高中数学解题技巧复习教案(8)概率统计.doc

第八讲 概率统计【考点透视】1了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义2了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率4会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率5 掌握离散型随机变量的分布列. 6掌握离散型随机变量的期望与方差.7掌握抽样方法与总体分布的估计. 8掌握正态分布与线性回归.【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A);等可能事件概率的计算步骤： 1、计算一次试验的基本事件总数; 2、设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数; 3、依公式求值; 4、答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)P()P(A)1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k).其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式(1-P)+Pn展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）考查目的本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.解答过程0.3提示:例2.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_.（精确到0.01）考查目的 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题能力，以及推理和运算能力. 解答提示至少有3人出现发热反应的概率为.故填0.94.例3从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率考查目的本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力解答过程（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则互斥，且，故于是解得（舍去）（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故例4甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.()若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；()若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.考查目的本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.标准解答（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.由题意，得所以, ，化简，得解得，或（舍），故 .例5.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元（）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率考查目的本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力解答过程（）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”， （）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”则，例6某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）考查目的 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.标准解答记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，则P(A)=a，P(B)b，P(C)=c.() 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC) =ab(1-c)+(1-a)bc+a(1-b)c+abc=ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率 p2=P(AB)+ P(BC)+ P(AC)= (ab+bc+ca)= (ab+bc+ca)() p1- p2= ab+bc+ca-2abc- (ab+bc+ca)= ( ab+bc+ca-3abc)=.p1p2例7某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（）求该选手至多进入第三轮考核的概率.（注：本小题结果可用分数表示）考查目的本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力解答过程（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则， 该选手进入第四轮才被淘汰的概率（）该选手至多进入第三轮考核的概率考点2离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母、等表示.随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（1，2，）的概率P（）=，则称下表.PP1P2为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1），1，2，;（2）=1.常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，n，并且，其中，随机变量的分布列如下：01P称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .（2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为：123kPpqp例1 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.考查目的本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.解答过程（）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有（）可能的取值为 ，记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率所以商家拒收这批产品的概率为例2 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手被淘汰的概率;（）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）考查目的本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.解答过程解法一：（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率（）的可能值为， 的分布列为123解法二：（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率（）同解法一考点3 离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望：；期望反映随机变量取值的平均水平.离散型随机变量的方差：；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.基本性质：；.(4)若B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p） ; 如果随机变量服从几何分布，则，D =其中q=1-p.例3甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：012012PP则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数的期望和方差分别为： ，；工人乙生产出次品数的期望和方差分别为：，由E=E知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DD，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.例4. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望考查目的 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.解答过程（）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， （）的可能取值为元，元，元，的分布列为（元）小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.典型例题例1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A种型号的总体是，则样本容量n=.例2考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161 作出频率分布表；画出频率分布直方图.思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。确定组距为3，组数为10，列表如下： 频率分布直方图如下：小结： 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图.估计总体分布的基本功。门的高度至少应设计为180cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.【专题训练】一.选择题1.下面关于离散型随机变量的期望与方差的结论错误的是 （）A.期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值集中与离散的程度.B.期望与方差都是一个数值，它们不随试验的结果而变化C.方差是一个非负数D.期望是区间0，1上的一个数.2.要了解一批产品的质量，从中抽取200个产品进行检测，则这200个产品的质量是 （ ）A. 总体 B.总体的一个样本 C.个体 D. 样本容量01P3.已知的分布列为： 设则的值为 （ ） A. 5 B. C. D. 4.设，则n,p的值分别为 （）A.18 ， B. 36 ， C. ，36 D. 18，5.已知随机变量 服从二项分布，则等于 （）A. B. C. D.6.设随机变量的分布列为,其中k=1,2,3,4,5,则等于 ( )A. B. C. D.7.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,则查得废品数的数学期望为( )A.15 B.10 C.5 D.都不对8.某市政府在人大会上,要从农业、工业、教育系统的代表中抽查对政府工作报告的意见.为了更具有代表性,抽取应采用 () A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样9.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是 ( )A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.972810.某校高三年级195名学生已编号为1，2，3，195，为了解高三学生的饮食情况，要按1：5的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取3名学生的编号可能是（ ）A.3，24，33 B.31，47，147 C.133，153，193 D.102，132，15911.同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为,则的数学期望是 ( ) A.20 B.25 C.30 D.4012.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6 h B.0.9 hC.1.0 h D.1.5 h二.填空题14.某工厂规定:工人只要生产出一件甲级产品发奖金50元,生产出一件乙级产品发奖金30元,若生产出一件次品则扣奖金20元,某工人生产甲级品的概率为0.6,乙级品的概率为0.3,次品的概率为0.1,则此人生产一件产品的平均奖金为 元. 15. 同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量 表示结果中有正面向上, 表示结果中没有正面向上,则 .16.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲、乙、丙条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件.三.解答题17. 某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为多少?18. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.求:(1)记甲击中目标的次数为， 的概率分布及数学期望；(2)乙至多击中目标2次的概率；（3）甲恰好比乙多击中目标2次的概率.19. （2010年全国二理科）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3各专家独立评审 (I)求投