线性代数答案.doc

第三版编者：何伟第一章 矩阵习题1.21 注意：矩阵的加减，只有同型矩阵才可以相加减；给一个矩阵乘以一个数，要对矩阵的每一个元素都要乘以这个数。2 将原式子稍作变形：通过移项得，然后按照矩阵的加减乘运算进行。3 ; 表示1997年和1998年各种油品的产量之和.表示1998年和1997年各种油品的产量之差. 经济意义是：1997年和1998年各种油品的平均产量4 简单，略。（注意：矩阵乘法应注意的三点，书）5 所以由构成的图形如下 当时，,仿照第一小题，依次算出.由这一组点构成的图形如下：当时，,同样的道理，依次算出.由这一组点构成的图形如下：6 略（仿照第3题）7 注意：两个矩阵可交换就意味着, 设与可交换的矩阵是，则由得，计算得再根据两个同型矩阵相等则对应元素相等，我们得到如下的方程组： 解得以上方程是不定方程，就是方程的解是不唯一的，即是任意的常数。所以与可交换的矩阵，是任意的常数。 做法和相同。8 证明：因为矩阵与矩阵可交换，所以得 而, 所以与是可交换的。 证明：因为 所以与是可交换的。 证明：因为右式 左式=右式，证明完毕。9 直接计算（略） 取,则 我们通过观察可以归纳得到矩阵 （注意，这个结论只是我们的猜测而已，至于对不对还有待我们进一步的证明）下面我们就用数学归纳法证明这个结论。第一步，当时，结论显然是正确的。第二步，假设当时，结论成立，即有第三步，当时，结论是成立的。由此可得，（注意掌握这种方法，先计算出前几项然后做出猜想，进而用数学归纳法证明结论的正确性）后面的几个小题略掉。注意第三小题，一定把结论记牢，即，可以做进一步的推广。10 第行第列的元素为：第行第列的元素为：（注意：第行第列的元素应该是矩阵的第行乘以矩阵的第行的转置）第行第列的元素为：（注意：第行第列的元素应该是矩阵的第列的转置乘以矩阵的第列）11 略（仿照）12 略（参照书中课后答案，牢记矩阵乘法及数乘的运算法则）13 证明：充分性 必要性的证明只需将上述过程倒着写一遍即可。14 略（注意矩阵的乘法运算）习题 1.3同学们在做题之前不要急，让我们先约定几个符号以便做题的方便。：表示行列式的行，例如：表示行列式的第行：表示行列式的列，例如：表示行列式的第列：表示交换行列式的第行和第行：表示交换行列式的第列和第列：表示把行列式第行的倍加到第行：表示把行列式第列的倍加到第列注意：一般约定俗成将行的变化写在等号的上面，将列的变化写在等号的下面。1 略 直接用书中例题6的结论，只需令即可。 这是一个范德蒙行列式，直接运用范德蒙行列式的结论。务必牢记结论。 2 解一元二次方程 即可。 略（仿照的做法）3 略（仿照的做法）4 略 按照书中提示做，不过通过做题要记住一个结论： 5 证明： 证明方法和相同，请同学们自己证明。6 直接用书中的例题6的结论。【注意：对于每一列（或行）元素之和相等的行列式，我们总可以把各列（或各行）都加到第一列（或第一行），然后提取第一列（或第一行）的公因子，然后再想办法将所得的行列式化为三角形行列式，这是解决此类行列式的通用方法，我们可以管这种方法叫三角形法。】7 解方程 略 解法和相类似。提示：从第二行起，把每一行的（-1）倍加到上一行，然后按照最后一列展开，注意这是一个阶矩阵。8 提示：将矩阵主对角线上的元素等价化成 然后直接利用书中例题5的结论。 提示：这是一个箭形行列式，利用对角线上的元素的某个倍数加到某一边上，化为三角形行列式即可。这道题从第二列起，把每一列的加到第一列就可以啦！ 提示：第，然后按第一行展开即可。9 选取第一列,第三列,第五列,前三行,可以的得到子式,其代数余子式为 则元行列式的值=。 （注意代数余子式的符号。） ， 略 仿照做。注意：剩下的习题我会在上课的时候给大家讲解的。这样就不会太浪费时间，在很短的时间内达到最佳的学习效果。以上习题解答如有什么错误，还请各位同学指出。最后祝大家学习快乐。本章小结 行列式 1 个数按一定的规则进行运算，其结果为一个数。 2 要求：了解行列式概念，一定要掌握行列式的性质。会用行列式的性质和按行（列）的展开计算行列式。 矩阵 1 矩阵不仅是线性代数的主要讨论对象，也是线性代数处理各种问题的主要