河北省东光县第二中学九年级数学下册 27.3 位似素材2 （新版）新人教版.doc

3位似一. 教学内容：位似二. 重点、难点：1. 重点： 位似图形及位似变换中对应点的变化规律。2. 难点：位似变换中对应点的变化规律，用坐标描述位似变换。三. 具体内容：1. 位似图形详解：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称位似比。如图所示，相似三角形abc与的对应顶点所在的直线都经过点o，abc和是位似图形，点o是位似中心。警示：（1）位似图形必须满足两个条件： 两个图形是相似图形； 两个相似图形，每组对应点所在直线都经过同一个点，二者缺一不可。（2）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特例。2. 利用位似变换把图形放大或缩小详解：把一个图形缩放的方法有多种，我们可以利用位似将一个图形放大或缩小，这是一个比较简单的方法。画位似图形的一般步骤为： 确定位似中心； 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关系键点； 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形，借助橡皮筋、方格纸、将点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也可很好地将一个图形放大或缩小。警示：（1）画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求。（2）由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的。 3. 用坐标描述位似变换详解：在平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称后，各点的坐标会发生相应变化，同样，图形经过位似变换后，点的坐标也会发生相应变化。变化规律为：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k。警示：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形坐标的变化规律。（2）当对应点在同一象限内时，对应点坐标的比（指横坐标与横坐标，纵坐标与纵坐标的比）等于k。（3）当一个点在x轴上，它的对应点仍在x轴上，且横坐标的比等于k或k（这时纵坐标为0，比值不存在），在y轴上的情形类似。拓展：常见的几种变换图形的坐标变化：（1）平移沿x轴正方向平移a个单位，则对应顶点的横坐标加上a，纵坐标不变；向负方向平移a个单位，则横坐标均减去a，即加上a，纵坐标不变，沿y轴正方向平移b个单位，则对应顶点的横坐标不变，纵坐标加上b；反之，向反方向平移，则横坐标不变，纵坐标均加上b。（2）轴对称 图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数； 图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。（3）旋转绕原点旋转180后所得新图形的各对应点的横坐标、纵坐标都变为原图形坐标的相反数。【典型例题】例1 如图，若ab/cd，试判断与是否为位似图形，并说明理由。解：oab与ocd是位似图形，因为ab/cd所以oabocd，且对应顶点连接线交于o点，对应边互相平行，所以根据位似图形的定义知：oab和ocd是位似图形，o是位似中心。点拨：要判断两个图形是否为位似图形，关键是根据其定义，证明它们相似且对应顶点连线都交于一点。例2 已知，如图所示，把放大3倍，请你画出放大后的图形。解：如图所示，（1）任取一点o，以o为端点，分别作射线、（2）分别在射线、上取点a、b、c，使（3）连接ab、bc、ac，abc就是所求作的三角形点拨：本题是用位似图形的定义解题，作图方法不唯一，同学们可以选位似中心在其他位置，如点o在的内部，尝试画出图形。例3 在平面直角坐标系中，五边形abcde的五个顶点的坐标分别为a（2，3）b（4，2）c（3，0）d（1，1）e（1，2）以坐标原点为位似中心，将五边形abcde放大，使放大后的多边形的边是原五边形对应边的2倍，比较放大后的图形你能得到什么结论？解：如图所示，把五边形abcde各顶点的横坐标和纵坐标都乘以2，得a（4，6），b（8，4），c（6，0），d（2，2），e（2，4），依次连接，得五边形；把五边形abcde各顶点的横坐标和纵坐标都乘以2，得，依次连接，得五边形。结论：五边形和五边形关于原点o成中心对称。点拨：把一个多边形各顶点的横坐标和纵坐标同时乘以k或k，得到两个新的多边形，每个新多边形都与原多边形位似，相似比为。例4 如图所示，ade=acb，试判断ade和abc是否为位似图形。错解：ade=acb，且a=a，所以adeacb，并且两三角形的对应顶点的连线相交于一点a，所以ade与acb是位似图形。错解分析：要判断两个图形是否为位似图形，关键是根据位似图形的定义去判断。即（1）两个图形相似；（2）对应顶点的连线交于一点且对应边互相平行，本题中的两个三角形不满足第（2）个条件，故不是位似图形。正解解法：不是位似图形，d与c是对应顶点，e与b是对应顶点，直线dc与直线be不能相交于点a，故不符合位似图形的定义不是位似图形。例5 已知四边形abcd，如图所示，画一个四边形与原图形的相似比为3:2。解：如下图所示例6 如图所示，在直角坐标系中，四边形abcd四个顶点的坐标分别为a（1，1），b（2，1），c（2，2），d（1，2）。这个图形是什么图形？把各顶点的坐标都乘以2，得到的图形的面积与原图形的面积有怎样的关系？再试一试用不同的（，且）值乘以各顶点的坐标，你能发现随着k值的变化，图形的面积是怎样变化的吗？ 解：如图所示，从图中可以看出四边形abcd是正方形，边长为3，把各顶点的坐标都乘以2，所得图形的顶点坐标分别为。画出这个图形，它为正方形，边长为6，可以看出，正方形的面积是原正方形abcd面积的4倍，即22倍，如果把各顶点坐标都乘以，则所得图形的面积扩大为原图形面积的倍。如果把各顶点的坐标都乘以，所得图形的面积缩小为原图形面积的倍。点拨：认真观察，仔细归纳探索，可得位似变换中对应点坐标的变化规律。例7 某自然风景区有一块长12米，宽8米的矩形草坪，喷水嘴安装在矩形对角线的交点o上，现计划从o点引3条射线，把草坪分成面积相等的三部分，分别种植三种不同的草，不考虑各部分的间隙。（1）请你设计出符合题意的方案示意图（只要求画出图形，至少设计三个方案）；（2）直接写出三条射线与矩形的有关边的交点位置；（3）试判断设计的方案中，所画出的三个面积相等的图形是否位似？解：（1）所设计方案如图、所示。（2）图中ae=4米，be=ah=10米； 图中be1=4米，de1=米； 图中be2=6米，ah2=df2=米。（3）不是位似图形。点拨：满足条件的图形有很多种，我们可发散思维，多角度思考并尝试，要根据图形的面积算出三条射线与矩形有关边的交点位置，由位似图形的定义，试判断出不是位似图形。例8 一般室外放映的电影胶片上的图片的规格是，放映的银屏的规格是2m2m，若放映机的光源距胶片20cm，问：银屏应拉在距离光源多远的地方时，放映的图象刚好布满整个银屏？解：因为2m=200cm，所以位似比，由位似图形的性质可得：银屏距镜头的距离与光源距胶片的距离之比等于相似比。设银屏距光源，则，所以，而。答：银屏拉在距离光源处时，放映的图象刚好布满整个银屏。例9（2007，荆门，2分）如图所示，五边形abcde和五边形a1b1c1d1e1是位似图形，且，则等于（ ）a. b. c. d. 解：b点拨：根据位似图形的性质可知，故选b。例10（2006广东，6分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点o为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。（1）画出位似中心点o；（2）求出与的位似比；（3）以点o为位似中心，再画一个，使它与的位似比等于1.5。解：（1）如图所示，o是位似中心。（2）由题可知：，即与的位似比为1:2（3）所求的图形如上图所示的点拨：根据位似图形的定义，用对应顶点所在直线的交点确定位似中心，位似比用对应线段的长的比值来表示即可。求，只需根据位似比确定三个顶点的位置。例11 已知：锐角abc，如图所示，画出正方形defg，使d、e落在bc上，f、g分别落在ac、ab边上。画法：（1）画一个有三个顶点落在abc两边上的正方形d1e1f1g1（如图所示）（2）连接b f1并延长交ac于点f；（3）过f点作efbc，垂足为点e；（4）过f点作fg/bc，交ab于点g；（5）过g点作gdbc，垂足为点d。阅读以上信息，回答以下问题：（1）试判断四边形defg的形状，并说明理由；（2）四边形和四边形defg是否为位似图形?若是，指出位似中心；若不是，说明理由。解：（1）四边形defg是正方形，理由如下：因为efbc，gdbc，所以fed=edg=90又因为fg/bc，所以efg=90，所以四边形defg是矩形因为e1f1/ef，f1g1/fg，所以，所以又因为，所以ef=fg，所以四边形defg是正方形（2）四边形d1e1f1g1和正方形defg是位似图形，b是位似中心。【模拟试题】一. 选择题：1. 如图所示，点o是等边三角形pqr的重心，分别是op、oq、or的中点，则与是位似三角形，此时，与的位似比、位似中心分别为（ ）a. 2、点p b. 、点p c. 2、点o d. 、点o2. 下列说法错误的是（ ）a. 相似图形一定是位似图形b. 位似图形一定是相似图形c. 相似图形不一定是位似图形d. 位似图形可以是相似比不为1的相似图形3. 下列说法正确的是（ ）a. 任意两个正方形都是位似图形b. 两个位似图形不可能全等c. 若位似图形a与b的位似比为3:5，则a与b的面积之比为25:9d. 全等图形可能位似，位似图形可能全等 4. 已知abc的三个顶点坐标分别为a（2，2），b（4，2），c（6，4），试将abc缩小为def，若缩小后的def与abc的对应边的比为1:2，则d、e、f三点坐标可以为（ ）a.（2，1），（4，1），（6，2）b.（1，1），（2，1），（3，2）c. d. 5. 如图所示，把cod放大后得到的图形为aob，则新图形与原图形的位似比为（ ）a. b. 2 c. d. 2二. 填空题：6. 如图所示，aec和bed是位似图形，de=4，dc=12，ae=10，则bed和aec的位似比为 。7. abc的周长为3，以a点为位似中心把其放大为原来的6倍后，所得的周长是 。8. abc三个顶点坐标分别为a（1，1），b（2，1），c（3，2），以原点为位似中心将abc