稳恒电流的磁场.doc

稳恒电流的磁场教学目的要求1. 理解电流和电流密度，了解电流连续性方程和恒定条件；2. 理解磁场与磁感应强度的概念，掌握毕奥-萨伐尔定律及其应用；3. 理解磁通量的概念，理解恒定磁场的高斯定理，掌握安培环路定理及其应用；4. 理解磁场对运动电荷的作用，理解洛伦兹力的概念，了解带电粒子在磁场中的运动特点，了解霍尔效应；5. 理解磁场对载流导线和载流线圈的作用，理解安培定律、安培力和磁力矩.6. 了解物质的磁性，理解顺磁质与抗磁质的特点，理解磁化强度与磁化电流；7. 掌握磁场强度，理解有磁介质时的高斯定理，8. 掌握有磁介质时的安培环路定理及其应用；9. 了解铁磁质的磁化特点与磁滞回线.本章内容提要 恒定电流（1） 电流 它是单位时间内通过某曲面的电荷量. （2）电流密度 它的大小等于该点处垂直于电流方向的单位面积的电流，它的方向跟通过该点的电流方向相同。（3）电流和电流密度之间的关系 恒定磁场的几个基本概念（1） 恒定磁场 恒定电流所激发的磁场.磁场和电场一样也是一种特殊物质，具有物质的基本属性.（2） 磁感应强度 是描述磁场性质的物理量.磁场中某点的磁感应强度的大小等于电量为q、速度为的运动试验电荷通过该点时所受到的最大作用力Fm与乘积q之比，即（3）磁感应线 为形象地描述磁场，可在磁场中画出磁感应线. 磁感应线的画法规定为：磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度的方向相同；通过磁场中某点垂直于磁感应强度方向单位面积上的磁感应线的条数等于该点磁感应强度的大小.（4） 磁通量 在磁场中通过某一曲面的磁感应线的条数称为通过该面的磁通量.在磁场中任取一个面元，设该面元处的磁感应强度为，则通过面元的磁通量定义为式中为与的夹角.通过有限曲面的的磁通量为（5）磁介质 处在磁场作用下能被磁化并反过来影响磁场的物质.有四种磁介质：抗磁质（1），顺磁质（1），铁磁质（）, 完全抗磁体（= 0）.前两种是弱磁性材料，铁磁质是强磁性材料.顺磁质的分子磁矩不为零，在外磁场中分子磁矩沿外磁场取向排列，磁介质中的磁场被加强；抗磁质的分子磁矩为零，在外磁场中分子出现附加分子磁矩，磁介质中的磁场被削弱.铁磁质的相对磁导率非常大，并且不是常数；磁化时存在磁滞现象，形成磁滞回线，具有剩磁效应；铁磁质都有一个特定的温度居里点.铁磁质的特性可以由磁畴理论来解释.完全抗磁体在低于临界温度时电阻为零，具有完全抗磁性，即具有迈斯纳效应.（6） 磁化强度 实物物质在磁场的作用下内部运动状态的变化称为磁化.磁介质被磁化的程度用磁化强度来描述，定义为磁介质中某点附近单位体积内分子磁矩的矢量和，即（7） 磁化电流 磁介质磁化后宏观上等效为在磁介质的表面生成了一层磁化电流，磁化电流在空间产生附加磁场.磁化强度沿着任一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过的磁化电流的代数和，即（8） 磁场强度 为了能够方便地计算磁场分布而引入磁场的辅助物理量， 恒定磁场的两个基本规律 毕奥-萨伐尔定律 电流元所激发的磁场为 磁场叠加原理 恒定磁场的两个重要定理 恒定磁场的高斯定理说明磁场是“无源”场，即磁感线是无头无尾的闭合线，通过任一闭合曲面的总磁通量为零. 恒定磁场的安培环路定理说明磁场是个涡旋场，即磁场是非保守力场. 利用安培环路定理可以计算出具有对称分布电流的磁场.例如：真空中无限长直载流导线的磁场 ，真空中载流圆环圆心上的磁场 ，无限长直载流螺线管内（管内真空）的磁场 .有磁介质时的安培环路定理 磁场强度沿着任一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过的传导电流的代数和.即 磁场对运动电荷或载流导体的作用 磁场对运动电荷的作用 磁场对载流导线的作用电流的单位安培的定义：在真空中通以流向相同、大小等量电流的两根截面积可略去的平行长直导线，若二者之间相距1m时，两导线间每单位长度的相互吸引力为，则每根导线中的电流为1安培. 磁场对载流线圈的作用6. 几个关系式对于各向同性的磁介质： 思考题答题要点1 电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？答：电动势等于端电压加上电流乘以内阻之和，两者在电流为零时才相等.2 一电子以速度射入磁感应强度为 B 的均匀磁场中，电子沿什么方向射入受到的磁场力最大？沿什么方向射入不受磁场力的作用？答：垂直于磁场方向入射时所受磁场力最大，沿着磁场方向入射时不受磁场力.3 在下面几种情况下，能否用安培环路定理来求磁感应强度？为什么？ 有限长载流直导线产生的磁场； 圆电流产生的磁场； 两无限长同轴载流圆柱面之间的磁场.答：（1）和（2）不能，（3）能. 因为安培环路定理的使用必须具备一定的先决条件：在所取的回路上，各处的磁感应强度必须等值对称，能够作为常量从积分号中提出，即具有较高的特殊对称性.4 为什么两根通有大小相等方向相反电流的导线扭在一起能减小杂散磁场？答：因为两根导线的电流大小相等方向相反，扭在一起可以使它们磁场尽可能互相抵消，从而减小杂散磁场.5 如思考题5用图所示，假设图中两导线中的电流、相等，对图中所示的三个闭合线、的环路，分别讨论在每个闭合线上各点的磁感应强度B是否相等？为什么？思考题5用图答：都不相等.由毕奥-萨伐尔定律可知，在、外侧各自产生的磁场相互加强，而在、内侧各自产生的磁场相互抵消.6 在均匀磁场中，载流线圈的取向与其所受磁力矩有何关系？在什么情况下，磁力矩最大？什么情况下磁力矩最小？载流线圈处于稳定平衡时，其取向又如何？答：磁力矩，方向即线圈取向.线圈的取向垂直磁场时磁力距最大，平行时最小.载流线圈处于稳定平衡时，线圈的取向与磁场方向一致.7为什么当磁铁靠近电视机的屏幕时会使图像变形？答：磁铁的磁场使扫描电子束受到磁场力作用，从而偏离原来的运动轨迹使图像变形、变色.8在一均匀磁场中，有两个面积相等、通有相同电流的线圈，一个是三角形，一个是圆形.这两个线圈所受的磁力矩是否相等？所受的最大磁力矩是否相等？所受的磁力的合力是否相等？两线圈的磁矩是否相等？答：载流线圈在磁场中所受的磁力矩为，为线圈的磁矩.由此不难判断，两个线圈的面积相等，通过的电流相同，因此磁矩的大小相同.至于两线圈所受的磁力矩是否相同，取决于磁矩与均匀磁场的方位是否相同若两线圈的磁矩与均匀磁场的夹角均为，则所受磁力矩最大且相等.而载流线圈在均匀磁场中所受磁力的合力恒为零.思考题9用图9如思考题9用图所示，在磁感应强度大小为的均匀磁场中，作一半径为的半球面，的边线所在平面的法线方向单位矢量与磁感应强度的夹角为，则通过半球面的磁通量为多少？答：根据恒定磁场的高斯定理 可知，通过半球面的磁通量与通过半球底面（即图中阴影所示平面）的磁通量大小相等而符号相反，即，故通过半球面的磁通量.思考题11用图10 一对正、负电子从同一位置同时射入一均匀磁场中，如思考题15用图所示，已知它们的速率分别为2和，且都和磁场垂直，试指出它们的偏转方向，并判断经磁场偏转后哪个电子先回到出发点？答：如思考题11用图所示，正、负电子的速度均满足，由洛伦兹力可知，速率为2的正电子将作逆时针匀速率圆周运动，而速率为的负电子则作顺时针匀速率圆周运动.两电子的轨道半径不同，速率大者、即正电子的轨道半径大，但两电子的运动周期相同，所以它们将同时回到出发点.11 两种磁介质的磁化与两种电介质的极化有何类似和不同之处？答：如下表所示：电介质磁介质在电场中能与电场发生作用的物质在磁场中能与磁场发生作用的物质产生极化电场激发附加磁场有无极分子位移极化和有极分子取向极化有顺磁质、抗磁质和铁磁质引入电极化强度和极化电荷引入磁化强度和磁化电流引入的电位移矢量与电介质无关引入的磁场强度矢量与磁介质无关有相对介电常数有相对磁导率电介质的存在减弱了原电场磁介质的存在改变了原磁场12 磁化电流与传导电流有何不同之处，又有何相同之处？答：磁化电流激发附加磁场，而传导电流产生外磁场；磁化电流对磁场强度并无贡献，而传导电流决定磁场强度.不过，磁化电流与传导电流也有相同之处，那就是它们都能影响磁场的分布.13 试说明 B 与 H 的联系和区别.答：B 与 H都可以用以描述磁场性质，但H不仅和磁场有关，还与磁介质的磁化强度有关. B是实际存在的物理量，H是为了描述介质中的磁场而引入的辅助物理量.14 在恒定磁场中，若闭合曲线所包围的面积没有任何电流穿过，则该曲线上各点的磁感应强度必为零.在恒定磁场中，若闭合曲线上各点的磁场强度皆为零，则穿过该曲线所包围面积上的传导电流代数和必为零.这两种说法对不对？答：虽然闭合曲线所包围的面积没有任何电流穿过，但曲线外部的电流依然会对曲线上各点的磁感应强度产生影响，因此第一个论述不对.而当闭合曲线上各点的磁场强度皆为零时，磁场强度H沿该闭合回路的环路积分为零，根据有磁介质时的安培环路定理可知穿过该曲线所包围面积上的传导电流代数和必为零，即第二个论述是对的.15 为什么装指南针的盒子不是用铁，而是用胶木等材料做成的？答：如果使用铁盒子装指南针，则由于铁盒子产生磁屏蔽，从而会使得指南针无法正常使用，因此装指南针的盒子要用胶木等不会产生磁屏蔽效应的材料.16 为什么一块磁铁能吸引一块原来并未磁化的铁块？答：当未磁化的铁块处于磁铁所激发的磁场中时，铁块会被磁化，从而也具有磁性，这样一来它就可以被磁铁所吸引了.17 有两根铁棒，不论把它们的哪两端相互靠近，发现它们总是相互吸引的.你能否得出结论，这两根铁棒中有一根一定是未被磁化的？答：不一定，这两根铁棒之间的吸引力未必来源于磁场力，例如它们有可能分别带有异种电荷.18 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？答：因为分子磁矩和磁畴在磁化过程中受到分子热运动的影响，所以磁导率依赖温度；而抗磁质在磁场中的附加磁矩几乎不受温度的影响，所以其磁导率几乎与温度无关.19 在工厂里搬运烧到赤红的钢锭，为什么不能用电磁铁的起重机？答：电磁铁在高温下会产生退磁现象，容易对电磁铁的起重机造成损坏.20 试根据铁磁质的磁滞回线，说明铁磁质有些什么特性.答：由铁磁质的磁滞回线可知，铁磁质不但具有剩磁现象，同时还具有磁滞现象的特性.21 你怎样才能使罗盘磁针的磁性反转过来？答：可以通过施加很强的反向磁场来使罗盘磁针的磁性反转过来.22 试解释为什么磁铁能吸引铁钉之类的铁制物体？答：铁钉之类的铁制物体是铁磁质，它们在磁场中会被磁化，而磁化后的铁磁质容易被磁铁所吸引.23 在强磁铁附近的光滑桌面上的一枚铁钉，由静止释放，铁钉被磁铁吸引，试问当铁钉撞击磁铁时，其动能从何而来？答：来源于磁场的能量，即磁场能，而且应当满足能量守恒定律.24 下面的几种说法是否正确，试说明理由（1）若闭合曲线内不包围传导电流，则曲线上各点的必为零；（2）若闭合曲线上各点的磁场强度为零，则该曲线所包围的传导电流的代数和为零；（3）不论抗磁质与顺磁质，磁感应强度总是和磁场强度同方向；（4）通过以闭合回路为边界的任意曲面的磁通量均相等；（5）通过以闭合回路为边界的任意曲面的磁场强度通量均相等.答：（1）错.在有磁介质时的安培环路定理中，环路上的磁场强度不但与环路内、外的传导电流有关，也与空间所有磁介质的磁化电流有关.环路不包围传导电流，只能说明磁场强度对此环路的环流为零，并不说明曲线上各点的磁场强度必为零.（2）正确.环路上各点的磁场强度为零，则整个环路磁场强度的环流必为零.根据有磁介质时的安培环路定理，可以确定该环路所包围的传导电流的代数和为零.（3）抗磁质与顺磁质都是弱磁质，.当抗磁质与顺磁质都是各向同性磁介质时，由可以认为弱磁介质内部的磁感应强度和磁场强度同方向.（4）正确.以闭合回路为边界的任意两个曲面组成一个封闭面，根据恒定磁场的高斯定理可知，通过该封闭面的总磁通量为零，由此不难判断通过这两个以闭合回路为边界的任意曲面的磁通量相等.（5）错.由（4）已知通过以闭合回路为边界的任意曲面的磁通量均相等，但若两曲面处于不同磁介质环境，则根据磁感应强度与磁场强度的关系可知，通过这两个任意曲面的磁场强度通量不等.习题参考解答1 如习题1用图所示，有一半径为的圆柱形导体，设电流密度为：习题1用图 ； 其中为常量，为导体内任意点到轴线的距离，试分别计算通过此导体截面的电流（用和横截面积表示）解：（1）在半径为处取宽为的细圆环，细圆环面积，其上通过的电流为导体截面的电流为（2）同理，导体截面的电流为2 一铜棒的横截面积为2080 mm2，长为2.0 m，两端的电势差为50 mV.已知铜的电导率s/m，铜内自由电子的电荷体密度为1.361010 C/m3.求： 它的电阻； 电流； 电流密度； 棒内的电场强度；（5） 棒内电子的迁移速度.解：（1）（2）（3）（4）（5）3 在均匀磁场中有一直电流，当电流沿正方向时受力指向y正方向；当电流沿y负方向时受力指向x正方向.若电流中电荷的定向运动速度为，单位电荷所受的磁场力为，求磁感应强度的大小和方向.解：当正电荷速度时，和当时，而且和相互垂直，可以确定F为磁场作用力的最大值，而且B的方向沿或的方向，即z轴负向按照定义，B的大小为习题4用图4如习题4用图所示，从无限远来的直电流从A点流入正方形导线框，又从B点沿直线流向无限远若正方形边长为，且导线粗细均匀，流入的总电流为I求正方形中心O处的磁感应强度解：电流I在A点分流为、，因导线粗细均匀，正方形每一条边上的电阻值相同，设为R，AB点间电压恒定，则在A点有 I1 + I2 = I 由以上两式可解得 ，利用载流直导线磁感强度表示式计算O点的磁感应强度，并以垂直图面向里为正向，O点与各段电流距离为，对于半无限长电流EA，方向垂直图面向里，得对于半无限长电流BF，,，方向垂直图面向里，得对导线AB，方向垂直图面向里，得对导线AD、DC和CB，在O点产生的磁感强度大小相等，方向垂直图面向外，得应用叠加原理，O点的磁感强度为方向垂直图面向里习题5用图5 如习题5用图所示，一个半径为R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I在柱面上均匀分布求半圆柱面轴线上的磁感应强度解：将半圆柱面分割成宽度为的细线，长细线中的电流细电流与轴线平行，它在轴线上激发的磁感应强度大小为其方向在平面内，且与指向的半径垂直，如习题5用图b所示，由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线上产生的磁感应强度叠加后，得则轴线上总的磁感应强度大小为方向指向轴的负方向6 如习题6用图所示，宽为的薄长金属板，处于平面内，设板上电流为I，试求:习题6用图 轴上P点的磁感应强度的大小和方向； 当时，结果又如何？解：(1)在距原点O为处取宽为dx的细长直导线条带，所载电流为，应用无限长载流直导线的磁感应强度表达式，作代换，则在P点产生的磁感强度方向垂直图面向里，大小为： 整个薄长金属板在P点产生的磁感强度大小为方向垂直图面向里 （2）将对数函数作幂级数展开，即当时略去高次项，得： 结果表明在与薄长金属板距离足够远处的磁场近似于长直电流的磁场7 有一圆环形导体，内外半径分别为和，如习题7用图所示，在圆环面内有稳定的电流沿半径方向均匀分布，总电流为I求圆心O点处的磁感应强度习题7用图解：在圆环形导体上距O点为r处取宽为dr的细圆环，所载电流为，在圆心O点处的磁感强度方向垂直图面向里，大小为： 整个圆环形导体在O点产生的磁感强度大小为方向垂直图面向里习题8用图8 电流I均匀地流过半径为R的圆柱形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过如习题8用图所示剖面的磁通量解：导线内部距轴线为r处的磁感应强度沿轴线方向在剖面上取面元，穿过面元的磁通量单位长度导线内的磁通量9 如习题9用图所示，在内外半径分别为和长直圆柱筒形导体轴线上有一长直导线若长直导线上的电流与导体圆柱筒内的电流等大反向，电流为I，且电流在圆柱筒截面上均匀分布求圆柱筒导体内部区域中的磁感应强度.习题9用图解：圆柱筒导体单位截面积通过的电流，即电流密度为，取半径为r（）的圆为安培回路，如图所示，其所包围的电流为根据磁场分布的轴对称性，应用安培环路定理，得则： 10 如习题10用图所示，两根平行长直导线载有电流，试求：习题10用图 两导线所在平面内与两导线等距的一点A处的磁感应强度； 通过图中矩形面积的磁通量其中、解：（1）A处的磁感强度为方向垂直纸面向外(2)在距矩形面左边线为x处取宽为dx长为的细长条，面积为dS = ldx，其中各点磁感强度的大小为： 该细长条的磁通量为矩形面的磁通量为 = 11 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如习题11用图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中有电流I，试求： 环内距轴线为r远处的磁感应强度； 通过螺线管截面的磁通量解：（1）由对称性可知，在环内与螺绕环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向在环内取半径为r的环路，应用安培环路定理，得习题11用图因，代入上式得： (2)在半径r处取宽为dr高为h的面元，面积为dS = hdr，通过此面元的磁通量为： 通过矩形截面的磁通量为12 如习题12用图所示，一直导线通以电流，其下有一矩形框与导线在同一铅直面内，线框中通有电流.若要使线框不致下落，的方向应如何？线框的最大重量是多少？习题12用图解：设电流为顺时针方向，根据安培定律，线框各边所受磁场力如习题12用图所示，其中和等大反向，相互抵消，和的大小分别为： ， 线框所受合力为：方向向上，与向下的重力平衡，因而假设取顺时针方向是正确的线框的最大重量即线框对直导线的最大作用力，其量值应等于线框所受的安培力，即13一矩形线圈载有电流0.10A，线圈边长分别为、，线圈平面与xy平面成角，线圈可绕y轴转动，如习题13用图所示.今加上B = 0.50 T的均匀磁场，磁场方向沿x轴,求线圈所受到的磁力矩.习题13用图解：载流线圈在均匀磁场中所受磁力矩为其中为线圈平面法线与磁感应强度B之间的夹角由题意可得，则方向沿y轴负向.习题14用图14 如习题14用图所示的载流线圈中的电流为I，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，求线圈的磁矩和所受到的磁力矩.解：载流线圈面积为，磁矩方向垂直纸面向外，大小为： 线圈所受到的磁力矩为，根据右手螺旋法则可以确定其方向为竖直向上，大小为： 15 一平面线圈电流为I，匝数为N、面积为S，将其放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁感应强度的方向与线圈磁矩的方向一致若将线圈翻转，问外力需要做多少功？解：作用于载流线圈的磁力矩为： 线圈转过d角度时，磁力矩所作的元功为 磁通量为 线圈转过d角度时，磁通量的改变为，与式比较,得当线圈磁矩与B的夹角由增至，穿过线圈的磁通量从m1变为m2时，其间磁力矩所作的功A为习题16用图16两平行放置的长直流导线相距为，分别通有同向的电流和，坐标系的选择如习题16用图所示.（1）求处磁感应强度的大小和方向；（2）磁感应强度为零的位置.解：（1）根据恒定磁场的安培环路定理不难求得，电流在处产生的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向内，而电流2I在处产生的磁感应强度大小为：，方向垂直纸面向外，故处的磁感应强度大小为方向垂直纸面向外.（2）设磁感应强度为零的位置坐标为，则有解得 17 如习题17用图所示，在截面均匀圆环上任意两点用两根长直导线沿半径方向引到很远的电源上，求环中心点的磁感应强度。习题17用图解： 直电流与在点的磁感应强度都为零，即 .设圆弧流过的电流为，弧长为；圆弧流过的电流为，弧长为，则圆弧在点激发的磁感应强度大小为 （方向垂直纸面向里）圆弧在点激发的磁感应强度大小为 （方向垂直纸面向外）由于这两部分铜环电阻率相同，截面积相同，实际电阻与圆弧长度成正比，因此有又由于圆弧与并联，所以有则点总的磁感应强度大小为18一个电子射入的均匀磁场中，当电子速度为时，求电子所受的磁场力.解：根据可得电子所受磁场力为沿轴正方向.19 轨道炮（又称电磁炮）是一种利用电流间相互作用的安培力将弹头发射出去的武器，如习题19用图所示，两条扁平的长直圆柱导轨相互平行，导轨之间由一滑块状的弹头连接.强大的电流从一条直导轨流经弹头再从另一条直导轨流回，导轨上的电流沿圆柱面均匀分布.设圆柱导轨半径为，两圆柱导轨相距为，试求弹头所受的磁场力.习题19用图解：弹头受到的磁场力应该是两导轨产生的磁场对弹头的作用.先在弹头距其横向一端为处任取一电流元，其所在处的磁场可看作是两个半无限长直电流产生的磁场的叠加，故其磁感应强度为从习题19用图中可知，电流元与磁感应强度的夹角为，故弹头所受磁场力大小为方向沿导轨向外.由于超导材料研究上的突破，可望输送最大电流（ A），在5 m长的导轨上可使弹头加速到的速度，而常规火炮发射弹头的速度一般不超过.如果以海水代替弹头，还可以作为船舶的电磁推进器.20用金属丝做的圆形和正方形回路如习题20用图所示，设圆的直径与正方形的边长均为a，两回路中电流均为I，求它们在各自中心产生的磁感应强度的比为多少？习题20用图解：带电圆环环心处：正方形中心处： 21 在半径R = 4 cm 的长直圆柱形导体内，挖一个半径r = 2 cm的长直圆柱形空腔，它的轴平行于导体圆柱的轴，且两轴相距a = 1 cm .若在此空腔导体上通以电流I = 10 A，电流沿截面均匀分布，试求空腔内任一点P的磁感应强度的大小.解： ， ，由安培环路定理得 ，即： ，同理可得 习题22用图22 载有电流I 1 的长直导线旁，有一边长为a 、载有电流I 2 的正三角形线圈.线圈的一条边与直导线平行，线圈的中心到直导线的垂直距离为b ，直导线与线圈在同一平面内，如习题22用图所示.试求作用在三角形线圈上的力.解： ， 方向向左指向长直导线. 习题23用图23 如习题23用图所示，导线ABCDE通有电流I1 ，其中BCD是圆心为O半径为R的半圆形，直线AB = DE = a .另有无限长导线通有电流I2 ，过圆心O且与半圆形导线共面（但不相交）.求：长直导线在圆心O处元段d l上所受的磁场力的大小和方向.解： ，由毕奥-萨伐尔定律知， ，而 ， 又 大小为 ，方向为沿y轴负向，即向左.24 设在真空中有一根很长的由两个同轴筒状导体组成的同轴电缆，其内筒的外半径为a，外筒的内半径为b，外筒的外半径为c，在这两个导体筒中，有大小相等而方向相反的电流I流过，求离同轴电缆轴心为r处的磁感应强度B.（1）r a ； （2）a r b ； （3）b r c ； （4）rc .解： ，即 . （1）当r a时，因为 ，所以 ；（2）当a r b时，因为 ，所以 ；（3）当b r c时，因为 ，所以 ；（4）当rc时，因为 ，所以 .25一个塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直于盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感应强度.解：如习题25用图a所示， ， ， B的方向沿轴线，与成右手螺旋关系.a) b) c)习题25用图讨论：(1) 如习题25用图b所示，若圆盘的一半均匀分布电荷面密度为+，另一半均匀分布电荷面密度为-，则圆盘中心处的磁感应强度为零.这是因为、，所以. (2) 如习题25用图c所示，若圆盘的半径为r（rR）部分均匀分布电荷面密度为+，其余部分均匀分布电荷面密度为-，要使圆盘中心处的磁感应强度为零，则须有R = 2r.这是因为、，当时，有，即R = 2r.26 一螺绕环的平均半径为R = 0.08 m , 其上绕有N = 240匝线圈, 电流强度为I = 0.30 A时充满管内的铁磁质的相对磁导率r = 5 000 , 问管内的磁场强度和磁感应强度各为多少?解：螺绕环磁场几乎都集中在环内，场线是一系列圆心在对称轴上的圆如果圆环的截面积很小，则可认为环内各点的磁场强度大小相等，其值相当于以平均半径R为半径的圆环上的磁场强度27 环形螺线管共包含500匝线圈, 平均周长为50cm, 当线圈中的电流强度为2.0A时, 用冲击电流计测得介质内的磁感强度为2.0T , 求：(1)待测材料的相对磁导率；(2)磁化面电流线密度解： 磁场强度和磁感强度B的关系为，从而可求出(1) (2) 由于磁化面电流产生的附加磁感强度为= B - B0 ，得则 28 一无限长的圆柱形铜导线外包一层相对磁导率为的圆筒形磁介质，导线半径为，磁介质的外半径为，导线内有电流通过.并设导线的磁导率为.（1）求介质内、外的磁场强度和磁感应强度的分布，并画出，曲线；（2）求介质内、外表面的磁化面电流密度.解： （1）时，时： 时： 如习题28用图a、b所示，分别为与曲线.a) b)习题28用图（2）介质内表面 介质外表面29 将一直径为10 cm的薄铁圆盘放在B0 = 0.410-4 T的均匀磁场中, 使磁感线垂直于盘面, 如习题29用图所示.已知盘中心的磁感强度为Bc = 0.1 T, 假设盘被均匀磁化，磁化面电流可视为沿圆盘边缘流动的一圆电流求：习题29用图(1)磁化面电流大小；(2)盘的轴线上距盘心0.4m处的磁感强度解： 铁盘在外磁场B0中要被磁化，产生附加磁场附加磁场与外磁场B0同向，所以盘中心的磁感强度磁化面电流Is可视为沿圆盘边缘流动的圆电流 (1) 磁化面电流Is在环心c处产生的附加磁场的磁感强度为盘中心的总磁感强度为： 从已知条件可见，对于铁磁质，有，即，得(2) 距c点x = 0.4m处的磁场可视为外磁场B0与磁化面电流磁场B的叠加，即有30 如习题30用图所示，半径为