专题一第五讲导数及其应用.doc

专题一 第五讲 导数及其应用一、利用导数研究曲线的切线例1.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 .解析：由得：即，切线方程，即.例2. 已知曲线，过原点的直线与曲线相切，求直线的方程. 答案：或注意：“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别二、利用导数研究函数的单调性例3.（2010山东）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解：（1） 当 因此，,又所以曲线（2）因为,所以 ,令当时，所以当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减;当时， ，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减当时，由于,时，,此时,函数单调递减；时，0,此时,函数单调递增.综上所述当时，在上单调递减;函数在上单调递增当时,在上单调递减当时，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.三、利用导数研究函数的极值与最值例4函数在处有极值，则点为 答案：（-4,11）四、利用导数研究函数的图象例5设函数若关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围解：依题意，得在区间O，2上恰有两个相异实根令，则当时，当在上是减函数，在上是增函数又只要如图，即，可以使方程在区间上恰有两个相异实根，故的取值范围是五、利用导数证明不等式例6已知直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为（1）求直线的方程及的值；（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；（3）当时，求证：解：(1)依题意知，直线是函数在点处的切线，故其斜率所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由得不合题意，舍去）(2)因为，所以当时当时因此在上单调递增，在上单调递减因此，当时取得最大值(3)当时.由(2)知：当O时即因此，有.例7(1)已知，试求函数的最小值； （2）若，求证：.解：（1）对于函数，求导得，由得，当时，函数是递减函数；当时，函数是递增函数；所以当时，函数.（2）由第（1）题得：从而，三式相加得：变题：由（1）知：，从而，三式相加，结合得：. 联想：在三角函数中，有公式，因此，若，且，则.类比：若，则专题一 第五讲 导数及其应用班级_姓名_一、填空题：1如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以的速度向该容器注水，则水深时水面上升的速度为 2等比数列中，函数，则=_.3已知函数满足则函数的图象在处的切线方程为 4已知曲线上的一点则过点P的切线方程为 5若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则_.6若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则实数的取值范围为 7关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是 8设函数若恒成立，则实数的取值范围是 9已知函数，若不等式在上恒成立，则实数 的取值范围是 10已知函数直线若当时，函数的图象在直线的下方，则实数c的取值范围为 11函数在定义域内可导，若，且当时，设，则的大小关系为_.12设函数(n为正整数)，则在0,1上的最大值为 二、解答题：13已知函数的导数为实数，（1）若在区间上的最小值、最大值分别为，求的值；（2）在（1）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程14已知函数()=ln(1+)-+，(0).（1）当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；（2）求()的单调区间.15已知（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明对一切，都有成立16已知，点A(s,f(s), B(t,f(t)（1）若,求函数的单调递增区间； （2）若函数的导函数满足：当|x|1时，有|恒成立，求函数的解析表达式；（3）若0ab, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直.专题一 第五讲 导数及其应用答案1 2212 3 4或564 6 7 8 9 10 11 12.13(1)由已知得由，得因为所以当时递增；当时递减所以在区间-1，1上的最大值为又，故由题意得，即得故(2)由(1)得点P(2，1)在曲线上，当切点为P(2，1)时，切线的斜率故的方程为，即当点P不是切点时，设切点为，切线的斜率所以的方程为又点在上，所以所以整理并化简得因为，故所以切线的方程为故所求切线的方程为或(或者：由(1)知点A(O，1)为极大值点，所以曲线的点A处的切线为y=l，此切线恰好经过点P(2，1)，符合题意）14.（1）当时，由于，所以曲线在点处的切线方程为即 （2），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是.当时，得，.所以在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是15解：（1），1分当单调递减，当单调递增 2分，即时， ； 4分，即时，上单调递增，；5分所以 6分（2），则，7分设，则， 单调递减， 单调递增，所以，对一切恒成立，所以；10分（3）问题等价于证明， 11分由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到， 13分从而对一切，都有 成立 14分16解：(1) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1, 因为f(x)单调递增，所以(x)0，即 3x2-4x+10,解得，x1, 或x,故f(x)的增区间是(-，)和(1,+ ). (2) (x)=3x2-2(a+b)x+ab. 当x-1，1时，恒有|(x)|. 故有(1)， (-1)，(0), 即 +，得ab，又由，得ab=，将上式代回和，得 a+b=0,故f(x)=x3x. (3) 假设, 即= = st+f(s)f(t)=0, (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, st-(s+t)a+a2st-