高等代数典例讲解练习.doc

【例2.29】设为阶可逆矩阵，且，证明的伴随矩阵【证】因为为阶可逆矩阵所以【例2.30】设为阶方阵，证明：【证】由公式,有,又，所以(1) 若,则，于是,即，（2）若,则(若不然,则矛盾！)当时，,于是,故,因此小结 从例2.282.30可看出，凡涉及的命题在证明过程中经常要借助于公式：.【例2.31】设矩阵的元素均为整数，证明：的元素均为整数【证】“” ,因为与的元素均为整数，所以与均为整数，故“”因为的元素均为整数，所以伴随矩阵的元素均为整数，又，故的元素均为整数。【例2.32】设矩阵可逆，且的每行元素之和均等于常数，试证：（1） （2）的每行元素之和都等于【证】（1），若，则，这与可逆即矛盾，故（2）令因为，所以于是，即 。又，所以，故。 题型九 关于矩阵秩的命题的证明（）关于矩阵秩的不等式的证明【点拨】思路之一：通常是通过矩阵的初等变换化为矩阵最简型，再进行分析思路之二：利用分块矩阵的乘法，结合齐次方程组进行分析【例2.33】设均为阶方阵，证明：【证】设，则有于是,令 ，则又可知任一矩阵每减少一行（或列）其秩减少不超过1，而故 【例2.34】设则,【证】设则存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵,使，同理存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使于是，令则故【例2.35】设与均为阶方阵，若,则【证】设矩阵的列向量为，则由分块矩阵的乘法有 于是 可见的列向量是齐次现行方程组的解设，则此方程组的基础解系所含向量的个数为个于是向量组的秩，即，故（）关于矩阵秩等式的证明【证明思路】【例2.36】设均为阶方阵，,为阶单位阵，证明：【证】因为所以 （*）又 ,所以 （*）由（*）（*）得自我练习：设为阶方阵，且,为阶单位阵，则【例2.37】已知,为阶非零矩阵，且满足,则 时，的秩必为1 时，的秩必为2 时，的秩必为1 时，的秩必为2【解】因为均为三阶方阵，又所以当时，的秩，于是当时，于是又(P为三阶非零方阵)，故,入选 习题二 1. 填空题（1） 设均为四维列向量，,且,则(2) 若对任意的矩阵，均有,则(3) 设为阶方阵，存在非零的矩阵，使得的充分必要条件是 _(4) 设为阶矩阵，则存在两个不相等的阶矩阵使得的充分条件是_(5)(6) 设矩阵则(7) 若阶矩阵满足方程则(8) 设,则(9) 设矩阵,则(10) 设矩阵则的逆矩阵2. 选择题（1） 设为同阶可逆矩阵，则 存在可逆矩阵使得 存在可逆矩阵，使得 存在可逆矩阵使得(2)设都是阶可逆矩阵，则等于 (3)设均为阶方阵，下面结论正确的是若均可逆，则可逆 若均可逆，则可逆若可逆，则可逆 若可逆，则均可逆（4）设为阶方阵，且,下列正确的是 对阶方阵，若，则对阶方阵,若,则对阶方阵,若，则由相同的特征值对任意非零向量，都有(5)设维向量，矩阵,其中为阶单位矩阵，则 0 (6)设设有，则 (7)设为阶可逆矩阵，则等于 （8）设阶矩阵非奇异，是矩阵的伴随矩阵，则 (9)设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则 与的关系依而定（10）设，都是阶非零矩阵，且，则和的秩必有一个等于零 都小于 一个小于，一个等于 都等于3. 计算证明题（1） 设求;（2） 求下列矩阵的逆矩阵 （3） 已知三阶矩阵满足，其中，试求矩阵（4）取什么值时，矩阵可逆，并求其逆（5）设为阶方阵，且有自然数，使得，则可逆（6）设为可逆矩阵，是与同阶的方阵，且满足,证明和都是可逆矩阵（7）设，都是阶方阵，且可逆，则也可逆且(8)设，是阶方阵，已知可逆，且,求证可逆（9）设，为阶正交矩阵，试证：(10)设，为阶方阵，试证明(11)设为主对角线上元素均为0的四阶实对称可逆矩阵，为四阶单位矩阵 试计算,并指出中元素满足什么条件时，可逆 当可逆时，试证明为对称矩阵（12）计算下列各题 （13）设，求（14）假设为阶可逆矩阵，证明 ; (15) 是阶方阵，满足,其中为正整数，为阶单位矩阵，令将中个元素用其代数余子式代替，得到的矩阵记为，证明（16）设矩阵证明：时，(E为三阶单位矩阵； 求（17）当时，求（18）已知为阶方阵，且满足与试证(19)设，均为阶矩阵，如果,求证(20)设为阶非奇异矩阵为维列向量，为常数，记分块矩阵 计算并化简 证明：矩阵可逆的充要条件是 习题二 参考答案1. 填空题（1）56 （2）0 （3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10）2.选择题3计算证明题（1） （2） （4） 当时可逆，（5） 因与可交换，且能证明可用二项式定理展为,令 ,有，所以可逆，且(6)(7)(8)(9)(10)均略（11） ，当时，为可逆矩阵 ,由于，都是对称矩阵，也是对称矩阵，故也是对称矩阵（12） （13） （14）略（15）由已知，则为可逆矩阵，故 (16)略（17）因为,所以,友有(18)略 （19）略（20）利用 第三章 向量 3.1 基本概念一、向量的概念和运算1.向量的概念 个实数组成的有序数组记作 称为维行向量，其中称为向量的第个分量 称为维列向量，可改写成2. 向量的运算向量相等：两个维向量相等当且仅当它们各对应分量都相等时，才是相等的，即如果，当且仅当时零向量：所有分量均为零的向量称为零向量，记为负向量：维向量的各分量的相反数组成的维向量，称为的负向量，记为，即向量的运算“设，则 二、向量间的线性关系1.线性组合对于给定的向量，如果存在一组数使得关系式 成立，则称向量是向量组的线性组合或称向量可以由线性表示非齐次线性方程组是否有解，相当于向量是否可由的列向量线性表示（1） 零向量是任何一组向量的线性组合（2） 向量组中的任一个向量都是此向量组的线性组合（3） 任何一个维向量都是维基本单位向量组的线性组合，且3. 线性相关与线性无关设为一组维向量，如果存在一组不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关；如果上述等式仅当时成立，则称向量组线性无关齐次线性方程组是否有非零解，对应于的列向量是否线性相关注 （1）单个非零向量线性无关 （2）含有零向量的向量组一定线性无关 （3）基本单位向量组一定线性无关 （4）两个向量组线性相关的充要条件是对应元素成比例【例3.1】若向量组线性无关，线性相关，则 必可由线性表示 必不可由线性表示 必可由线性表示 必不可由线性表示【解】因为线性无关，所以线性无关，又已知线性相关，于是可由线性表示，从而有，即可由线性表示，故应选三、向量组的秩和矩阵的秩1.极大线性无关组设为一个维向量组，如果向量组中有个向量线性无关，且向量组的任意个向量线性相关，则这个线性无关的向量称为向量组的一个极大线性无关组 若是的线性无关部分组，它是极大线性无关组的充分必要条件是：中每一个向量都可以由线性表示注 （1）含有非零向量的向量组一定存在极大线性无关组（2）若线性无关，则其极大线性无关组就是其本身2.向量组的等价性设有向量组（）；和向量组（）：，如果向量组（）的每个向量都可以由向量组（）线性表示，则称向量组（）可以由向量组（）线性表示如果向量组（）和（）可以互相线性表示，则称向量组（）和（）等价，记为 向量组等价具有性质：反身性、对称性、传递性（1） 任一向量组和它的极大无关组等价（2） 向量组的任意两个极大无关组等价（3） 两个等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相同（4） 向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等向量组的秩向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为此向量组的秩，记作秩或者。如果一个向量组仅含有零向量，则规定它的秩为零等价的向量组具有相等的秩4 矩阵的秩设，则有矩阵的行向量的秩和列向量的秩相等，矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩，记为秩或矩阵的秩也可以用行列式来定义矩阵的秩等于的充要条件是：矩阵中至少有一个阶子式不等于零，而所有的阶子式都等于零（1） 矩阵秩的两种定义是等价的（2） 对矩阵，有 当秩时，的行向量组线性无关