到两定点的距离之比为定值的点的轨迹.pdf

1 O 一 2 6 数学教 学 2 0 0 9 年第 1 0 期 到两定点的距离之比为定值的点的轨迹 2 0 0 0 5 0上海市第三女子中学 夏德凡 1 问题提出 我们知道 到定点和定直线的距离之比为定 值的点的轨迹为圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物 线 并具有丰富的几何性质和物理光学性质 那 么 到两定点F l F 2 的距离之比为定值 0 的点的轨迹是什么 又具有什么性质呢 2 轨迹方程 设f F 2 l 2 c c 0 以线段F 1 的中 点0为原点 F 1 F 2 所在直线为 轴建立直角坐 标系 则月 一 c O c O 设动点P x 由 得 A 厕 整理得 1 一 X 1 一 Y 2 e 1 1 一 c 0 1 当 1 时 方程化为X 0 轨迹为Y 轴 所在直线 即线段F 1 的中垂线 2 当 0 1 He 方 程 化 为 c y 2 表 示 以 c o 为 圆 心 r 为半径的圆 分布在Y 轴右侧 3 轨迹的几何解释 1 当A 1 时 P F l J P f 点P的轨迹 是线段 F l 的中垂线 2 当 1 时 设PQI PQ 2 分别为 F I P F 2 角平分线和外角平分线 如图1 所示 1 由 11 Z l I 0 1 则Ql Q 2 为 由 则 尸 Ql 上P Q2 从而点 P的轨迹是以线段 Q l Q 2 为直径的圆 Q2 图 l 从极限意义上说 当入 1 时 l P F 1 l P F 2 I Ql 为线段F l F 2 的中点 Q 2 为无穷远点 F l 的 中垂线仍可理解为以线段 QI Q 2 为直径的圆 总之 到两定点F 1 的距离之比为定值 0 的点的轨迹是圆 4 轨迹的性质 结论1 定比为入 和 1 的两个轨迹 圆 关于线段F 1 的中垂线对称 一 G n C 蚪 c 酗 一 c o 半 径 r f I 得 外 c 2 0 0 9 年第 1 0 期 数 学数 学 1 0 2 7 期 c o 半 径 r I l 所以 圆 和 圆C 1 关于线段F 1 F 2 的中垂线 对称 从而只需考虑 1 的情形 研究其性质 0 1 时 随着入的增大 圆C的 圆心向F 2 靠近 圆半径逐渐减小 设 1 A 11 吨 一 研I A 2 c c c 是 入 的 减 函 数 K x c c r I I r I 二 I 是 A 的 藏 凼 数 一 c o f f c o f l 则 2 A1 c 2 A 2 c n 一 2 2一 1 f 2 1 c 了 一 一 C 图 4 i 图 5 NN I C F l l c c I C F J c c 1 从而I CF 1 I l C F 2 I c c c c 设圆G与圆C交于P 则 I F l I I C F 2 I lcPI2 即 P为圆G的切线 相应的G P为圆C 的切线 即圆G与圆C彼此正交 结论4 当 1 时 设AB为圆C中过 且垂直于 F1 F 2 的弦 则 F 1 A F 1 B是 圆C的切 线 反之 过 F 作圆C的切线F 1 B 则F 2 而l 1 I r l r 2 即圆 内含于圆 如图3 B共线 f l 图 3 由结论 1 当0 1 随着 的减小 圆 的圆心向F 1 靠近 圆半径逐渐减小 设0 1 21 如图4 5 姗c 图 6 证明 由结论3 中ICF 1 I I F 2 l l C AI2 可 知 日 与 C A相 似 所以A C上F l 即F l 为切线 如图6 参考文献