第五讲 分类讨论思想.doc

河南省实验中学高三理科第二轮复习专用 王坤升第五讲 分类讨论思想一、高考要求1. 考查基础知识的同时注重考查能力。2. 注重对数学思想和方法的考查，重视试题的基础性，综合性和现实性，坚持多角度，多层次的考查。3. 分域讨论的思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情况，使条件具体化，难点分散证，并对每种情况分别讨论，各个击破，最终使整个问题获解，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类性的思想方法。4. 分类或分域，必须按同一标准划分，做到不重不漏，同时也要注意优化策略或转化策略，如反证法、补集法、换元法、数形结合法等等。简化、甚至避开讨论。分域讨论是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无硬性的规定。二、重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2 由公式条件分类 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 二、试题选析例1.设m为实数，若，则m的取值范围是_。12解：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果中，则可行域取到，不能在圆内。，即时， ，绕原点旋转直线过B点时的边界位置COB ，。 注意：对m的讨论两种情况，分而求之，最后得解。例2. （06-重庆-9）如图所示：单位圆中弧的长为，表示弧与弦AB所围城的弓形面积的2倍，则函数的图象是（ ）。 解：= 对的取值范围讨论： 1. 时，图象在直线下方。 2. 时，图象在直线上方。 例3. （06福建-10）已知双曲线，的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ C ）。 A. B. C. D. 解：设直线方程为，将直线与双曲线方程联立，消去 得： 对讨论： （1）时符合题意 ，排除（B）（D） （2）时， ， ， 综上： 选（C）例4. （06辽宁-10）直线与曲线，（且）的公共点的个数为（ ） 答案：D A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 即 由于此题为选择题，不妨设，特殊化思想！ 对讨论： i）时，曲线为 ii）时，曲线为 作图为： 作图观察与恰有4个交点 选（D）例5. （06江西-3）若，则不等式等价于（ D ） A. 或 B. C. 或 D. 或 解：对讨论： i）时，从中 ii）当时，从中三、例题解析 分域讨论可直接从定义讨论，如分段函数，含有绝对值问题等等。1. 对、，记函数 的最小值为_。 答案：2 作图： 2. 已知函数则的值域是（ C ） A. B. C. D. 解： 如图： 3. 解不等式： 对m讨论： i）时，解出， 结合：， ii）时， 结合：，或 时， 时，或。注意：对“对数底数”讨论！4. 若直线与双曲线无公共点，求的取值范围。 解：联立消去，得 对二次项系数讨论： i）时，得，有交点不合题意； ii），时，令 即：，得 故所求的取值范围是或。5. 已知等比数列的前n项之和为，前项之和为，公比令，求。 解：当时， 当时， 当时， 当时， 综上：，对公比讨论！6. 已知常数，向量，,经过定点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点P，（I）求点P的轨迹C的方程；（II）若，过的直线L交曲线C于M、N两点，求的取值范围。 解：此题是平面向量与解析几何交汇问题，平面向量转化为解n知识，当直线的位置不确定时要对斜率存在，不存在两种情况讨论！ 设，则，又， 故， 由已知与平行：故 与平行：故 联立消去参数，得点P的轨迹方程为： 即： （2），故点P的轨迹方程为，此时点为双曲线的焦点。i）若直线的斜率不存在，其方程为，与双曲线交于点，此时ii）若直线的斜率存在，设其方程为，代入，化简得： 直线与双曲线交于两点，且， 设两交点为，则， 此时， = 当时， 故 当或时， 故 故 的取值范围是四、巩固练习例1：已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和 （1）用Sn表示Sn+1; （2）是否存在自然数c和k，使得成立 解 （1）由Sn=4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因为所以，(kN*)故只要Sk2cSk，（kN*）因为Sk+1Sk，(kN*) 所以Sk2S12=1 又Sk4，故要使成立，c只能取2或3 当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，cSk不成立，从而不成立 当k2时，因为，由SkSk+1(kN*)得Sk2Sk+12，故当k2时，Sk2c，从而不成立 当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，cSk不成立，从而不成立因为，又Sk2Sk+12所以当k3时，Sk2c，从而成立 综上所述，不存在自然数c,k,使成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性