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量子力学 总复习 2012 12 13 第一章 波函数和薛定谔方程 经典物理学不能解释黑体辐射 光电效应 康普顿散射 发现光波具有粒子性 同时 发现实物粒子具有波动性 微观粒子具有 波粒二象性 自由粒子满足德布罗意关系 hE kp 状态用波函数描述 Born对波函数的统计 解释 对归一化波函数 给出 在t时刻 粒子出现在 的概率 把波函数所描述的波称为概率波 波函数的自然条件 单值 有限 连续 平面波可施行箱归一化或 函数规格化 tr rdtr 2 rdrr 态叠加原理设 和 是两个任意的态矢量 和 是两个任意的复常数 则 仍 然是一个描述某种状态的态矢量 在 态中 出现态 的概率是 坐标表象和动量表象 波函数 和 之 间满足Fourier 变换 不同表象上算符形式 不同 1 2 1 C 2 C 2211 CC i i i C i 22 i ii CC x p 2 2 2 trrUtr t i 波函数随时间的变化由薛定谔方程决定 当势场 不显含t时 解是定态解 满足定态薛定谔方程 2 2 2 trU mt i rU iEt ertr r ErU m H 2 2 2 量子力学的五个基本假定 波函数假定 力学量算符假定 平均值假定 薛定谔方程 全同性原理 第二章 一维势场中的粒子 给定边界条件后 可以求一维薛定谔方程 的解 当势场连续时 或有非奇性的有限 个间断点时 波函数和波函数一阶微商连 续 势场有一阶奇点时 波函数在奇点处 连续 波函数一阶微商不连续 求解薛定谔方程的一般步骤 方程无量纲 化 写出各个区间相应的薛定谔方程 利 用连续条件 边界条件求出能量本征值和本 征函数 归一化 最后考察所求解的物理 意义 宽度为a的一维无限深对称方势阱 粒子在 势阱中只有一个束缚态 能量为 本征波函数的宇称为正 3 2 1 2 2 2 22 nn ma En 负宇称负宇称 正宇称正宇称 6 4 2 sin 2 5 3 1 cos 2 n a xn a n a xn a x n 2 2 2 m E Lx L x e 1 方势垒的反射和透射 能量低于势垒的情 况 其他情况可类推 1 2 00 222 2 22 22 2 1 4 1 1 4 4 a V E V E kak k ST sh shsh 222 2 22 2 2 22 2 4 kak ak R sh sh 谐振子能量本征值和归一化的本征波函数 为 2 1 0 2 1 nnEn 2 22 xAx n x nn H e 第3章 力学量用算符表达 若有 为Hermite算符 力学 量用线性Hermite算符表达 对易关系 AA A ipx zyx zyxLiLL zyxxixL zyxpipL Hermite算符的本征波函数构成正交 归一 完备 封闭的本征函数系 在任意态 上对力学量 进行测量 所有 可能出现的测量值都是该力学量的本征值 某一本征值 出现的概率等于态 向本征 态 投影的模方 不确定关系 在任意态上任意两个力学量 和 的不确定度的乘积存在下限 F n a n 2 2 nn n CaW A B 2 1 BABA 互相对易的两个力学量一定具有共同的完 备的本征函数系 具有共同的完备的本征 函数系的两个力学量一定对易 集合 是描述转动的力学量完全集 用量 子数 可以完全确定转动态 其中 称 为角量子数 表示 的本征值 称为磁量 子数 表示 的本征值 2 z LL ml l 2 L m z L 的共同本征值问题的解为 本征函数 称为球谐函数 量子数 的球谐函数为 2 z LL 1 2 2 lmlm lmlmz YllYL YmYL llllm l 1 1 2 1 0 lm Y imm l m lm P ml mll Ye cos 4 12 1 1 0 l 4 1 00 Y cos 4 3 10 Y i Y esin 8 3 11 第4章 表象理论 教材第7章P127 142 第9章 9 1 P 163 166 表象是以 的本征函数系 为基底构成 的表象 在这个表象中 态 在 表象上 的表示为一个列矩阵 矩阵元 代表态 在基底 上的投影 或称为展开系数 算符 在 表象上的表示为一个矩阵 矩阵 元为 在自身表象上力学量算符的表 示是一个对角矩阵 而对角元素就是这个 力学量的本征值 平均值公式是 归一化条件是 F F n F nCn n L F nLmLmn LL 1 两个表象之间的变换是幺正变换 满足 态的变换是 算符的变换是 幺正变换不改变力学量平均值和本征值 在占有数表象中 线性谐振子的哈密顿算 符是 粒子数算符是 产生算符 和湮灭算符 满足 1 SS S SLSL 2 1 aaH NaaN a a 11 nnna 1 nnna 2 2 2 1 2 aa i aa m ip aaaa m x 第五章 力学量随时间的演化和对称性 力学量随时间的演化方程为 若力学量 与体系的哈密顿量对易 即 则 即在体系的任意态上平均值 不随 时间改变 的取值概率分布也不随时间改变 在定态 的本征态 上 一切力学量 只要 不显含时间 不管是否是守恒量 的平均值和 取值概率分布都不随时间变化 而守恒量在任 意态上 不管是否是定态 的平均值和取值概 率分布都不随时间变化 但守恒量不一定取确 定值 1 HF it F d d F 0 HF 0dd tF F F H 定态与守恒量的区别 定态是体系的一种特殊状态 即能量本征态 而守恒量则是体系的一种特殊的力学量 即不 显含时间与 对易的力学量 在定态下 不显含t的一切力学量 不管是不 是守恒量 的平均值及几率分布均不随时间改 变 而力学量只要是守恒量 则在一切状态下 不管是不是定态 它的平均值和几率分布 都不随时间改变 H 两个实例 自由粒子的动量守恒 中心力场中运动的粒子角动量守恒 只与 有关 即 角动量平方及角动量分量都是守恒量 m p H 2 2 0 Hp 2 2 2 2 2 2 2 rV r L r r rr H zyx LLLL 2 0 2 HLHL 如果体系具有两个互相不对易的守恒量 那么体系的能级一般是简并的 简并来自 于不完全测量 全同性假定 交换体系中任意两个全同粒 子 都不改变体系的状态 实验表明 对于每一类粒子 其波函数的 交换对称性是完全确定的 而且 波函数 的交换对称性与粒子的自旋有确定的关系 Bose 子 自旋为 的整数倍 波函数是交换 对称的 满足Bose统计 Fermi子 自旋为 的半整数倍 波函数是 交换反对称的 满足Fermi统计 如果宏观数量的Bose子聚集在基态上 则称 发生了玻色 爱因斯坦凝聚 不允许有两 个全同的Fermi子处于同一单粒子态 此即 Pauli 原理 SS ij P AA ij P 第6章 中心力场 中心力场体系的力学量完全集选 氢原子能量本征值和本征波函数为 其中 为径向波函数 2 z LLH eV 22 2 1 6 13 1 2nna e En 3 2 1 n lmnlnlm YrRr lm nl n 2 1 0 1 2 1 0 3 2 1 rRnl a r a rRexp 2 23 10 a r a r a rR 2 exp 2 1 2 1 23 20 氢原子能谱和本征态的性质 基态能量 电离能 能级 的简并度 粒子出现在球壳 中的概率为 eV6 13 1 E eV6 130 1 E n E 2 1 0 12 nlf n l rrrd 22 4 0 2 22 4 0 2 2 rRrr YrRrr rrrrrW nl lm nl nlm nl d dd ddd 氢原子能谱和本征态的性质 粒子在 方向立体角元 中的概为 宇称为 轨道磁矩可表示为 其中 为磁量子数 玻尔磁子 d 2 0 22 2 0 2 2 lm nllm nlm lm Y rRrrY rrrW d dd ddd l 1 m Bz m 2 1 0 m 121 Gerg10274 9 2 c e B 第7章 自旋和角动量的耦合 教材第8章P144 160 6 2 P120 121 电子具有自旋 电子自旋算符 满足 对易关系 Pauli矩阵 在 表象上的表示 2 S zyx SiSS xzy SiSS yxz SiSS 4 SSS 2 222 zy x zyx i 2 xzy i 2 yxz i 2 1 222 zy x 10 01 0 0 01 10 zyx i i 2 z 的本整函数在 表象中是 两电子体系的自旋函数有单态 它的总自 旋为 是反对称态 还有三重态 它 的总自旋是 是对称态 z s z s 1 0 0 1 2 1 2 1 0 S 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 A S S S 1 S 两个角动量之和 仍为角动量 由 四个两两互相对易的算符 其共同本征函数系构成的表象是无耦合表 象 基矢是 由 四个算符的共同本征函数系 构成的表象是耦合表象 基矢是 两个表象之间的变换系数是克莱布希 高登 系数 满足 21 JJJ 2 2 2 1 2 1zz JJJJ 2 2 1 1 2 2 1 1 mjmjmjmj 2 2 2 2 1z JJJJ mjjj 21 1 11 2 22 21 2 2 1 1 2 2 1 121 j jm j jm jmjjmjmjmjmjjmjj jmjjmjmjC jm mjmj 21 2 2 1 1 2211 自旋 轨道耦合项对能级的贡献会引起能 级的劈裂 形成能谱的双线结构 顾及 后碱金属原子的能级为 2 2 2 0 rVH 222 2 1 SLJrSLrHLS LS H l nlnlj lljjEE n 4 3 1 1 2 2 0 当 时 能级分裂成2条 当 时 能级不分裂 0 l 21 lj 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 lj l lj l EE nl nl nlnlj 0 l21 j 0 21nsns EE 钠原子2P项的精细结构 在外磁场中原子光谱线分裂为三条的现象称为正 常Zeeman效应 外磁场较强时忽略 价电子的哈密顿量为 在非耦合表象基底 上 是对角化的 对角矩 阵元即为能级 LS H 2 0 0zz B SL B HH sl mmlnH 2 2 2 0 0 0 0 0 0 slB nl sl B nl sl zz B sl slsl s m l nlm mmBE mm B E mmlnSL B Hmmln mmlnHmmlnE 外磁场破坏了原子的球对称性 使能级 关于磁量子数的简并完全消除 0 nl E 无外磁场无外磁场 有强外磁场有强外磁场 1 0 1 1 0 1 Na黄线的正常塞曼效应黄线的正常塞曼效应 1 0 0 lB nl s m l mnl mBEE 0 nl E p3 s3 L L 21 0 sl mm 21 0 sl mm L L 第8章 微扰论 非简并定态微扰理论 在 的本征值和本整函数已知的条件下 体系加上 微扰能级和波函数的公式为 微扰收敛条件 0 0 2 0 kn nk nk kkkk EE H HEE 0 0 kn nk nk k n EE H k dxxHxkHnH k n nk 0 H H 1 0 0 nk nk EE H kn 简并定态微扰理论 作微扰的能级 简并 其一级近似 在计算对 的修正 时 忽略 不同能级之间的关联 只考虑属于能级 的 个简并态之间的关联 则能量修正 满足的方程为 0 k E kiEkiH k 0 0 k fi 2 1 0 k E k E 0 k E k f k E k k k f j k ikEjkjkHik 1 1 k fi 2 1 正确的 零级波函数是用 构成的按 简并态的展开 重组零级波函数的目的在于使 在简并子 空间中对角化 k ki k f i kk kiki 1 0 H 氢原子的一级Stark效应 在恒定外电场中原子光谱发生分裂 称为 Stark效应 无外电场无外电场 加外电场加外电场 2度简并 度简并 氢原子的一级氢原子的一级Stark效应效应 121 211 0 2 E 0 1 E ae 3 ae a e EEE 3 2 1 2 2 2 1 2 0 221 ae a e EEE 3 2 1 2 2 2 1 2 0 222 2 2 0 22423 2 1 2a e EEE 第9章 量子跃迁 含时微扰论 在 作用下体系直接从初态 跃迁到末态 的跃迁概率的一级近似为 跃迁速率的一级近似为 t H i f 2 0 2 1 t t if i if if ttHtPde itHftH if if if EE 2 0 2 1 t t if i if if ttH t tWde d d 周期微扰 跃迁概率的一级近似为 若周期微扰持续时间足够长 远大于体系 的特征时间 则跃迁概率和跃迁速率为 tFtH cos 2 2 2 2 2 2 sin 4 i t i F tP f ffi fi 2 2 2 fi fi if F t tP 2 2 2 fi fi if FtW 2 2 if fi if E