高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22(1).ppt

2 2 2反证法 主题反证法1 鲁迅先生在论证 作文没有秘诀 时叙述 如果作文有秘诀 则就有许多祖传作家 由于不存在许多祖传作家 所以 作文没有秘诀 鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想 提示 运用的是反证法的思想 2 用反证法证明命题 若p 则q 的第一步是什么 提示 第一步是否定结论 即若p 则 q 结论 1 反证法的定义假设原命题 即在原命题的条件下 不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了 成立 这样的证明方法叫做反证法 不成立 结论 原命题 2 反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 矛盾 或与 矛盾 或与 矛盾等 已知条件 假设 定义 定理 公理 事实 微思考 1 我们常说 否定之否定即为肯定 你能说明反证法中的否定之否定的两个否定分别是指什么吗 提示 第一个否定是指 否定结论 即假设 第二个否定是指 逻辑推理结果否定了假设 2 反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗 提示 有关 反证法的原理为 互为逆否命题的两个命题真假一致 即 p q q p 预习自测 1 下列命题不适合用反证法证明的是 a 同一平面内 分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交b 两个不相等的角不是对顶角c 平行四边形的对角线互相平分d 已知x y r 且x y 2 求证 x y中至少有一个大于1 解析 选c a中命题条件较少 不足以正面证明 b中命题是否定性命题 其反设是显而易见的定理 d中命题是 至少型 命题 其结论包含多个结论 而反设只有一个结论 2 自然数a b c中恰有一个偶数 的否定正确的为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中都是奇数或至少有两个偶数 解析 选d 自然数a b c的奇偶性共有四种情形 1 3个都是奇数 2 2个奇数 1个偶数 3 1个奇数 2个偶数 4 3个都是偶数 所以否定正确的是a b c中都是奇数或至少有两个偶数 3 用反证法证明某命题时 对某结论 自然数a b c中无偶数 正确的假设为 解析 a b c中无偶数 即a b c都是奇数 反设应是 a b c中至少有一个偶数 答案 a b c中至少有一个偶数 4 用反证法证明命题 x2 a b x ab 0 则x a且x b 时应假设为 解析 将结论否定 x a且x b 的否定是 x a或x b 答案 x a或x b 5 已知三个正数a b c成等比数列 但不成等差数列 求证 不成等差数列 证明 假设成等差数列 则 类型一用反证法证明否定性命题 典例1 设 an 是公比为q q 0 的等比数列 sn是它的前n项和 求证 数列 sn 不是等比数列 解题指南 本题为否定性命题 可以考虑用反证法证明 方法总结 反证法常用结论的反设词 拓展延伸 反证法的适用范围 1 否定性命题 2 命题的结论中出现 至少 至多 唯一 等词语的 3 当命题成立非常明显 而要直接证明所用的理论太少 且不容易说明的 4 要讨论的情况多或者复杂 而反面情况少或者简单的 5 问题共有n种情况 现要证明其中有一种情况成立时 可以想到用反证法把其他的 n 1 种情况都排除 从而肯定这种情况成立 巩固训练 求证 对于直线l y kx 1 不存在这样的实数k 使得l与双曲线c 3x2 y2 1的交点a b关于直线y ax a为常数 对称 证明 假设存在实数k 使得a b关于直线y ax a为常数 对称 设a x1 y1 b x2 y2 则有 1 直线l y kx 1与直线y ax垂直 2 点a b在直线l y kx 1上 当k2 3时 l与双曲线仅有一个交点 不合题意 由 得a x1 x2 k x1 x2 2 由 知x1 x2 代入 整理得ak 3 这与 矛盾 所以假设不成立 故不存在实数k 使得a b关于直线y ax a为常数 对称 补偿训练 平面内有四个点 任意三点不共线 证明 以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明 假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形 四个点为a b c d 考虑 abc 则点d有两种情况 在 abc内部和外部 1 如果点d在 abc内部 如图 1 根据假设知围绕点d的三个角 adb adc bdc都小于90 其和小于270 这与一个周角等于360 矛盾 2 如果点d在 abc外部 如图 2 根据假设知 bad abc bcd adc都小于90 即四边形abcd的内角和小于360 这与四边形内角和等于360 矛盾 综上所述 可知假设错误 题中结论成立 类型二用反证法证明 至多 至少 问题 典例2 已知a 1 求证三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中至少有一个方程有实数解 解题指南 假设三个方程都没有实根 从而三个判别式都小于0 求出a的范围 这与已知a 1矛盾 从而否定假设 肯定结论 证明 假设三个方程都没有实根 则三个方程中 它们的判别式都小于0 即 a 1 这与已知a 1矛盾 所以假设不成立 故三个方程中至少有一个方程有实数解 延伸探究 1 将本例改为 已知下列三个方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0至少有一个方程有实数根 求实数a的取值范围 2 将本例条件改为 三个方程中至多有2个方程有实数根 求实数a的取值范围 方法总结 用反证法证明 至多 至少 等有关命题的两个关注点 1 反设情况要全面 在使用反证法时 必须在假设中列出与原命题相异的结论 缺少任何一种可能 反证法都是不完全的 2 常用题型 对于否定性命题或结论中出现 至多 至少 不可能 等字样时 常用反证法 补偿训练 1 已知x y 0 且x y 2 求证 中至少有一个小于2 证明 假设都不小于2 即 2 2 因为x y 0 所以1 x 2y 1 y 2x 所以2 x y 2 x y 即x y 2与已知x y 2矛盾 所以中至少有一个小于2 2 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点 解题指南 利用反证法 否定命题的结论 利用 0 由三个同向不等式求和推出矛盾 证明 假设题设中的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线都与x轴没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 c a 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 类型三用反证法证明 唯一性 命题 典例3 若函数f x 在区间 a b 上的图象连续 且f a 0 且f x 在 a b 上单调递增 求证 f x 在 a b 内有且只有一个零点 解题指南 先由函数零点存在性定理判定函数在 a b 内有零点 再用反证法证明零点唯一 证明 因为f x 在 a b 上的图象连续 且f a 0 即f a f b 0 所以f x 在 a b 内至少存在一个零点 设零点为m 则f m 0 假设f x 在 a b 内还存在另一个零点n 即f n 0 则n m 若n m 则f n f m 即0 0 矛盾 若n m 则f n f m 即0 0 矛盾 因此假设不正确 即f x 在 a b 内有且只有一个零点 方法总结 巧用反证法证明唯一性命题 1 当证明结论有以 有且只有 当且仅当 唯一存在 只有一个 等形式出现的命题时 由于反设结论易于推出矛盾 故常用反证法证明 2 用反证法证题时 一定要用到 反设 进行推理 否则就不是反证法 用反证法证题时 如果欲证明命题的反面情况只有一种 那么只要将这种情况驳倒了就可以 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 3 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个方面 即存在性和唯一性 拓展延伸 合理使用反证法什么情况下用反证法 应依据问题的具体情况而定 不要乱用反证法 一般来说 当非命题比原命题更具体 更明确 更简单 易于推出矛盾时 才用反证法 运用反证法证题时 还应注意以下三点 1 必须周密考查原结论 防止否定有所遗漏 2 推理过程必须完全正确 否则 不能肯定非命题是错误的 3 在推理过程中 可以使用已知条件 推出的矛盾必须很明确 毫不含糊 巩固训练 已知直线m和直线a和b分别交于点a b且a b 求证 过a b m有且只有一个平面 证明 因为a b 所以过a b有一个平面 又m a a m b b 所以a a b b 所以a b 又a m b m 所以m 即过a b m有一个平面 假设过a b m还有一个平面 异于平面 则a b a b 这与a b