上海交通大学高等数学A下册期中试题汇编.pdf

1 2015 级第二学期 高等数学 期中考试试卷级第二学期 高等数学 期中考试试卷 A 类类 一 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 设 ln 1 0 0 xy x f x yx yx 是定义在 1 Dx yxy 上的二元函数 则 f x y在其定义域D内的不连续点的集合为 A 空集 B 0 0 C 0 x yx D 0 x yx 或0 y 2 下列二元函数中 在 0 0 点可微的是 A xy B xy C 2 xy D 2 xy 3 已知曲面 22 4zxy 上点P处的切平面平行于平面4210 xyz 则点 P的坐标是 A 2 1 1 B 2 1 1 C 2 1 1 D 2 1 1 4 设 f x y在 0 0 点的邻域内连续 且 22 0 0 4 lim1 x y f x yxy xy 则 A 0 0 点是 f x y的极小值点 B 0 0 点是 f x y的极大值点 C 0 0 点不是 f x y的极值点 D 所给条件不足以判断 0 0 点是否 f x y的极值点 5 设 2222 B rx yxyr R 二元连续函数 f x y满足0 1f x y 记 1 n n B r F n rfx y d 则下列选项正确的是 A 1 lim n F n n 一定不存在 B 1 lim n F n n 不一定存在 C 1 lim n F n n 一定存在 且 1 lim 0 1 n F n n D 以上结论 A B C 都错误 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 6 若 2 R上的可微函数 F x y的梯度为 2222 grad 11 yx F x yx y 且 0 0 3F 则 F x y 7 曲面 222 231xyz 的切平面与三个坐标平面围成的有限区域的体积的最 小值 8 空间中曲面片zxy 22 1xy 的面积A 9 设二元函数 2 0 sin x y t f x yetdt 则 2 2 2 f x y 2 10 2 2 3 lim 1 x x y x y y x 三 求偏导数 本题 8 分 11 设方程 222 2222440 xyzxyxyz 在点 0 1 1 附近确定隐函数 zz x y 求 0 1 1 z x 2 2 0 1 1 z x 2 0 1 1 z x y 四 每小题 10 分 共 20 分 12 设 zz x y 满足方程 2 2 2 2 zz y yxy 令wxzy 在变换 x u y vx 下 请将方程 2 2 2 2 zz y yxy 表示为w关于u v的方程 13 设 2222 B rx yxyr R 若 函 数 22 2 xy B r F reay d 在 0 r 内单调 其中a为常数 求a的最大取值范围 五 积分计算 每小题 10 分 共 20 分 14 记D为平面曲线1xy 3xy 2 yx 2 3yx 所围的有界闭区域 计算 二重积分 23 2 D x d yxy 15 计算三次积分 2 2 22 111 00 x z xy dxdyxe dz 六 应用题 第 16 题 6 分 第 17 题 8 分 共 14 分 16 设三角形ABC 的一个顶点是 2 1 A 而B C分别在直线0y 和yx 上 求此类三角形周长的最小值 17 求区域 3222222 1 1 1 x y zxyyzxz R的体积 七 证明题 本题 8 分 18 设 f x和 g x在R上 K x y在 2 R上都是连续的正值函数 且满足 1 0 f y K x y dyg x 1 0 g y K x y dyf x 证明 1 若 01 min x f x m g x 01 max x f x M g x 则1mM 2 当01x 时 f xg x 1 2014 级第二学期 高等数学 期中考试试卷级第二学期 高等数学 期中考试试卷 A 类类 一 单项选择题 每小题 每小题 3 3 分 共分 共 1 15 5 分 分 1 设 24 22 2 xy f x y xy 则 0 0 lim x y f x y A 等于0 B 等于1 C 等于2 D 不存在 2 函数 e 0 1 0 x y xy f x y xy 在点 0 0 处指向点 1 1 的方向导数为 A 0 B 1 C 2 D 2 3 设有二元方程 2 sin 0 xyxy 则在 0 0 点的某邻域内 此方程 A 仅可确定一个具有连续导数的隐函数 xx y B 仅可确定一个具有连续导数的隐函数 yy x C 可确定两个具有连续导数的隐函数 yy x 和 xx y D 以上 A B C 都不正确 4 设 222 d t F tfxyzV 其中 t 222 0ztxy 0t f u 为连续函数 则 F t A 2 2 tf t B 2 2 t f t C 2 4 t f t D 2 4 tf t 5 考虑以下命题 其中正确命题的个数为 若可微函数 f x y在区域D内满足 0 x fx y 则有 yyxf 若 00 f xy是函数 yxf在区域D内的唯一极值 且为极大值 则 00 yxf必为 yxf在D内的最大值 若函数 yxf在 00 Uxy 内可偏导 且 yxf在点 00 yx间断 则 yxfx与 yxfy中至少有一个在 00 Uxy 内无界 其中0 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 每小题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 6 设 y zx 则 e 1 d z 7 设 22 1Ex yxy 0 E 其中 0 0 11 Ex yyx 则 E 的边 界E 8 交换二次积分的次序 2 0111 1000 d dd d xx xf x yyxf x yy 9 设 0 x y 且满足条件 22 48xy 则uxy 的最大值为 10 设 22 1 0Dx y xyx 则 22 22 ln 1 e d d xy D xyyx y 2 三 本本题题共共 8 8 分 分 11 求极限 1 0 2 lim esin x xy x y yx 四 每小题 每小题 8 8 分 共分 共 1616 分 分 12 设函数 f u v具有一阶连续偏导数 0 e d xy t zf tt 求 z x 2z x y 13 设函数 zf x y 具有二阶连续偏导数 令 uxy vxy 并取 u v为新 自变量 试变换方程 22 22 0 zz xy 五 计算下列积分 每小题 每小题 1010 分 共分 共 2 20 0 分 分 14 22 2222 3 16 3 min 2 d d 16 xy xyxyx y 15 2 dxyzV 其中 22 3 xy z 222 2 4xyz 六 应用题 第第 1616 小题小题 8 8 分 分 第第 1717 小题小题 1010 分 分 共共 1818 分 分 16 求锥面 222 1 zxy 被柱面 22 1xz 所截下部分曲面的面积 17 过直线l 102227 0 xyz xyz 作曲面 222 327xyz 的切平面 求此切平 面的方程 七 证明题 本题本题共共 8 8 分 分 18 已知二元函数的拉格朗日中值定理是 设函数 f x y在 000 P xy的邻域 0 U P有一阶连续偏导函数 x fx y和 y fx y 则对任意 0 P x yU P 存在 0 U P 使得 0000 xy f x yf xyfxxfyy 设 函 数 fxy在R2上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 且 f x y在 222 Dx yxyR 的边界 222 x yxyR 上取值为零 其中常数0R 1 证明 对任意的 P x yD 存在 D 使得 22 f f x yxyR l 其中OPl 而O为坐标原点 2 证明 3 22 d dmax 3 xy x yD D R f x yx yff A 类 第 1 页 2013 级第二学期 高等数学 期中考试试卷级第二学期 高等数学 期中考试试卷 A 类类 一 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 函数 22 22 sin 0 0 0 0 1 xy x y f x yxy x y 在 22 1 Dx yxy 上 A 有最大值 无最小值 B 有最小值 无最大值 C 既无最大值 又无最小值 D 既有最大值 又有最小值 2 设 22 22 1 sin 0 0 0 0 0 xyx y xyf x y x y 则 A f x y在 0 0 点不连续 B f x y在 0 0 点的偏导数不存在 C f x y在 0 0 点可微 D f x y的偏导数在 0 0 点连续 3 若曲线 2 2 2 xz yx 在某一点 000 xy z处的切向量与三个坐标轴正向的夹角相 等 则 0 x A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 4 交换二次积分 11 00 y dyf x y dx 的积分次序 结果为 A 11 00 x dxf x y dy B 11 00 y dxf x y dy C 2 11 00 x dxf x y dy D 2 11 00 x dxf x y dy 5 三重积分 222 222 23 4 xyz xyz axbycz edxdydz 的值 A 仅与常数a有关 B 仅与常数b有关 C 仅与常数c有关 D 与常数 a b c都有关 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 6 设 2 2sin ln 1 xy zxye 则 4 22 z yx 7 若 f x y可微 2 u x y zxyz f yx zx 则 uuu xyz A 类 第 2 页 8 函数 3 1 4 cos xy z x yexy 在点 1 0 处的最大变化率为 9 若 D是以 0 0 1 0 0 1 为顶点的三角形区域 则 1 D xy d 10 设 F x y z和 G x y z具有连续的偏导数 0 F G x z 曲线 0 0 F x y z G x y z 过点 0000 P xy z 记 在xOy平面上的投影曲线为S 则S上 过点 00 xy的切线方程为 三 本大题共 26 分 每小题依次为 8 8 10 分 11 设可微函数 f x y对任意0t 满足条件 f tx tyt f x y 且 3 1 2 y f 若曲面S zf x y 过点 3 1 5 求曲面S在点 3 1 5 处的法线方程 12 设 zz x y 由方程321 z exyz 所确定 求 z x z y 2z x y 13 在椭球面 222 41616xyz 的第一卦限部分上求一点 使椭球面在该点处 的切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小 并求出此最小体积 四 本大题共 26 分 每小题依次为 10 8 10 分 14 计算 222 2D xx dxdy xxxy 其中 22 2 0Dx yxyx y 15 设 cos Ixyzdxdydz 其中 0 0 0 x y zxyz 1 将I表示为累次积分 2 求出I的值 16 设 是半椭球体 222 222 1 xyz abc 0z 计算 22 22 xy dV ab 五 本题 8 分 17 求球面 222 zaxy 含于柱面 22 xyax 0a 之内部分的面积 六 本题 8 分 18 设 f x y在 R2上可微 且lim 1 r ff xy xy 其中 22 rxy 证明 f x y在 R2上存在最小值 A 1 2012 级第二学期 高等数学 期中考试试卷级第二学期 高等数学 期中考试试卷 A 类类 一 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 二重极限 2 0 0 lim 2 x y x y xy A 1 B 1 C 不存在 D 0 2 设 22 22 0 0 0 0 0 xy xyx y f x yxy x y 则 0 0 xy f A 1 B 1 C 0 D 不存在 3 若 f x y在点 00 xy处可微 则下面 4 个结论中错误的为 A f x y在点 00 xy处沿任何方向的方向导数都存在 B 方向导数 00 00 xy xy f fl l C 方向导数 00 xy f l 在梯度 00 xy f 方向取最大值 D 00 xy f 正交于曲线 00 f x yf x y 在点 00 xy处的切线 4 若区域 22 11 Dx yxyxx 则ln 4 D xy d A 2 B 1 C 1 D 0 5 设 11 11 01 x y zxyz 常数0a 则三重积分 sin axyz exyz dxdydz 的值 A 0 B 0 C 0 D A B C 答案都不对 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 6 设 xyxzln 2 则 3 2 z xy 7 设函数 yxzz 由方程20 xyz xyze 所确定 则 0 1 z x 8 极限 3 5 11 lim nn n ij ij n 9 交换积分次序 2 12 00 y y dyf x y dx A 2 10 极限 2222 222 3 0 1 limcos R xyzR xyz dV R 三 本题 8 分 11 设函数 u x y具有连续的二阶偏导数 v x二阶可导 23 zu xy xyvxy 求 xy z 四 本大题共 26 分 每小题依次为 8 8 10 分 12 设曲面S由方程 0 zyxF确定 且0 222 zyx FFF 证明 S上离坐标原点最近点处的法线过坐标原点 13 zf x y 满足偏微分方程320 zz xy 1 在变量替换 23uxy vxy 下 将上述偏微分方程变形为z关于 u v的方程 2 证明 zf x y 可以表示为 23 zgxy 14 求函数 3 3 xy x zey 的极大值和极小值 五 本大题共 28 分 每小题依次为 8 10 10 分 15 计算二重积分 2 2 D xydxdy 其中 22 22 1 xy D ab 16 计算 2 2 22 2 12 11 1 1 2 1 4 x z xy x dxdyedz 17 计算三重积分 222 xyz dxdydz 其中 22 2 1 2 x y zzxy 六 本题 8 分 18 设常数0 R yxf 在区域 222 RyxyxD 上具有连续的二阶偏导 数 且 00 0 f 0 2 2 2 2 y f x f 2 0 f x y 证明 r 0rR 圆周 222 r Cx yxyr 上必存在点 00 xy 使得 0 00 yxf A 类 第 1 页 2011 级第二学期 高等数学 期中考试试卷级第二学期 高等数学 期中考试试卷 A 类类 一 一 单项单项选择题 每小题选择题 每小题 3 分 共分 共 15 分 分 1 设函数 f x y可微 且对任意x y都有 0 x yxf 0 y yxf 则使不 等式 1122 f x yf xy 成立的一个充分条件是 A 1212 xxyy B 1212 xxyy C 1212 xxyy D 1212 xxyy 2 设函数 f x y在 0 0 处连续 那么下列命题正确的是 A 若极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 B 若极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 C 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 D 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 3 当0t 时 222 22 1 cos d xyt f txy 是t的n阶无穷小量 则 n A 4 B 5 C 6 D 7 4 累次积分 cos 2 00 d cos sin df rrr r 可以写成 A 2 1 00 d d x x xf x yy B 2 11 00 d d x xf x yy C 2 11 00 d d y yf x yx D 2 1 00 d d y y yf x yx 5 设01R 则二重积分 22 222 e d 1 xy xyR I xy 等于 A 22 222 0 0 e 4d 1 xy xyR xy xy B 22 222 0 e 2d 1 xy xyR x xy C 22 222 0 0 e 4d 1 xy xyR xy xy D 0 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 分 共分 共 15 分分 6 设 1 ln zfx y 其中函数 f u可微 则 2 zz xy xy 7 2 1 1 grad z xy y A 类 第 2 页 8 曲线 222 222 6