 1 5 6 l 一 p 2 一m 2s o 2 l f 建一土毒 硕士论文 乘积型差商空问中的组合差商法及其在抛物型方程中韵应用 vu 旺h o uu n e r s r t y 1 一r j 2 2 一l p 一2 s o 令 o 1 j2 2 一1 j 一2 c 2 a 渤成立一 罢 乏 0 2 一 s 成立 下面对 s 一 1 一 s 2 2 一班一2 s 0 进行讨论 当 一r 时 开口向上 男 一 o s 协 0 z r 1 时 2 3 1 3 成立 2 9 当1 r t o 即r 1 时 有厂0 s 一2 0 协 o 2 1 时 2 3 1 j 3 成立 3 4 当1 一 c o 时 o 开口向下 此时 o 的对称轴为 s 票丢 z r z 当s 一言号证2 即r s 1 5 时 o 在 o 2 内为增函数 燃轳川媳州o 2 1 rs 1 5 时 2 3 1 3 成立 当s 笺丢 2 即 1 5 时 o 在 o 2 内顶点纵坐标为 2 r 一2 二望二 二堕二 二 兰 壁二墅 o 4 1 一r 4 r 1 4 r 1 故当r 1 5 时 q s 0 对协 o 2 不成立 煎夕 当0 r 1s 时 格式 i i i 稳定 注 根据对称性 格式 1 1 1 的对称格式 i 右 左 为 2 3 1 3 一 高 3 j 一 一啪 3 一 一 h r 一z 1 1 1 姓点一一一 堡 堡苎 墨堡里茎塑皇塑 塑望鱼叁堕兰丝基垄塑塑查堡 塑壁旦 ju c 圳o uu n e r s n y 2 3 3 数值例子 对初边值问题 v 利用格式 i 求解问题 v 的数值解 表中的值是 在节点 妒 m 处的误差值 其中 l 一5 0 0 j 一3 0 0 2 翥 附 格式 u i 1 n 计算得到的误差值 j 6 01 2 01 8 02 4 0 f厂 1 5 1 1 5 6 3 3 e 一0 5 1 7 8 8 1 4 e 0 5 1 7 8 8 1 4 e 一0 5 1 1 6 2 2 9 e 0 5 第三章解抛物型方程绝对稳定隐式差分格式 三层九点分布的隐格式一般计算量较大 两层六点分布的隐式差分格式有 c 一 格式 它是恒稳格式 但其截断误差阶不高 仅为o p 2 2 该格式局 部节点集的选取如图 本文利用组合差商法在与c 一 格式相同的节点集上构 造了一个新的恒稳隐式差分格式 该格式的截断误差阶为0 0 2 4 达到了饱 和精度 具体数值例子验证了理论分析结果 另一方面 该格式的构造也说明了利用组合差商法来构造商效率的差分格式 确实是可行的 3 1 基本差商及其线性关系 瞅局 1 3 币熙果到剐 b 杠 f o f o f o r f o f j 在该局部节点集上得到关于时问 空间的差商渐近表达式如下 删 1 盟 詈卜砌窘f 盯等 州窘卜盯等o 卦 軎b p 4 盥 詈i 葫窘b 盯譬o 窘i 口譬c 3 軎卜 p 2 酸喵 竖等盟一孙瑶 1 1 刎孰哪2 4 令 s s p d 月 一 卅 s 置p 口胛 6 6 阻 1 l 离b 堕连最一一一 堡 望兰 墨塑型薹塑至塑 塑塾鱼墨壁些墨苎童塑塑翌查堡皇竺壁旦 u 酬o uu n e r s 吖 就得到乘积型差商空间s s s 定理4 局部节点集 b 杠h f o f o m f o h f o o o f 上的五个差商 m 琅 m e 皿j 阻e 陬磁1 线性无关 扣 j 一 知 f h 一 d 一 娟喵一掣 h 1 h i 6 d 令a 1 f 0 o 1 2 0 1 f o 2 2 o oo r o o 古吾古 线性无关 定理5 乘积型差商空间s 的维数为5 筒一2 h r 搿 一t l f m 搿 易证r d 威 一5 故差商组 证明 j 由定理4 知 差商组 m 职 i 1 w 玢 6 扣 6 f 1 线性无关 华 对 一e 阻 明证 o o 1 一f o 1 一矿 三 o o乞一旷 f o o o 胪 o o土f土酽o o 一f o乞一矿o 一r o o 一旷o 0 1 一 0 l f o 0 0 o 0 o i r三旷 f l l 蜮一一一 堕圭垒苎 塞塑型重堕 壁 塑塑鱼茎塑婆墨苎壅垫塑曼互垦主堕鏖旦 u 圳o uu n n e r s n y i i 卜 证局部节点集 b 上的其他任意差商都可由上述五个基本差商线性表 出 不妨讨论空问差商 设任意一个空间差商形式为 e 1 一l 已2 h e 一 1 e 4 嚣 e 5 h 1 e 一篇 一 一 一 2 设 e 1 一1 e 2 h e 一 1 p 4 h 搿 掣 e 符 2 一 d 瓮卑嵋华坞芝卑地毕地壁等型frfn 一九一 其中e e e e e 5 为任意实数 只需说明d d 2 如 d d 的存在性即可 由f 生整理上式得 仃 一竺d 1 d e l 一里d 2 一勿 e 2 r 一里d 3 d 4 e 3 r 旦d l d 5 e 4 r 旦d 2 2 d 5 e 5 r 里d 3 d 5 e 6 r 即矩阵形式为面 j 其中 f i j 味南乞一一一 竺主丝苎 垂堡型叁堕 婴 塑竺垒茎塑堕丝堡垄丝塑笺立望 塑丝曼 vl 忆h o uu n e r s r r y 曰皇 1 o 2o 10 o1 o一2 01 d d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 易证d i m 孑 一d i n l 所以方程组占百一享有解 即局部节点集嘞上的其 他任意空间差商都可有上述五个基本差商线性表出 综 i i i 知d i i n 一5 3 2 格式构造及稳定性分析 令 厶 d a 啤t d 删 d 咻t 眦1 一 y 占 d d 阻 一o 其中 以 f 2 5 是待定参数 把各差商的渐近表达式代入 3 2 1 经整 理得 小小 靴刈 也汕窘卜仃譬 1 州 删 b 一啪 d 5 窘卜 笔 删 地 忡n n 一 为了使误差阶达到o 2 4 只需下列方程组 d l d 2 d 3 尊d 4 d s 盘1 d t d 3 0 3 2 2 1 r 耐 1 r d 一 1 1 2 m 丢d 0b 成立 由 3 2 2 得 办如 d b o o o d 2 o o o 盯7 o o o g 童胜点一一 壁 丝苎 重型篓堕兰苎 堕堡垒耋堕垦堡苎塑型堂坚塑壁墅型 生旦 vu l z h o uu n n e 融r r y d 一尼 一d 一 d m 丢c 吉一r d z 2 硝 7 d 一2 r d 一丢一r 吐 耐 一如 尉 一三嗦 由 3 2 1 舍去截断误差 用 表示m 的近似值 得到差分格式为 d l 一瓜t m 嚣 2 坩 d 一 d m 墨 f 3 2 一眠 r d 5 弘l d 一2 r d 5 3 瓜5 如 这样 由 3 2 3 上式可化为 1 6 r 沁蒿 1 0 1 2 r 弦 1 6 7 嚣 f 一 1 6 r 弘 l 1 0 一1 2 沁 1 6 r 沁 格式 的传播因子为a p 加 其中 p 一 一嗉 r p 一昙s 一坩 州一咭叫州 雕 其中 州一s 口 d 2 显然有1 p 卜i q l o 所以 s 1 因此 格式 恒稳定 5 6 1 另外由 3 2 2 成立 故 的截断误差阶是o p 2 4 a 所以有 定理6 格式 的误差精度阶是0 0 2 十 1 4 且绝对稳定 3 3 数值例子 对初边值问题 v 利用格式 求解问题 v 的数值解 表中的值是节点 勋 r 处的误差值 其中月一5 0 0 一3 0 0 一蠡 2 生 o s 正一一一 婴主笙兰 墨璺型兰塑 塑 塑堡垒墨堕堕丝塾堡塑塑型互堡 塑壁旦 一u i z h o uu e r s r r r 附 格式 计算得到的误差值 j 6 01 2 01 8 02 4 0 r 5 6 2 6 9 6 6 e 0 61 0 2 2 9 6 e 0 51 0 2 6 6 9 e 0 56 3 4 7 8 9 e 一0 6 立苎墟一一 堡主堡壅 垂墼型叁塑 塑主堕型垒篓塑堡丝墨垄塑塑型塑堡 塑生旦 vu 亿h o uu n e r s r r 丫 第四章隐式差分格式迭代并行算法 数值求解抛物型方程初边值问题的并行差分方法目前正在蓬勃发展中 本文 对隐式差分格式 i v 利用嵌套迭代方法构造一类绝对稳定的迭代并行算法 数值 例子表明该算法是高效率并行算法 4 1 算法构造 将绝对稳定的隐式差分格式 写成矩阵形式 爿u 6 其中 t a 1 71 l 1 j 6 二 令a m n 其中 彳f m 量l o 爿2 0 1 0 1 2 r1 6 r 1 6 r1 0 1 2 r 爿 一1 n 兰 1 6 r 1 0 1 2 r 0 l 一6 ri 1 0 1 2 r j m m 一 2 0 3 o o ooo 6 r 一10 o o j v i 一1 o 盒生醚点一一 丝主堡兰 墨堡里叁塑 堡 塑堡垒茎塑堕丝 鱼丝塑塑堡 堕盟 vu 酬o uu n e 融r r r m 2 m 一1 u 州 为u 1 的初始向量 在计算中令 n 舻 i u 对 于爿u 一6 有如下迭代m 扣 1 j 一 5 6 4 1 其中s 为迭代次数 易知算法 4 1 并行度可为 掣 内的任意一个整数 m a x n j 4 2 收敛性分析及数值例子 对于r 0 m 和a 都是严格占优 对算法 4 1 有 当r c 丢时 旷 卜器c t 当r 乏吉时 炒一w 卜篙c t 总之对v r 0 刮p 电c a 根据引理2 有 定理7 差分格式 的分段迭代并行算法 4 1 对v 0 都是收敛的 针对格式 及问题 v i l 玎 3 0 0 c p na1 2 0 0 0 空间节点把2 分成3 0 0 份 输出的为1 2 0 0 0 层上空间部分节点处的误差值 其中每层迭代的次数为1 0 次 分三个机子去算 附 1 2 0 0 0 层上空间部分节点处的误差值 j 6 0 1 2 01 8 02 4 0 r 5 1 1 8 9 2 8 e 0 6 1 9 2 5 8 7 e 0 61 9 2 6 0 9 e 0 61 1 8 8 0 3 e 0 6 r 皇5 0 1 0 9 6 6 7 e 0 8 1 7 7 8 5 3 e 一0 81 7 7 8 1 2 e 0 81 0 9 7 0 6 e 0 8 l 夸 l 姓一 一 堕堡奎 鲞塑型苎堕 塑主塑塑鱼苎塑塑基查塑些 堕壁 堂旦 一u 旺h o uu n i v e r s i 丁丫 致谢 本论文是在张大凯教授的悉心指导下完成的 从论文的选题到论 文的撰写 每一步都倾注了张老师大量的心血 特别是他教会了我如 何发现问题 如何解决问题 如何开展原创性工作 如何借鉴别人的 思想把握其实质 三年来 张老师给予我许多耐心的指导和帮助 使 我受益匪浅 他敏锐的科学洞察力 雄厚的知识基础 严谨的治学态 度 忘我的敬业精神 积极探索前沿科学的精神以及宽以待人的品格 永远是我学习的楷模 令我终生受益 在此论文完成之际 谨向我的 恩师表示深深的谢意和由衷的敬意 感谢三年来理学院的所有老师对我的关心和支持 同时感谢三年 来在生活 学习上给予了我众多帮助的同学和师弟师籼 我还要把深深的感激之情献给我的家人以及好友 感谢他们在我 学习期间给予的巨大支持和鼓励 使我可以全身心地投入到学习和工 作中 正是他们给予我的精神支持和生活帮助 使我能够顺利完成本 论文 谨以此文作为向他们的献礼 最后 对审阅本论文的各位专家 教授表示衷心的感谢 参考文献 1 戴嘉尊 邱建贤 微分方程数值解法 东南大学出版社 2 0 0 2 年2 月第一版 2 曾文平 多维抛物型方程的分支绝对稳定的显式格式 高等学校计算 数学学报 1 9 9 7 年6 月 3 梁洁 求解抛物型方程的高精度并行算法 贵州大学学报 自然科学 版 2 0 0 4 年2 月第一期 4 骆志刚 李晓梅等 三对角线性方程组的一种有效分布式并行算法 计 算机研究与发展 2 0 0 0 年7 月第7 期第3 7 卷 5 胡家赣 线性代数方程组的迭代解法 m 北京 科学出版社 1 9 9 1 7 3 7 5 6 胡健伟 汤怀民 微分方程数值方法 科学出版社 1 9 9 8 年 7 金承日 解抛物型方程的高精度显式差分格式 计算数学 1 9 9 1 年2 月第1 期 8 周顺兴 解抛物型偏微分方程的高精度差分格式 计算数学 1 9 8 2 年 5 月 第二期 9 杨情民 解抛物型方程的一族显格式 高等学校计算数学学报 1 9 8 1 年1 2 月第四期 1 0 李荣华 冯果忱 微分方程数值解 第三版 高等教育出版杜 1 9 9 5 年 1 1 李庆扬 王能超等 数值分析 华中理工大学出版社 1 9 8 2 年7 月第一版 1 2 张莉 张大凯 解抛物型方程组合差商法 贵州大学学报 自然科学版 2 0 0 4 年1 1 月第四期 1 3 张宝琳 谷同祥等 数值并行计算原理与方法 国防工业出版社 1 9 9 8 年