2025年北京师大附属实验中学丘成桐少年班选拔数学试卷

第1页（共1页）2025年北京师大附属实验中学丘成桐少年班选拔数学试卷一、1．计算．2．不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立3．一架从上海飞往东京的航班在途中出现故障，在10分钟内从10000米高空急速跌落至3000米，那么该航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至个位）4．已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数为质数为合数，两位数，那么其中的合数是多少？5．L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第五天发射30枚．Y国在前三天的导弹拦截成功率为90%，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为70%．那么L国这五天发射的导弹中6．爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮．他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？7．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）8．123除以一个正整数得到的余数为11，543也除以这个正整数得到的余数为15，那么这个正整数是多少？9．在下面的横式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字表示三位数是多少？10．小仓鼠的学校距家有800米，平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米．有一天，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家11．小明去公园旅游，爬26级天梯，他开始时以每步2级的步伐向上攀登（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？12．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，4人之间开启了一段有趣的对话：甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．”乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．”丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．”丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．”如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话13．甲乙两人练习往返骑行缥缈峰，两人各自上山速度保持不变，下山速度也保持不变，在靠近山顶四分之一的地方首次相遇（在同一地点即为相遇），在距离山脚12千米处第二次相遇14．将1至8这8个数按照某种顺序排成一排，先将相邻的两个数相乘，再把这7个乘积相加15．如图，边长为10的正方形ABCD中，E、F、G、H分别在正方形的四条边上，BF：FC＝1：2，CG：GD＝1：2，那么正方形MNPQ的面积是多少？

2025年北京师大附属实验中学丘成桐少年班选拔数学试卷参考答案与试题解析一、1．计算．【解答】解：原式＝＝12．2．不等式的方框中是一个自然数，要使不等式成立【解答】解：设方框中为x，则有，∴，其自然数解为7，1，2，5，4，5，故方框中的最大自然数是5．3．一架从上海飞往东京的航班在途中出现故障，在10分钟内从10000米高空急速跌落至3000米，那么该航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至个位）【解答】解：10分钟等于600秒，从10000米高空急速跌落至3000米，根据题意可列算式为（10000﹣3000）÷（10×60）＝7000÷600≈12（米）．答：该航班平均每秒下降12米．4．已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数为质数为合数，两位数，那么其中的合数是多少？【解答】解：∵已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数为质数为合数为质数，∴A的取值为1到6的自然数，当A取奇数时，B为偶数是大于4的偶数，∴与“是质数”的题设矛盾；当A＝2时，C＝4，为合数，∴与“为质数”的题设矛盾；当A＝2时，B＝5，，∴与“为质数”的题设矛盾；当A＝6时，B＝4，D＝9为质数，，为质数，∴全部符合题设条件．∴合数是78．5．L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第五天发射30枚．Y国在前三天的导弹拦截成功率为90%，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为70%．那么L国这五天发射的导弹中【解答】解：由题意可得，前三天未被拦截导弹数为：（200+100+70）×（1﹣90%）＝370×10%＝37（枚），后两天未被拦截导弹数：（50+30）×（1﹣70%）＝80×30%＝24（枚），L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有：37+24＝61（枚），答：未被拦截的有61枚．6．爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮．他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？【解答】解：∵投进记为“中”，未投进记为“空”，∴“中中”选择8个空位的一个位置后，“中”还剩7个位置可选，∴他投篮的过程有6×7＝56种不同的情况，答：他投篮的过程有56种不同的情况．7．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【解答】解：3.14×802﹣5.14×402+3.14×205﹣3.14×102＝3.14×6400﹣3.14×1600+3.14×400﹣4.14×100＝16014，答：阴影部分的面积是16014．8．123除以一个正整数得到的余数为11，543也除以这个正整数得到的余数为15，那么这个正整数是多少？【解答】解：123﹣11＝112，543﹣15＝528，∵112＝16×7，528＝16×33，又∵这个整数要大于余数15，∴这个正整数是16，即这个正整数是16．9．在下面的横式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字表示三位数是多少？【解答】解：∵＝3552，∴A＝7，B＝4，则表示三位数是748．10．小仓鼠的学校距家有800米，平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米．有一天，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家【解答】解：800÷40＝20（分钟），20﹣3＝17（分钟），设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米．根据题意列一元一次方程得，，整理得，x+160＝2040，解得x＝440，即小仓鼠的学校离瓜子铺有440米，答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米．11．小明去公园旅游，爬26级天梯，他开始时以每步2级的步伐向上攀登（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？【解答】解：∵小明爬26级天梯，他开始时以每步2级的步伐向上攀登，此时位置为2k级，依题意得：2k＜26，解得：k≤12，后退1级，位置变为2k﹣8，依题意得：2k﹣1≥4，解得：k≥1；后退2级，位置变为3k﹣2，依题意得：2k﹣3≥0，解得：k≥1，剩余台阶分两种情况讨论：退3级时，得：26﹣（2k﹣1）＝27﹣3k，则27﹣2k≥0，解得：k≤13.6；退2级：得：26﹣（2k﹣3）＝28﹣2k，则28﹣2k≥6，解得：k≤14，初始阶段：1≤k≤12，共有12种可能，后退方式：每种k对应两种后退方式，∴不同的走法共有12×2＝24（种），答：小明这次爬天梯的走法有24种不同的可能．12．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，4人之间开启了一段有趣的对话：甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．”乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．”丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．”丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．”如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话【解答】解：若甲说的“我是第二个下电梯的，乙说的是假话，那么甲是第二个下电梯的，他们刚好都在奇数楼层下电梯，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，同时甲说“乙说的是假话”；因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，那么丙是最后一个下电梯的；由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话，所以乙不是最先下电梯的．又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯．因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层；因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在3层或6层；因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或2层．因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的；丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯．分情况讨论丁所在楼层：若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，乙在6层，这种情况是合理的；若丁在5层，若甲在5层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件．所以甲在5层，乙在2层，丁在2层．答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672．13．甲乙两人练习往返骑行缥缈峰，两人各自上山速度保持不变，下山速度也保持不变，在靠近山顶四分之一的地方首次相遇（在同一地点即为相遇），在距离山脚12千米处第二次相遇【解答】解：设从山脚到山顶的距离为s千米，甲上山的速度为v甲km/h，则下山的速度为2v甲km/h；乙上山的速度为v乙km/h，则下山的速度为2v乙km/h；根据题意，否则他们会一直齐头并进的甲km/h＞v乙km/h，故，∴；第二次相遇的情景是：甲下行千米，乙上行，下行（s﹣12）千米，故，∴s＝28．答：从山脚到山顶的距离为28千米．14．将1至8这8个数按照某种顺序排成一排，先将相邻的两个数相乘，再把这7个乘积相加【解答】解：要使和最大，应将最小的两个数1和2置于两端，最大的数5应居中，以此类推，3，5，7，8，6，5，2（或其逆序），1×4+3×5+3×7+7×8+8×6+5×4+4×3＝3+15+35+56+48+24+8＝189，答：得到的和最大值是189．