【电动力学课件】2-5-6 格林函数-电多极矩.pdf

本节研究的问题 本节研究的问题 给定给定V内电荷分布内电荷分布 和和V的边界的边界S上各点的电势上各点的电势 如何借助于有关如何借助于有关点电荷的较简单的边值问题点电荷的较简单的边值问题解决解决 给定给定V内电荷分布内电荷分布 和电场法向分量和电场法向分量 S 第一类边值问题第一类边值问题 第二类边值问题第二类边值问题 S n 较复杂的边值问题 较复杂的边值问题 2 5 格林函数 1 一 点电荷密度的一 点电荷密度的 函数表示函数表示 1 函数函数 0 x 1d V V x x 0 积分区域积分区域V包含包含x 0点点 x x 0 函数不是通常意义下的函数 具体表达式也不唯函数不是通常意义下的函数 具体表达式也不唯 一 一 某些连续函数的极限可以看作某些连续函数的极限可以看作 函数 例如 函数 例如 1d xxf a a 若若a 0而曲线与而曲线与 x 轴之间的面积不变 则轴之间的面积不变 则 f x 极极 限就可以看作限就可以看作 函数 函数 2 处于处于原点原点上的上的单位点电荷单位点电荷的密度用函数的密度用函数 x 表示表示 1d d VV VVxx 2 点电荷的电荷密度点电荷的电荷密度 处于处于原点原点上的点电荷上的点电荷Q的密度可用的密度可用Q x 表示表示 即即 xx Q 0 xx Q d QVQ V xx 积分区域积分区域V包含包含x x 点点 x x 点点 处于处于x 点点上的点电荷上的点电荷Q的密度可用的密度可用Q x x 表示表示 即即 xxx Q 3 3 函数的一个重要函数的一个重要性质性质 若若 f x 在在x 点附近连续点附近连续 则 则 d xxxx fVf V 同理 若同理 若 f x 在原点附近连续 则在原点附近连续 则 0 d fVf V xx 这一性质称为这一性质称为 函数的选择特性函数的选择特性 4 一个处于一个处于x 点上的点上的单位点电荷单位点电荷所激发的电势满足所激发的电势满足 二 格林函数二 格林函数 1 0 2 xxx 若方程的解满足第一类边界条件若方程的解满足第一类边界条件 1 格林格林函数的定义函数的定义 的解就叫做的解就叫做第一类边值问题的格林函数第一类边值问题的格林函数 0 S 则方程 则方程 若方程的解满足第二类边界条件若方程的解满足第二类边界条件 则方程的解就叫做则方程的解就叫做第二类边值问题的格林函数第二类边值问题的格林函数 Sn S0 1 泊松方程泊松方程 5 格林函数是为了格林函数是为了求解实际问题的求解实际问题的泊松方程而泊松方程而找到的特找到的特 殊函数殊函数 不同的实际问题对应不同的格林函数不同的实际问题对应不同的格林函数 格林函数一般用格林函数一般用G表示 则表示 则G所满足的微分方程为 所满足的微分方程为 1 0 2 xxxx G 6 2 格林格林函数与实际问题的函数与实际问题的对应关系对应关系 格林函数格林函数 实际问题实际问题 求解区域求解区域 V内内 已知已知 x xx 方程 方程 1 0 2 xx 1 0 2 xxxx G 边界边界S上 上 S 0 S G S n 已知已知令令 令令已知已知 Sn G S0 1 7 在无界空间中在无界空间中x 点上放一个单位点电荷 激发的电点上放一个单位点电荷 激发的电 222 0 0 4 1 4 1 zzyyxx r x 因此 无界空间的格林函数为因此 无界空间的格林函数为 222 0 4 1 zzyyxx G xx 3 常见的几个常见的几个格林格林函数 函数 1 无界空间的格林函数无界空间的格林函数 势为势为 证明略 证明略 8 当当Q 1时时 由上节例由上节例1可得上半空间第一类边值可得上半空间第一类边值 问题的格林函数问题的格林函数 222 0 1 4 1 zzyyxx G xx 1 222 zzyyxx 以导体平面上任一点为坐标原点以导体平面上任一点为坐标原点 设点电荷所在设点电荷所在 点的坐标为点的坐标为 x y z 场点坐标为场点坐标为 x y z 上半空间格上半空间格 林函数为 林函数为 2 上半空间的格林函数上半空间的格林函数 9 3 球外空间的格林函数球外空间的格林函数 以球心以球心O为坐标原点为坐标原点 设电荷所在点设电荷所在点P 的坐标为的坐标为 x y z 场点场点P的坐标为的坐标为 x y z y z x R R R0 x x r r o 10 2 1 2 0 4 0 22 0 2 1 22 cos2 1 cos2 cos sinsincoscoscos RRRRRR RR R r RRRRr xx xx cos2 1 cos2 1 4 1 2 1 2 0 2 0 2 1 22 0 RRR R RR RRRR G xx 其中 其中 根据镜像法得根据镜像法得 222 zyxR 222 zyxR 上节例2中a对应于R b对应于 R02 R 镜像电荷所在点的坐标为 x R R x a b 2 2 0 11 三 格林公式和边值问题的解三 格林公式和边值问题的解 2 1 Green公式公式 2 二式相减 得到二式相减 得到 22 SV S nn Vd d 22 VV VVd d 22 这就是这就是格林公式格林公式 它对任意两个标量函数都适用 它对任意两个标量函数都适用 12 先考虑第一类边值问题先考虑第一类边值问题 设 设V内有电荷分布内有电荷分布 边界边界S上给定电势上给定电势 s 求 求V 内的电势内的电势 x 设区域内有两个函数设区域内有两个函数 x 和和 x 格林公式 格林公式 SV S nn V d d 22 取取 x 为实际问题的解 满足泊松方程为实际问题的解 满足泊松方程 0 2 1 2 边值问题的解边值问题的解 13 取取 x 为格林函数为格林函数G x x 将 将x与与x 互换 则有互换 则有 VGG V d 22 xxxxxx SG nn G S d xxx x xx V VGd xxxx SG nn G S d 0 xxxxx 这就是用这就是用Green函数求解静电问题的一种函数求解静电问题的一种形式解形式解 14 所以所以第一类边值问题的解为第一类边值问题的解为 SG n VG SV d d 0 xxxxxxx 由这公式 只要知道由这公式 只要知道格林函数格林函数G x x 在给定边界 在给定边界 上的上的 s值情形下就可算出区域内的值情形下就可算出区域内的 x 因而第一 因而第一 类边值问题完全解决 类边值问题完全解决 在第一类边值问题中 格林函数满足边界条件在第一类边值问题中 格林函数满足边界条件 0 S Gxx 15 对第二类边值问题对第二类边值问题 由于由于G x x 是是x点上单位点点上单位点 电荷所产生的电势电荷所产生的电势 其电场通量在边界面其电场通量在边界面S上应上应 等于等于1 0 即即 0 1 d SG n S xx 满足上式的最简单的边界条件是满足上式的最简单的边界条件是 S G n S0 1 x xx V VGd xxxx SG nn G S d 0 xxxxx 16 所以 所以 第二类边值问题的解第二类边值问题的解 V VGd xxxx 其中其中s是电势在界面是电势在界面S上的平均值 上的平均值 S S S n G d 0 xxx 17 例例 在无穷大导体平面上有半径为在无穷大导体平面上有半径为a a 的圆 圆内和圆外用极狭窄的绝缘的圆 圆内和圆外用极狭窄的绝缘 环绝缘 设圆内电势为环绝缘 设圆内电势为V V0 0 导体板 导体板 其余部分电势为其余部分电势为0 0 求上半空间的电 求上半空间的电 势 势 18 以圆心为柱坐标系原点 以圆心为柱坐标系原点 z z轴与平板轴与平板 垂直 垂直 R R为空间点到为空间点到z z轴的距离 上轴的距离 上 半空间的格林函数用柱坐标表出为半空间的格林函数用柱坐标表出为 cos22 1 cos22 1 4 1 2222 2222 0 RRz zzRzR RRz zzRzR xxG 解解 19 因为在上半空间因为在上半空间 0 0 因此这问题 因此这问题 是是拉普拉斯方程第一类边值问题拉普拉斯方程第一类边值问题 上半空间的电势为上半空间的电势为 SxxG n xx S d 0 先计算格林函数的法向导数先计算格林函数的法向导数 23 222 00 cos2 2 1 RRRzR z z G n G z 20 由于由于S S上只有圆内部分电势不为零 所以只需对上只有圆内部分电势不为零 所以只需对 r r a a积分积分 23 22 2 0 2 0 23 22 0 0 2 0 23 222 0 0 cos2 1 1 dd 2 cos2 dd 2 d zR RRR zR RR zV RRRzR z RR V Sx n G a a 当当R R2 2 z z2 2 a a2 2时 可以把被积函数展开时 可以把被积函数展开 得 得 2 22 22 22 2 23 22 2 0 2 22 2 2 22 2 2 00 23 22 0 8 15 4 3 1 2 cos2 8 15cos2 2 3 1dd 2 zR aR zR a zR zaV zR RRR zR RRR RR zR zV x a 21 jiji ji jj j ii i eebaebea 3 1 3 1 3 1 ab ii i zzyyxx eaeaeaea 3 1 a jj j e b 3 1 b 一 张量和并矢的运算一 张量和并矢的运算 1 定义 定义 设矢量设矢量 定义定义a b的的并矢并矢为 为 2 6 电多极矩电多极矩 22 ii i eeeeeeeeI 3 1 332211 100 010 001 DeeDeeGTGT jiij ij jiijij ij 2 单位张量 单位张量 3 张量的运算法则 张量的运算法则 加法 加法 333231 232221 131211 TTT TTT TTT TTeeT ijji ij ij ab 则则a b的并矢是一个的并矢是一个张量张量 23 bacabcc T cbac T adcbcdab GT dacbcdab GT 同样 定义叉乘同样 定义叉乘 两并矢点乘 两并矢点乘 bacabcc T 点乘 点乘 cbacabc T cc TT 可见可见 左点乘左点乘 右点乘右点乘 24 二 电势的多极展开二 电势的多极展开 222 zyxR xx r 222 zzyyxx 在区域在区域 V 内取一点内取一点 O 作为作为 坐标原点 以坐标原点 以 R 表示由原点表示由原点 到场点到场点 P 的距离 有 的距离 有 O x x xxr P 25 在在一元函数一元函数f x 情况下 在情况下 在原点原点x 0邻域邻域的泰勒的泰勒 级数为 级数为 0 2 1 0 0 2 fxf xfxf 如果在如果在x a邻域邻域展开 泰勒级数是 展开 泰勒级数是 2 1 2 afaxafaxafxf 对于对于三元函数三元函数f x y z 在 在原点原点 x 0 y 0 z 0邻域邻域 的泰勒级数是 的泰勒级数是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f z zf y yf x xfzyxf 0 0 0 2 1 2 f z z y y x x 26 如果在如果在x a y b z c 点邻域点邻域展开 则展开式为展开 则展开式为 cbafzyxf 2 1 2 cbaf z cz y by x ax 1 1 cbaf z cz y by x ax 27 cbaf cbaf z cz 2 2 2 2 2 2 cbaf z czcbaf y by 2 1 2 2 2 cbaf x ax cbaf y bycbaf x ax 2 2 22 cbaf zy czbycbaf yx byax 2 2 cbaf xz axcz 28 有了以上泰勒级数展开式 用有了以上泰勒级数展开式 用1 r代替代替f x 因 因r是是 xx 的函数 即的函数 即 xxr 把 把x场点固定不变 场点固定不变 而让源点而让源点 x 变化 并把变化 并把 x 在原点在原点O附近展开 有附近展开 有 0000 1 1 1 11 xxxx rz z ry y rx x rr 0 2 2 2 0 2 2 2 1 1 xx rz z ry y 0 2 2 2 1 2 1 x rx x 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 xxx rzz xz rzy zy ryx yx 29 因为因为 z e y e x e zyx z z y y x x x Rr x 11 0 Rr x 11 0 所以所以 0000 1 1 1 1 xxxx rz z ry y rx x r 又因为又因为 所以所以 RR 11 x zeyexe zyx x 30 从而得到从而得到 V r V 0 4 d x x V Rxx xx RR ji ji ji V d 1 2 111 4 1 2 0 xx V VQd x V Vd xxp V jiij VxxDd 3x 令 令 1 6 11 4 1 2 0 Rxx D RR Q ji ij ji px 则则电荷体系激发的电荷体系激发的势在远处的多极展开式势在远处的多极展开式 p称为体系的电偶极矩 称为体系的电偶极矩 张量张量Dij称为体系的称为体系的电四极矩电四极矩 31 R Q 0 0 4 三 各项的物理意义三 各项的物理意义 1 展开式的第一项是在原点的 展开式的第一项是在原点的点电荷点电荷Q 激发的电激发的电 势 势 可以把可以把电荷体系看作集中于原点上电荷体系看作集中于原点上 2 展开式的第二项是 展开式的第二项是电偶极矩电偶极矩p产生的电势 产生的电势 3 00 1 4 1 4 1 RR Rp p 1 2 32 如果一个体系的电荷分布对原点对称 它的电偶如果一个体系的电荷分布对原点对称 它的电偶 极矩为零 只有极矩为零 只有对原点不对称的电荷分布对原点不对称的电荷分布才有电才有电 偶极矩 偶极矩 V Vd xxp 3 展开式的第三项是电四极矩 展开式的第三项是电四极矩Dij产生的电势 产生的电势 Rxx D ji ij ji 1 6 1 4 1 2 0 2 6 个分量 个分量 由上式 电四极矩张量由上式 电四极矩张量Dij是是对称张量对称张量 它有 它有 3 D11 D22 D33 D12 D21 D13 D31 D23 D32 33 电四极矩也可以用并矢形式写为 电四极矩也可以用并矢形式写为 VD V d 3xxx R D 1 6 1 4 1 0 2 展开式中的第三项用并矢形式写为 展开式中的第三项用并矢形式写为 0 1 2 R 0 R 可以证明 可以证明 电四极矩只有五个独立分量电四极矩只有五个独立分量 证明证明 当当时有时有 0 1 ji ji ij 引入符号引入符号 0 1 2 R 0 1 2 Rxx ii ij ji 34 VrxxD ijjiij d 33 2 x 0 332211 DDD 我们重新定义电四极矩张量 我们重新定义电四极矩张量 则满足关系 则满足关系 因而因而只有只有 5 个独立分量个独立分量 VyVx d d 22 xx VrVz d 3 1 d 22 xx 0 332211 DDD 若电荷分布有若电荷分布有球对称性球对称性 因而因而 则则 0 312312 DDD而且显然有而且显然有 因此因此球对称性分布电荷没有电四极矩球对称性分布电荷没有电四极矩 35 VrVz d d 3 22 xx 0 2 1 0 33221133 DDDD 若若电荷分布偏离球对称性电荷分布偏离球对称性 一般会出现电四极 一般会出现电四极 矩 例如沿矩 例如沿 Z 轴方向拉长了的旋转椭球体 若轴方向拉长了的旋转椭球体 若 其内电荷分布均匀 则 其内电荷分布均匀 则 因而出现电四极矩因而出现电四极矩 电四极矩的出现标志着电四极矩的出现标志着对球对称的偏移对球对称的偏移 它反映 它反映 电荷分布的形状 电荷分布的形状 36 例例均匀带电的长形旋转椭圆球体半均匀带电的长形旋转椭圆球体半 长轴为长轴为a a 半短轴为 半短轴为b b 带总电荷 带总电荷QQ 求它的电四极矩和远处的电势 求它的电四极矩和远处的电势 37 取取z z轴为旋轴为旋 转轴 椭转轴 椭 球方程为球方程为 1 2 2 2 22 a z b yx 椭球所带电荷椭球所带电荷 密度为密度为 2 0 4 3 ab Q 电四极矩为电四极矩为 VrxxD ijjiij d3 2 0 由对称性由对称性 0ddd VzxVyzVxy 解解 38 因此因此 0 312312 DDD 由对称由对称 性得性得 15 4 d 15 4 dd 23 2 4 22 ba Vz ab VyVx 因此因此 QbaDDD QbaVxzVrzD 22 332211 2222 0 22 033 5 1 2 1 5 2 d22d3 39 电四极矩产生的势为电四极矩产生的势为 5 22 22 0 2 2 33 0 2 2 2 2 2 2 33 0 2 2 33 2 2 22 2 2 11 0 3 40 1 2 3 24 1 1 2 1 24 1 1 24 1 R Rz ba Q Rz D Rzyx D Rz D y D x D 椭球的电偶极矩为零 总电荷为椭球的电偶极矩为零 总电荷为QQ 在远 在远 处的势准确至四极项为处的势准确至四极项为 3 222 0 1cos3 10 1 4R ba R Q 40 建立的电势为建立的电势为 另一个电荷系 另一个电荷系建立的电势为建立的电势为设电荷系设电荷系 四 电荷体系在外电场中的能量四 电荷体系在外电场中的能量 e e 总电荷分布为 总电荷分布为 21 xxx e总 总电场能量为 总电场能量为 V VWd 2 1 总总总 V ee Vd 2 1 V ee VV ee VVVd 2 1 d 2 1 d 2 1 41 在外场在外场该式即为电荷体系该式即为电荷体系 和和第一 二项分别是第一 二项分别是 e 单独存在时的单独存在时的自作用能自作用能