江西省新八校联考高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

2015年江西省新八校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1对于集合a=x|x=2k+1，kn和集合b=x|x=a*b，a，ba，若满足ba，则集合b中的运算“*”可以是（）a加法b减法c乘法d除法2复数z为纯虚数，若（2i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）ab2c2d3下列关于命题的说法错误的是（）a命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”b“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数”的充分不必要条件c若命题p：nn，2n1000，则p：nn，2n1000d命题“x（，0），2x3x”是真命题4数列an中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（nn+），则a7=（）a2b1c1d25已知函数f（x）=sin（2x+），则要得到函数f（x）的图象只需将函数g（x）=sin2x的图象（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度6已知不等式组的解集记为d，则对（x，y）d使得2xy取最大值时的最优解是（）a（2，1）b（2，2）c3d47从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位奇数，这样的三位数共有（）a24个b30个c36个d48个8执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的n（nn+）值可能为（）a5b6c7d89已知12sin5cos=13，则tan=（）abcd10设f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点p，满足|pf2|=|f1f2|，且原点o到直线pf1的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）a4x3y=0b3x5y=0c3x4y=0d5x3y=011某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为（）ab5c7d12已知函数f（x）=，则关于x的方程f（2x2+x）=k（2k3）的根的个数不可能为（）a6b5c4d3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡相应的位置上）13（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=14在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点a，b，c满足， =+2， =3+m若a，b，c三点构成以b为直角的直角三角形，则实数m的值为15观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为16在abc中，设ad为bc边上的高，且ad=bc，b，c分别表示角b，c所对的边长，则+的最大值是三、解答题（本大题共5小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的公比q1，前n项和为sn，s3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列bn满足关系式bn（3n5）=bn1（3n2）其中n2，nn+，且b1=1（1）求数列an及bn的通项公式；（2）设a=a1，a2，a10，b=b1，b2，b50，c=ab，求集合c中所有元素之和18为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量x表示所抽取的4名学生中得分在80，90）内的学生人数，求随机变量x的分布列及数学期望19如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=2ad=2cd=2，pc2，e是pb的中点（1）求证：平面eac平面pbc；（2）若直线pa与平面eac所成角的正弦值为，求平面pac与平面ace夹角的余弦值20如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆+=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd当直线ab斜率为0时，|ab|+|cd|=5（1）求椭圆的方程；（2）求由a，b，c，d四点构成的四边形的面积的取值范围21已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x0，ar是常数（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：ar，存在（1，e），使f（）=四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22如图，在abc中，cd是acb的角平分线，adc的外接圆交bc于点e，ab=2ac（）求证：be=2ad；（）当ac=3，ec=6时，求ad的长23以x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知射线l：=与曲线c：（t为参数）相交于a，b两点（1）写出射线l的直角坐标方程和曲线c的普通方程；（2）求线段ab的中点的极坐标24设关于x的不等式|x2|a（ar）的解集为a，且a， a（1）对任意的xr，|x1|+|x3|a2+a恒成立，且an，求a的值（2）若a+b=1，a，br+，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值2015年江西省新八校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1对于集合a=x|x=2k+1，kn和集合b=x|x=a*b，a，ba，若满足ba，则集合b中的运算“*”可以是（）a加法b减法c乘法d除法【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】集合【分析】根据奇数+奇数=偶数，奇数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，不一定是整数，即可判断出【解答】解：由于奇数+奇数=偶数，奇数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，不一定是整数，因此若满足ba，则集合b中的运算“*”可以是乘法故选：c【点评】本题考查了整数的运算性质、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2复数z为纯虚数，若（2i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）ab2c2d【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】把等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，由实部等于0且虚部不等于0求解实数a的值【解答】解：由（2i）z=a+i，得：，z为纯虚数，解得：a=故选：d【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题3下列关于命题的说法错误的是（）a命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”b“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数”的充分不必要条件c若命题p：nn，2n1000，则p：nn，2n1000d命题“x（，0），2x3x”是真命题【考点】特称命题；全称命题【专题】阅读型【分析】选项a是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项b看由a=2能否得到函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数，反之又是否成立；选项c、d是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式【解答】解：因为命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”，所以a正确；由a=2能得到函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数，反之，函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项b正确；命题p：nn，2n1000，的否定为p：nn，2n1000，所以选项c正确；因为当x0时恒有2x3x，所以命题“x（，0），2x3x”为假命题，所以d不正确故选d【点评】本题考查了特称命题的否定，特称命题的否定为全称命题，注意命题格式的书写，属基础题4数列an中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（nn+），则a7=（）a2b1c1d2【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用递推关系式，逐步求解即可【解答】解：数列an中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（nn+），可得a3=1，a4=1，a5=2，a6=1，a7=1，故选：c【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，由于考查的项数不多，可以直接求解5已知函数f（x）=sin（2x+），则要得到函数f（x）的图象只需将函数g（x）=sin2x的图象（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：c【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题6已知不等式组的解集记为d，则对（x，y）d使得2xy取最大值时的最优解是（）a（2，1）b（2，2）c3d4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）设z=2xy，则y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点c时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大即，即c（2，1），故使得2xy取最大值时的最优解是（2，1），故选：a【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法7从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位奇数，这样的三位数共有（）a24个b30个c36个d48个【考点】排列、组合的实际应用【专题】排列组合【分析】根据先选再排的原则，从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，考虑0的特殊性，再进行全排列，问题得以解决【解答】解：由题意，选出一个偶数和两个奇数，有0时， =3种，此时满足题意的三位奇数有：32=6种没有0时， =6种选法，组成没有重复数字的三位奇数，有622=24种共有6+24=30种故选：b【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是正确理解偶的含义，以及计数原理，且能根据问题的要求进行分类讨论，本题考查了推理判断的能力及运算能力8执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的n（nn+）值可能为（）a5b6c7d8【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=105，i=9时由题意，应该不满足条件9n，输出s的值为105，由7n9，即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=1满足条件in，s=1，i=3满足条件in，s=3，i=5满足条件in，s=15，i=7满足条件in，s=105，i=9此时，由题意，应该不满足条件9n，退出循环，输出s的值为105故7n9，故选：d【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题9已知12sin5cos=13，则tan=（）abcd【考点】三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到=+2k，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可【解答】解：由12sin5cos=13，得sincos=1，设cos=，则sin=，则tan=，则方程等价为sin（）=1，则=+2k，即=+2k，则tan=tan（+2k）=tan（+）=；故选b【点评】本题主要考查三角函数求值，利用辅助角公式结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键10设f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点p，满足|pf2|=|f1f2|，且原点o到直线pf1的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）a4x3y=0b3x5y=0c3x4y=0d5x3y=0【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出双曲线的渐近线方程【解答】解：依题意|pf2|=|f1f2|，可知三角形pf2f1是一个等腰三角形，f2在直线pf1的投影是其中点，由勾股定理可知|pf1|=4b根据双曲定义可知4b2c=2a，整理得c=2ba，代入c2=a2+b2整理得3b24ab=0，求得=，双曲线的渐近线方程为y=x，即4x3y=0故选：a【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题11某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为（）ab5c7d【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图想象出空间几何体，进而求出几何体外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案【解答】解：该几何体的底面是边长为1的正三角形，侧棱垂直于底面，长度为，设球心到底面中心的距离为d，球的半径为r，则正三角形的外接圆的半径为，r2=（）2+=，球面的表面积为4r2=故选：d【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查了由三视图得到直观图，其中几何体的形状判断是解答的关键，属于中档题12已知函数f（x）=，则关于x的方程f（2x2+x）=k（2k3）的根的个数不可能为（）a6b5c4d3【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】画出函数f（x）= 的图象，令t=2x2+x，分类讨论求得y=a与y=f（t）的图象的交点个数，可得结论【解答】解：画出函数f（x）= 的图象如右图，令t=2x2+x，当2a3时，y=a与y=f（t）的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为t1，t2，t3且t10t2t3，当2x2+x=t2时，该方程有两解，2x2+x=t3时，该方程也有两解当2x2+x=t1时，该方程有0个解或1个解或2个解，当2a3时，方程f（2x2+x）=a的根的个数可能为4个，5个，6个当a3时，y=a与y=f（t）的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为t4，t5且0t4t5，当2x2+x=t4时，该方程有两解，2x2+x=t5时，该方程也有两解，当a3时，方程f（2x2+x）=a的根的个数为4个综上所述：方程f（2x2+x）=a（a2）的根的个数可能为4个，5个，6个，不可能是3个，故选：d【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡相应的位置上）13（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=【考点】二项式系数的性质【专题】二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 tr+1=x10rar，令10r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3=120a3=15，a=，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点a，b，c满足， =+2， =3+m若a，b，c三点构成以b为直角的直角三角形，则实数m的值为1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】写出两个向量的坐标，利用向量的运算法则求出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出m的值【解答】解： =+2， =3+m，=（1，2），=（3，m），=（2，m2），a，b，c三点构成以b为直角的直角三角形，=0，2+2（m2）=0，解得：m=1，故答案为：1【点评】本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件15观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2【考点】归纳推理【专题】计算题【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题16在abc中，设ad为bc边上的高，且ad=bc，b，c分别表示角b，c所对的边长，则+的最大值是【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；解三角形【分析】利用三角形的面积公式表示出三角形abc的面积为bcsina，由已知高ad=bc=a，利用底与高乘积的一半表示三角形abc的面积，两者相等表示出sina，然后再利用余弦定理表示出cosa，变形后，将表示出的sina代入，得到2cosa+sina，利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的值域求出最大值【解答】解：bc边上的高ad=bc=a，sabc=，sina=，又cosa=，=2cosa+sina（cosa+sina）=sin（+a），（其中sin，cos=），的最大值故答案为：【点评】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的公比q1，前n项和为sn，s3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列bn满足关系式bn（3n5）=bn1（3n2）其中n2，nn+，且b1=1（1）求数列an及bn的通项公式；（2）设a=a1，a2，a10，b=b1，b2，b50，c=ab，求集合c中所有元素之和【考点】数列与函数的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由条件利用等差数列、等比数列的定义和性质求出首项和公差、公比，从而求得数列an及bn的通项公式（2）哟条件利用前n项和公式求得等比数列an的前10项和s10、等差数列bn前50项和 t50 的值，再求得a与b的公共元素的和，从而求得集合c中所有元素之和【解答】解：（1）因为s3=7，a1+a2 +a3=7因为a1+3，3a2，a3+4成等差数列，所以，a1+3，+a3+4=6a2 ，求得a2 =a1q=2 又由a1+a2 +a3=7得a1 +a1q2=5 ，由可得 2q25q+2=0，解得q=2，或q=（舍去），a1=1，an =2n1另由于bn满足关系式bn（3n5）=bn1（3n2），即=所以由累乘法得=3n2，而b1=1，所以 bn=3n2 （n2），当n=1时也满足，故bn=3n2（2）等比数列an的前n项和为sn，则 s10=1023等差数列bn前n项和为tn，则 t50=3725，因为a与b的公共元素有1，4，16，64，其和为85，所以集合c中所有元素之和为1023+372585=4663【点评】本题主要考查等差数列及等比数列的定义、性质、通项公式，前n项和公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题18为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量x表示所抽取的4名学生中得分在80，90）内的学生人数，求随机变量x的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（1）根据概率的求解，样本容量，运用直方图得出y=0.004，（2）确定人数x的可能取值为2，3，4，利用概率公式，结合组合公式分别求解p（x=2）=，p（x=3）=，p（x=4）=列出分布列求解数学期望即可【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n=50，y=0.004，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030（2）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，分数在90.100内的学生有2人，共7人抽取的4名学生中得分在80，90）的人数x的可能取值为2，3，4，则p（x=2）=，p（x=3）=，p（x=4）=所以x的分布列为234p所以ex=2=【点评】本题考查了离散型的概率分布问题，数学期望，仔细阅读题意，准确计算，考虑学生解决实际问题的能力，属于中档题19如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=2ad=2cd=2，pc2，e是pb的中点（1）求证：平面eac平面pbc；（2）若直线pa与平面eac所成角的正弦值为，求平面pac与平面ace夹角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定【专题】空间向量及应用【分析】（1）由题意可得acpc，再由勾股定理可得acbc，可得ac平面pbc，进而可判平面eac平面pbc；（2）以c为原点，建立空间直角坐标系如图所示，分别可得平面pac和eac的法向量，待定系数可得a值，由向量的夹角公式可得答案【解答】解：（1）pc平面abcd，ac平面abcd，acpc，ab=2，ad=cd=1，ac=bc=，ac2+bc2=ab2，acbc，又bcpc=c，ac平面pbc，ac平面eac，平面eac平面pbc；（2）以c为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则c（0，0，0），a（1，1，0），b（1，1，0），设p（0，0，a）（a0），则e（，），=（1，1，0），=（0，0，a）（a0），=（，），=（1，1，a），设=（x，y，z）为平面pac的法向量，则，可取=（1，1，0）同理平面eac的法向量=（a，a，2），依题意，设直线pa与平面eac所成角为，则sin=|cos，|=，解得a=1，或a=2（舍去，此时不满足pc2），=（1，1，2），|cos，|=平面pac与平面ace夹角的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，涉及平面与平面垂直的判定，属中档题20如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆+=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd当直线ab斜率为0时，|ab|+|cd|=5（1）求椭圆的方程；（2）求由a，b，c，d四点构成的四边形的面积的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系和弦长ab，cd，解方程可得c，进而得到椭圆方程；（2）讨论当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，当两弦斜率均存在且不为0时，设a（x1，y1），b（x2，y2），设出直线ab的方程，可得cd的方程，分别代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由四边形的面积公式，结合基本不等式即可得到取值范围【解答】解：（1）由题意知，e=，则a=c，b=c，ab+cd=2a+=c+c=5，所以c=所以椭圆的方程为+y2=1 （2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知s四边形=abcd=2； 当两弦斜率均存在且不为0时，设a（x1，y1），b（x2，y2），且设直线ab的方程为y=k（x），则直线cd的方程为y=（x）将直线ab的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+4k2）x28k2x+12k24=0，所以ab=|x1x2|=，同理cd= 所以s四边形=abcd=2，由4（k+）2+94（2）2+9=25，当且仅当k=1时取等号s四边形，2），综合与可知，s四边形，2）【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，运用基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题21已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x0，ar是常数（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：ar，存在（1，e），使f（）=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）讨论a=0，a0，a0，运用对数函数的性质，以及分离参数，构造函数应用导数求极值、最值，即可得到a的范围；（3）设函数g（x）=f（x）=2x（e+1）+，计算g（1），g（e），讨论当ae（e1）2或时，由零点存在定理，即可得证；当时，求出g（x）的最小值，判断它小于0，再由零点存在定理，即可得证【解答】（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线为y（1+a）=（2+2a）（x1），即y=（1+a）（2x1）；（2）解：a=0时，f（x）=x2，因为x0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）0；a0时，由对数函数性质知，x（0，1）时，lnx（，0），alnx（，0），从而“x0，f（x）=x2+a（x+lnx）0”不成立；a0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）0得，设，g（x）=+，x（0，1）1（1，+）g（x）0+g（x）极小值则g（x）g（1）=1，从而，1a0；综上所述，常数a的取值范围1a0（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f（x）=2x（e+1）+，当ae（e1）2或时，0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在（1，e），使g（）=0，即（1，e），使f（）=；当时，g（1）、g（e）0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在（1，e）（或），使g（）=0 综上所述，ar，存在（1，e），使f（）=【点评】本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，同时考查函数的零点存在定理，以及分类讨论的思想方法，属于综合题四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22如图，在abc中，cd是acb的角平分线，ad