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MATLAB在数学建模中的作用 姓名：冯文俊 学号：201464100129【摘要】通过对实际问题的抽象和简化,引入一些数学符号、变量和参数,运用某些规律,用数学语言和数学方法建立变量、参数间的内在联系,得出一个数学结构,该数学结构是实现的一个近似刻画,称之为数学模型。建立和求解数学模型的全过程就是数学建模,它包括模型的建立、求解、分析、检验循环往返的全过程,MATLAB语言正是处理此类问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用。1. 数学建模的概念定义：数学模型，就是运用科学抽象法，把复杂的研究对象转化为数学问题，经合理简化后，建立起揭示研究对象定量的规律性的数学关系式(或方程式)。这既是数学方法中最关键的一步，也是最困难的一步；数学建模是指对现实世界的一特定对象,为了某特定目的,做出一些重要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构,用它来解释特定现象的现实性态,预测对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计满足某种需要的产品等。2. 数学建模的一般步骤第一步：根据研究对象的特点，确定研究对象属哪类自然事物或自然现象，从而确定使用何种数学方法与建立何种数学模型。即首先确定对象与应该使用的数学模型的类别归属问题，是属于“必然”类，还是“随机”类；是“突变”类，还是“模糊”类。第二步：确定几个基本量和基本的科学概念，用以反映研究对象的状态。这需要根据已有的科学理论或假说及实验信息资料的分析确定。例如在力学系统的研究中，首先确定的摹本物理量是质主(m)、速度(v)、加速度()、时间(t)、位矢(r)等。必须注意确定的基本量不能过多，否则未知数过多，难以简化成可能数学模型，因此必须诜择出实质性、关键性物理量才行。第三步：抓住主要矛盾进行科学抽象。现实研究对象是复杂的，多种因素混在一起，因此，必须变复杂的研究对象为简单和理想化的研究对象，做到这一点相当困难，关键是分清主次。如何分清主次只能具体问题具体分析，但也有两条基本原则：一是所建数学模型一定是可能的，至少可给出近似解；二是近似解的误差不能超过实际问题所允许的误差范围。第四步：对简化后的基本量进行标定，给出它们的科学内涵。即标明哪些是常量，哪些是已知量，哪些是待求量，哪些是矢量，哪些是标量，这些量的物理含义是什么?第五步：按数学模型求出结果。第六步：验证数学模型。验证时可根据情况对模型进行修正，使其符合程度更高，当然这以求原模型与实际情况基本相符为原则。简而言之1) 明确问题2) 进行合理的假设;一般模型假设遵从以下原则:目的性原则:从原型中抽象出与建模目的有关的因素,简化掉无关的因素或关系不大的因素。简明性原则:所给的假设条件要简单,精确,有利于构造模型。真实性原则:设条款要符合情理,简化带来的误差应满足实际问题所允许的范围内。全面性原则:在对事物原型本身作出的假设的同时,还要给出原型所处的环境条件。3) 构造模型4)模型求解5)模型的检验与修正3.数学建模的一般方法1）机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。l比例分析法-建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。l代数方法-求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。l逻辑方法-是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等域的实际问题,在决策，对策等学科中得到广泛应用。l常微分方程-解决两个变量之间的变化规律，关键是建立”瞬时变化率”的表达式。偏微分方程-解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。2)数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。l回归分析法-用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。l时序分析法-处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。l回归分析法-用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。l时序分析法-处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。3)仿真和其他方法l计算机仿真(模拟)-实质上是统计估计方法,等效于抽样试验。1.离散系统仿真-有一组状态变量。2.连续系统仿真-有解析表达式或系统结构图。l因子试验法-在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构。l人工现实法-基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统。4. 应用MATLAB进行数学建模研究数学是在实际应用的需求中产生的,我们把遇到的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题转化成一个数学问题,建立了数学模型!。但数学模型迫切需要一个方便、快捷且功能强大的工具去实现并解决，特别是随着科技的进步,人们在解决问题的时候常常要用到许多比较复杂的数学知识和大量的数据计算,这无疑加大了人们解决问题的难度,也要耗费更长的时间。而MATLBA正是在数学计算和大量数据处理方面具备其它软件所不具备的优势,且操作简单,运算速度快,所以应用MATLBA进行数学建模也就大大提高了人们的效率。而且MATLBA还有很强的绘图功能,这就可以使得模型图象化,使得研究人员对建模成果的优劣一目了然,容易进行修正与改进。5. 简单数模问题中MATLAB的应用例1：某公司2000年各月生产总值（单位：万元）分别为：22608895562391014815623，试显示折线图表示该厂生产总值的变化情况。在命令窗口中键入：p=22,60,88,95,56,23,9,10，14,81,56,23；plot（p）；可得：如图：问2:根据表1数据作一个多子图。要求：第一个图各类网井产油量与年份曲线图，第二个图为0105年各类网井产油量的对比直方图，第三个图为03年各类网井产油量的饼图，第四个图为七五井和十五井产油量年份的双座标图。给如下数据：各类井网在近几年的产油量（万吨）年份： 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005MATLAB语言来对此例题做以下解析：figure(position,50,50,800,650)%在图形窗口左下角建立横纵坐标都为50的，宽度800，高度650的窗t1=1997:2005;%产生行向量t1t2=2001:2005;%产生行向量t2y1=500.6442.4428.6370.1343.1;%一个行矩阵y1y2=354.7318.0280.7246.6229.0;%建立一个行矩阵y2y3=197.4297412.8547.0579.8547.5527.0492.3437.0；%y3y4=72.3218.2297.1416.1508.7%建立一个行矩阵y4subplot(2,2,1)%2*2个区中的1号区plot(t2,y1,t2,y2,t1,y3,t2,y4);%绘制二维图像title(各类网井产油量与年份曲线图);%标题为各类网井产油量与年份曲线图legend(七五井,八五井,九五井,十五井,1);%列出图标t2=2001:2005;%产生行向量t2y2=500.6354.7579.872.3442.4318.0547.5218.2428.6280.7527.0297.1370.1246.6492.3437.0343.1229.0437.0508.4;%建立一个行矩阵y2subplot(2,2,2)%2*2个区中的2号区bar(t2,y2)title(0105年各类网井产油量的对比直方图);%标题为0105年各类网井产油量的对比直方图legend(七五井,八五井,九五井,十五井,1);%列出图标t3=343.1229.0437.0508.7;%产生行向量t3subplot(2,2,3)%2*2个区中的3号区pie(t3);title(03年各类网井产油量的饼图);%标题03年各类网井产油量的饼图legend(七五井,八五井,九五井,十五井,1);%列出图标t4=2001:1:2005;%产生行向量t4y1=354.7318.0280.7246.6229.0;y2=72.3218.2297.1416.1508.7;%建立一个行矩阵y1subplot(2,2,4);%2*2个区中的4号区plotyy(t4,y1,t4,y2);%绘制二维图像title(七五井和十五井产油量与年份的双座标图);%标题七五井和十五井产油量与年份的双座标图legend(七五井,十五井);%列出图标得如下：例3：利用建立线性系统的数学模型传递函数表示1线性系统的模型建立G(s)=Y(s)/U(s)=(6s3+12s2+6+10)/(s4+2s3+3s2+s+1)可以将其用下列语句来实现：num=612610;den=12311;printsys(num,den)执行结果为num/den=6s3+12s2+6s+10-s4+2s3+3s2+s+12若给定的系统的传递函数为：G(s)=4(s+2)(s2+6s+6)/(s(s+1)3(s3+3s2+2s+5)解：num=4*conv(12,166)num=4327248den=conv(10，conv(11,conv(11,1325)den=159121250关于从状态空间形式到零极点形式的转换MATLAB函数ss2zp()的调用格式为：Z,P,K=ss2zp（A,B.C,D,iu）其中，A,B,C,D为状态空间形式的个系数矩阵；iu为输入的代号。对于单变量系统iu=1，对于多变量系统iu表示要求的输入序号；返回量矩阵P储存传递函数的极点；而零点储存在矩阵中，Z的列数等于输出y的维数，每列对应一个输出；对应增益则在列向量K中。如下示例：对于以给出状态空间表达式，是根据以上函数求取系统的传递函数矩阵。X(t)=001;-3/2-2-1/2;-30-4x(t)+11;-1-1;-1-3u(t)Y(t)=100;010x(t)此系统可由以下MATLAB语句唯一地表示出来A=001;-3/2-2-1/2;-30-4B=11;-1-1;-1-3C=100;010,D=zeros(2,2)实验过程如下A=001;-3/2-2-1/2;-30-4A=001.0000-1.5000-2.0000-0.5000-3.00000-4.0000B=11;-1-1;-1-3B=11-1-1-1-3C=100;010,D=zeros(2,2)C=100010D=0000再运行：Z1,P1,K1=ss2zp(A,B,C,D,1),Z2,P2,K2=ss2zp(A,B,C,D,2)窗口中出现Z1=-3.0000-2.0000-2.0000-3.0000P1=-2-1-3K1=1-1Z2=-1.0000-3.0000-2.0000-1.0000P2=-2-1-3K2=1-1再看一个将此多变量系统求其传递函数矩阵的例子还是上一个例子的系统解利用以下MATLAB语句num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,1),num2,den2=ss2tf(A,B,C,D,2)结果显示：num1=01.00005.00006.00000-1.0000-5.0000-6.0000den1=16116num2=01.00003.00002.00000-1.0000-4.0000-3.0000den2=16116从而可得系统的传递函数矩阵为：11256232113()=(256)(243)1136211612ssssssGssssssssss+通过MATLAB进行最优控制系统设计：4,已知系统的状态空间表达式为：010000100231100xxuyx=+-试求使得性能指标：()0JxTQxuTRudt为最小的最优控制u=-Kx的反馈增益矩阵K。其中：10000010,1001QR解：MATLAB程序为：%ex8_15.mA=010;001;0-2-3;B=0;0;1;C=1;0;0;D=0;Q=diag(100;1;1);R=1;K,P,r=lqr(A,B,Q,R)t=0:0.1:10;figure(1);step(A-B*K,B,C,D,1,t);figure(2);y,x,t=step(A-B*K,B,C,D,1,t);plot(t,x,y)执行后得如下结果和如图815所示的阶跃响应曲线。K=10.00008.36322.1697P=103.631651.697510.000051.697537.57498.363210.00008.36322.1697r=-2.7055-1.2321+1.4758i-1.2321-1.4758i再次如图例4：多目标规划模型问题一.某钢铁厂准备用5000万用于A、B两个项目的技术改造投资。设x1、x2分别表示分配给项目A、B的投资。据专家预估计，投资项目A、B的年收益分别为70%和66%。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单项投资的增加而增加，已知总的风险损失为0.02x12+0.01x22+0.04(x1+x2)2，问应如何分配资金才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小建立数学模型maxf1(x)=70x1+66x2minf2(x)=0.02x12+0.01x22+0.04(x1+x2)2x1+x250000x1,0x2线性加权构造目标函数：maxf=0.5f1(x)0.5f2(x)化最小值问题：min(-f)=-0.5f1(x)+0.5f2(x)首先编辑目标函数M文件ff11.mfunctionf=ff11(x)%建立函数f=-0.5*(70*x(1)+66*x(2)+0.5*(0.02*x(1)2+0.01*x(2)2+0.04*(x(1)+x(2)2);%建立函数关系 调用单目标规划求最小值问题的函数x0=1000,1000%建立矩阵A=11;%建立矩阵b=5000;lb=zeros(2,1);%建立矩阵x,fval,exitflag=fmincon(ff11,x0,A,b,lb,)%使用函数来求值f1=70*x(1)+66*x(