江苏省梁丰高级中学高三数学 直线与圆的方程强化训练题.doc

直线与圆的方程强化训练题1、 已知直线：与直线： （1）当实数变化时，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；（2）若直线通过直线的定点，求点所在曲线的方程；（3）在（2）的条件下，设，过点的直线交曲线于两点（两点都在轴上方），且，求此直线的方程【答案】（1）定点的坐标为（2）（3）的方程为 【解析】本试题主要考查了直线的位置关系的运用，以及求解轨迹方程和直线方程的综合运用（1）因为直线：与直线： ，那么当实数变化时，直线表示为过两条直线交点的直线系方程可知其过定点，并求出这个定点的坐标；（2）因为直线通过直线的定点，则可知点所在曲线的方程；（3）在（2）的条件下，设，过点的直线交曲线于两点(两点都在轴上方)，且，运用向量的共线的知识得到结论（1）的方程化为，由题意，解得所以定点的坐标为（2）由过定点，得，化简得，所以点所在曲线的方程为（3）因为，所以，且，所以，所以，所以，所以设，则，由，得，又由由解之得所以，所以的方程为 2、设直线的方程为 （1） 若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；（2） 若不经过第二象限，求实数的取值范围 【答案】 (1) (2) a1 【解析】试题分析：（）根据直线方程求出它在两坐标轴上的截距，根据它在两坐标轴上的截距相等，求出a的值，即得直线l方程（）把直线方程化为斜截式为，若l不经过第二象限，则 或 ，由此求得实数a的取值范围解：(1)当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距都为零，截距相等，方程即 若，由于截距存在， ， 即， 方程即 (2)法一：将的方程化为， 欲使不经过第二象限，当且仅当 a1 所以的取值范围是a1 法二：将的方程化为(xy2)a(x1)0(ar)， 它表示过l1：xy20与l2：x10的交点(1，3)的直线系(不包括x1)由图象可知l的斜率(a1)0时，l不经过第二象限，a1 考点：本题主要考查直线方程的一般式，直线在坐标轴上的截距的定义，直线在坐标系中的位置与它的斜率、截距的关系，属于基础题点评:解决该试题的易错点是对于直线在坐标轴上截距相等的理解中，缺少过原点的情况的分析3、已知三角形abc的顶点坐标为a（-1，5）、b（-2，-1）、c（4，3），m是bc边上的中点（1）求ab边所在的直线方程；（2）求中线am的长（3）求ab边的高所在直线方程（1）（2）（3）【解析】（1）先根据斜率公式求出ab的斜率，写出点斜式方程再化成一般式即可（2）先根据中点坐标公式求出中点m的坐标，然后求出am的斜率，写出点斜式方程再化成一般式方程（3）根据ab的斜率可求出ab边上的高的斜率，再根据它过点c，从而可求出高线的点斜式方程，再化成一般式即可4、求满足下列条件的直线方程（1）直线过原点且与直线的夹角为；（2）直线过直线与的交点，且点到的距离为【答案】（1）；（2）【解析】本题考查直线方程的求法，是基础题解题时要认真审题，注意直线与直线垂直、直线与直线平行、直线交点等知识点的合理运用（1）因为直线的倾斜角为，由条件，直线的倾斜角应为或，所以直线 的斜率，又直线过原点，所以直线的方程为：（2）由条件设直线为，整理得，点到的距离为解：（1）直线的倾斜角为，由条件，直线的倾斜角应为或，所以直线 的斜率，又直线过原点，所以直线的方程为：（2）由条件设直线为，整理得，点到的距离为，则 ，解得，所以直线为 5、已知：（1）若，求; （2）若函数对应的图象记为（3）求曲线在处的切线方程？（ii）若直线为曲线的切线，并且直线与曲线有且仅有一个公共点，求所有这样直线的方程？ 【答案】（1）=2或0（2）（3）y=2【解析】本试题主要是考查了向量的共线，以及曲线的切线方承担求解，直线与曲线的交点问题的综合运用（1）由于向量共线，那么根据坐标关系式得到参数x的值（2）由于函数则由得到切线方程设切点坐标 曲线在处的切线方程为，然后联立方程组，得到参数t的值解：（1）=2或03分; =2给两分（2）函数 （i） 曲线在处的切线方程为 （ii）设切点坐标 曲线在处的切线方程为 由得即 由题意得t=0 ，的方程为y=2 6、若方程表示两条直线，求m的值【答案】m=1【解析】解：当m=0时，显然不成立当m0时，配方得方程表示两条直线，当且仅当有1=0，即m=17、直线过点（1，2）和第一，二，四象限，若的两截距之和为6求直线的方程【答案】2x+y-4=0或x=y-3=0【解析】解：设直线的横截距为a， 则纵截距为b-a的方程为点(1，2)在直线上即a2-5a+6=0解得a1=2 ，a2=3当a=2时，方程，直线经过第一，二，四象限，当a=3时直线的方程为直线经过第一，二，四象限综上知，直线的方程为2x+y-4=0或x=y-3=08、求经过点，且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角的正弦为； （2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4【答案】（1）或（2）【解析】本试题主要是考查了直线方程的求解的运用（1）设直线倾斜角为，由，得，当时，由直线点斜式方程得，即；当时，由直线点斜式方程得，即； 综上，直线方程为或（2）设直线在轴、轴上的截距分别为，可设直线方程，由题意得，解得 所以直线方程为，即 9、过点作直线l交x轴于a点、交y轴于b点，且p位于ab两点之间（），求直线l的方程；（）求当取得最小值时直线l的方程【答案】显然直线l的斜率k存在且，设l：，得，因为p位于ab两点之间，所以且，所以，（），所以，所以，直线l的方程为（），当即时，等号成立所以当取得最小值时直线l的方程为10、已知过点（1，1）且斜率为（）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值设直线l方程为，则p（）， 从而pr和qs的方程分别为， 又，又四边形prsq为梯形四边形prsq的面积的最小值为 11、求圆关于原点对称的圆的方程，并求这两个圆的外公切线方程圆关于原点对称的圆为，因为两圆的圆半径相等，所以两条外公切线均与两圆的连心线平行，两圆连心线斜率为得两条外公切线方程为，又圆心到外公切线的距离等于圆半径，即，两条外公切线方程为12、已知a（4，-3）、b（2，-1）和直线l：4x+3y-2=0，求一点p，使，且点p到l的距离等于2【解析】设点p的坐标为（3，-2），kab=1，线段的垂直平分线方程为y+2=x-3，即x-y-5=0 点p（a，b）在直线x-y-5=0上，故a-b-5=0又又两个式子得：或 所求的点为p（1，-4）和p（，-）13、直线l在两坐标轴上的截距相等，且p（4，3）到直线l的距离为，求直线l的方程【解析】（1）当所求直线经过坐标原点时，设其直线方程为y=kx由 解得k=6（2）当直线不经过坐标原点时，设所求方程为 即x+ya=0由条件可得：=解得：a=1或a=13，故所求直线方程为x+y1=0或x+y13=0或y=（6）x14、求以三点a（0，2），b（2，0）c（3，3）为顶点的三角形的三条中线的长度【解析】ab的中点m为（1，1），bc的中点n，ac的中点p三条中线的长度为：， ，15、求函数的最小值【解析】可以看作是x轴上的动点p(x，0)到两定点a（0，3）、b（5，2）的距离之和，由“两点之间线段最短”可知，当a、p、b三点共线即x=3时ymin=16、在abc中，已知a（3， 1），b的内角平分线bd所在的直线方程是x3y+6=0，ab边上的中线ce所在的直线方程是x+y8=0，求点b的坐标和边bc所在的直线方程【解析】设点坐标为，因为是中点，所以因为所在直线方程为，所以，即 而所在直线方程为 联立方程可得，所以点坐标为因为是的平分线，所以点关于所在直线的对称点在所在直线上设，则有，解得，所以则所在直线方程等价于所在直线方程17、若圆经过坐标原点和点，且与直线相切， 从圆外一点向该圆引切线，为切点，（）求圆的方程；（）已知点，且， 试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出的方程；若不是，请说明理由；（）若（）中直线与轴的交点为，点是直线上两动点，且以为直径的圆过点，圆是否过定点？证明你的结论 【解析】（）设圆心由题易得 1分 半径， 得， 3分 所以圆的方程为 （）由题可得， 所以 所以 整理得所以点总在直线上 （） 由题可设点，则圆心，半径 从而圆的方程为 整理得 又点在圆上，故得 所以令得， 所以或所以圆过定点和 18、已知抛物线：的焦点为圆的圆心，直线与交于不同的两点（1） 求的方程；（2） 求弦长【不做】19、求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程【答案】或 【解析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题设圆心坐标，写出圆的方程，然后利用圆心到直线的距离得到半径，从而解得解：设所求的方程为则圆心到直线的距离为，即 由于所求圆和轴相切， 又圆心在直线上， 联立（1）（2）（3）解得或 故所求圆的方程是或 20、已知圆m经过直线与圆的交点，且圆m的圆心到直线的距离为，求圆m的方程【答案】x2+y220x15y43=0或x2+y2+28x+9y+53=0解：设经过直线l与圆c的交点的圆系方程为x2+y2+2x4y+1+(2x+y+4 )=0则x2+y2+2(+1)+ (4)y+4+1=0圆m的圆心为m（）由条件可得= 解得=11或=13 所以所求圆的方程为x2+y220x15y43=0或x2+y2+28x+9y+53=021、如图所示，已知圆，为定点，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为曲线 （）求曲线的方程；（）过点作直线交曲线于两点，设线段的中垂线交轴于点，求实数的取值范围【答案】（）；（） 【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，以及椭圆方程的求解的综合运用（1）因为由题意知， 又，所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆（2）根据已知条件设出直线方程，对于斜率要分类讨论是否存在，然后结合直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和中点公式得到中垂线方程求解解：（）由题意知， 又，所以动点d的轨迹是以点为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长，焦距 ，所以曲线的方程为（）当的斜率不存在时，线段的中垂线为轴，；当的斜率存在时，设的方程为，代入得：，由得，设，则，所以线段的中点为，中垂线方程为， 令得 由，易得 综上可知，实数的取值范围是22、在直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点的轨迹为，是动圆上一点（1）求动点的轨迹的方程；（2）设曲线上的三点与点的距离成等差数列，若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率；（3）若直线与和动圆均只有一个公共点，求、两点的距离的最大值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】本试题主要考查了轨迹方程的求解和椭圆的定义，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用解：（1）由已知，得，将两边平方，并化简得， 故轨迹的方程是 （2）由已知可得，因为2|bf|=|af|=|cf|，所以即得， 故线段的中点为，其垂直平分线方程为， 因为在椭圆上，故有，两式相减，得： 将代入，化简得， 将代入，并令得，即t的坐标为 所以 设、，直线的方程为因为p既在椭圆上又在直线上，从而有将（1）代入（2）得 由于直线与椭圆相切，故从而可得，（3）同理，由既在圆上又在直线上，可得，（4）由（3）、（4）得， 所以 即，当且仅当时取等号，故两点的距离的最大值 23、已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足2，（1）若，求点的轨迹的方程；（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由【答案】解：（1） 所以点为的中点，又，或点与点重合所以 又所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以 所以的轨迹方程是 （2）解：不存在这样一组正实数，下面证明： 由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，设之为，故直线的方程为：，设，中点，则，两式相减得： 注意到，且 ，则 ， 又点在直线上，代入式得：因为弦的中点在所给椭圆内，故， 这与矛盾，所以所求这组正实数不存在 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则此时，代入式得，这与是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数不存在24、 如图所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，求【答案】【解析】略 25、已知圆，点，点在圆运动，垂直平分线交于点（） 求动点的轨迹的方程；（） 设是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；（）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由【解析】（） 因为的垂直平分线交 于点所以所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆设椭圆的标准方程为则，则椭圆的标准方程为 （） 设，则 因为，则 由解得 所以直线的斜率 （）直线方程为，联立直线和椭圆的方程得： 得由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，设则假设在轴上存在定点，满足题设，则因为以为直径的圆恒过点，则，即： （*）因为则（*）变为 由假设得对于任意的，恒成立，即解得因此，在 轴上存在满足条件的定点，点的坐标为 26、已知圆和点 （1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求正实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点的圆的两条弦互相垂直，设分别为圆心到弦的距离（）求的值；（）求两弦长之积的最大值【答案】（1）（2）（i）3（）10【解析】（）由题意知点 在圆上， 且得所以切线方程为即（）当都不过圆心时，设于，则为矩形，当中有一条过圆心时，上式也成立（）所以 （当且仅当时等号成立）27、已知圆，直线与圆相交于两点，且a点在第一象限（1）求；（2）设（）是圆上的一个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和问是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由 【答案】（1）2 （2）4【解析】试题分析：解：（1）圆心到直线的距离圆的半径， （2）解方程组 ，得， （），则， ：，令得：，令，得 28、过点作圆c：的切线，切点为d，且qd4（1）求的值；（2）设p是圆c上位于第一象限内的任意一点，过点p作圆c的切线l，且l交x轴于点a，交y轴于点b，设，求的最小值（o为坐标原点）【答案】（1） （2）最小值为6【解析】 （1） 圆c：的圆心为o（0，0），于是由题设知，是以d为直角顶点的直角三角形，故有 （2）设直线的方程为 即 则 直线与圆c相切 当且仅当时取到“=”号取得最小值为629、设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求：（）求实数的取值范围；（）求圆的方程；（）问圆是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论【答案】（）且（） （）见解析【解析】试题分析：（）令0，得抛物线与轴交点是；令，由题意且0，解得且 （）设所求圆的一般方程为，令0 得，这与0 是同一个方程，故令0 得，此方程有一个根为，代入得出所以圆的方程为 （）圆必过定点和证明：法一：将代入圆的方程，得左边右边，所以圆必过定点同理可证圆必过定点 法二：圆的方程为可化为令解得或 所以圆必过定点和 30、已知点，直线及圆（1）求过点的圆的切线方程；（2）若直线与圆相切，求的值；（3）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值【答案】 （1）或 （2） 或 （3） 【解析】 （1）由题意可知m在圆外，故当x3时满足与圆相切 当斜率存在时设为，即 由，所以， 所以所求的切线方程为 x3或 （2）由axy40与圆相切知， 所以 或 （3）圆心到直线的距离， 又， 所以由，可得 31、已知圆过两点，且圆心在上（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值【答案】（1） （2） 【解析】 （1）设圆的方程为： 根据题意，得 解得， 故所求圆m的方程为 （2）因为四边形pamb的面积，又， 所以， 而， 即因此要求s的最小值，只需求|pm|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点p，使得的值最小， 所以， 所以四边形pamb面积的最小值为 32已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线，被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方（i）求圆的方程；（ii）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值【答案】（i），即圆（ii），【解析】（i），即设圆心，弦长的一半为，半径，故到直线的距离，又，所以，解得或，即又因为在下方，所以，即圆（ii）设直线的斜率分别为，易知，即，则直线ac的方程为，直线bc的方程为，联立解得点横坐标为，因为，所以abc的面积因为与圆相切， 所以圆心到的距离，解得，圆心到的距离，解得所以， 因为所以 所以 所以所以，33、已知圆的方程为，点a，直线：（1）求与圆c相切，且与直线垂直的直线方程；（2）为坐标原点，在直线上是否存在异于点的点，使得为常数，若存在，求出点，不存在说明理由【答案】（1）：（2）存在点对于圆上任意一点都有为常数【解析】（1）：（2）假设存在这样的点b，使得为常数，则即 ，又 由可得对任意恒成立所以解得 或 （舍去）所以存在点对于圆上任意一点p都有为常数34、已知直线，圆（）证明：对任意，直线与圆恒有两个公共点（）过圆心作于点，当变化时，求点的轨迹的方程（）直线与点的轨迹交于点，与圆交于点，是否存在的值，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见解析；（）轨迹的方程为（）存在，使得且【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的综合运用解：（）方法1：圆心的坐标为，半径为3 圆心到直线距离 所以所以即所以直线与圆恒有两个公共点方法2：联立方程组 消去，得 所以直线与圆恒有两个公共点方法3：将圆化成标准方程为 由可得：解得，所以直线过定点 因为在圆c内，所以直线与圆恒有两个公共点 （）设的中点为，由于，所以所以点的轨迹为以为直径的圆 中点的坐标为，所以所以轨迹的方程为 （）假设存在的值，使得如图所示，有， 又，其中为到直线的距离所以，化简得解得所以存在，使得且35、在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切（i）求圆的方程；（ii）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围 【答案】（i）；（ii）【解析】（i）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即得圆的方程为 （ii）不妨设由，得设，由成等比数列，得，即 由于点在圆内，故由此得所以的取值范围为 36、设圆的方程为，直线的方程为（1）求关于对称的圆的方程；（2）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）圆的圆心为 设关于直线对称点为则解得：所以圆c2的方程为（2）由消去得即圆的圆心在定直线上设直线与圆系中的所有圆都相切，则即因为直线与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的值都成立，所以有：解之得：所以所表示的一系列圆的公切线方程为：37、已知，圆，直线：（1） 当为何值时，直线与圆相切；（2） 当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程【答案】（1） （2） 直线的方程是和【解析】（1） 若直线与圆c相切，则有 解得 （2） 解法一：过圆心作， 则根据题意和圆的性质，得 解得 （解法二：联立方程并消去，得设此方程的两根分别为、，则用即可求出）所以直线的方程是和38、（1）过点三点的圆的标准方程式什么？（2）已知动点到点的距离是它到点的距离的倍，求：（1）动点m的轨迹方程；（2）根据取值范围指出轨迹表示的图形【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）中点为，中点为（），中垂线的斜率为，中垂线所在直线方程中垂线的斜率为，中垂线所在直线方程，圆心圆的标准方程（2）设点的坐标为当时，直线当时，时，表示圆；时，表示点；时，不表示任何图形39、已知与圆相切的直线交轴，轴于两点， （）求证： ；（）求线段中点的轨迹方程；（）求面积的最小值【答案】（）见解析 （） （） 【解析】（）证明：圆的标准方程是 ，设直线方程为1，即 ，圆心到该直线的距离， 即，即，即，即 （）设中点，则，代入，得 （）由 得，解得2 （舍去2）， 当且仅当时，取最小值，所以面积的最小值是40、已知圆c：，（1）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设直线与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程； （3） 若点，在（2）的条件下，求的最小值及相应的点坐标【答案】（1）或；（2）点的轨迹方程是；（3）的坐标为 【解析】（1）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为 和，其距离为，满足题意 若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得所以， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 （2）设点的坐标为，点坐标为则点坐标是 因为，所以 即， 又因为，所以 由已知，直线轴，所以，所以点的轨迹方程是