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向量的内积及其运算向量的内积已知两个非零向量和，作，则就叫做向量与的夹角记作我们规定，当时，我们说向量与垂直，记作我们把的长与在方向上正射影的数量的乘积叫做向量与的内积记作即(1)由上述定义可知，两个向量与的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质：(1) 如果是单位向量，则；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 以上性质的证明留给同学作为练习例1已知，求解：练习A1已知，求(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，2已知，求(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，练习B1已知，在方向上的正射影数量如下，求(1) 6； (2) -6； (3)8； (4) -82在直角坐标系内，已知向量与轴和轴的正向的夹角分别为和，求在轴、轴上正射影的数量向量内积运算律向量的内积运算满足如下运算律：(1) ；(2) ；(3) 例2 求证：(1) ；(2) ；(3) 证明：(1) (2) (3) 由(2)式解出，即得例3 求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：是菱形，和是它的两条对角线求证：证明：练习A1已知，求2已知，求,3在中，已知，求练习B1在中，已知，求的长2对任意向量、，求证：向量内积的坐标运算在直角坐标平面内，已知、分别为轴、轴的基向量，则(2)证明：因为 所以 例5 已知，求，解：，例6 已知：点、求证：证明：注 两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的内积等于零，因此可通过计算两向量的内积来证明两条直线或两个向量垂直练习A1已知向量的坐标，求(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，2已知：，求证：练习B1已知向量求证2已知向量求的值，使与垂直
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