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三 角 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值湖南省南县一中 陈敬波()(413200)三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型（） （或）型的函数此类函数利用（或）即可求解,显然这里例1求的最大值与最小值解：（若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法）解：（） 型的函数此类函数可转化为其中辅助角所在的象限由a,b的符号确定,角的值由确定例2当时,函数的（）最大值是,最小值是最大值是,最小值是最大值是,最小值是最大值是,最小值是解析：故选（）（） 型的函数此类函数可先降次,再整理转化为的形式来解决例3求的最小值,并求y取最小值时的的集合解：,当即时,y取最小值使y取最小值的x的集合为（） 型的函数此类函数可转化为形如的二次函数,从而讨论其最值例4.求函数(为定值)的最大值M.解: 令,则如下图(1)若-a1,则当t=-1时,有最大值M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;(2)若-1-a1,即-1a1,则当t=-a时,有最大值M=a2-a+1;(3)若-a1,即a-1,则当t=1时,有最大值M=-3a.注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.（） 型的函数此类函数可转化为去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理.例5.求下列函数的最大值与最小值.解：（1）原函数可变形为即又故所求最小值与最大值分别为：（2）原函数可转化为则解得（） 巧用换元法转化为代数函数的最值问题 对于含有的函数的最值问题，常用的解决方法是令,将转化为t的关系式，最终化归为二次函数或其他函数的最值问题.例6.已知,求函数的最值解: 设,则.当时,;当时, 例7.求函数的最大值与最小值.解: 令:则且原函数变为:则 首先利用换元法转化为代数函数,再利用
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