随机数学2014(0).pdf

概述 February 28 2014 一 主要部分 随机数学是研究随机现象统计规律的数学分支 主要涉及以下几个方 面 概率论 数理统计 随机过程 时间序列分析 随机运筹 概率论是 后诸者的基础 1 概率论 静态随机现象 初等 古典 概率论 组合方法 数学分析等经典分析手段 如组合概 率 用组合方法解决与有限个基本事件有关的概率 几何概率等 16世 纪开始 现代概率论 概率论与测度论联系起来的思想来源于数学家Borel 其后许多数学家 如Kolomogorov用近代测度论的思想和方法 构造概率 论的公理化体系 奠定了现代概率论的基础 19世纪下半叶开始 直 到20世纪初 概率论的公理化体现才完善 概率论用随机变量描述静态的随机现象 极限理论部分涉及可数个随 机变量序列 2 数理统计 研究静态的随机现象 从实际得到的数据 随机变量总体的样本 出 发 挖掘 出随机变量的某些统计规律 3 随机过程 动态随机现象 随机过程研究随时间 空间或其它因素 如温度 演变的随机现象 即研究随机现象的动态特性 4 时间序列分析 随机过程的 数理统计 1 时间序列分析从动态的数据 随机过程的样本 出发 对所考虑的对 象做出合理的数学模型并进行统计推断 动态数据与静态数据的根本差别 后者的次序可以打乱而不影响结 果 相反 动态数据的先后不可随意变化 5 随机运筹 随机优化与控制问题 二 应用领域 概率论与随机过程为统计物理奠定了数学基础 为Brownian运动 白噪声 现代金融 信息科学提供了数学模型 数理统计 时间序列分析 随机运筹等成功地应用于人文 经济 管 理 通讯等领域 随机数学与其它数学分支相互渗透 如随机分析在偏微分方程 复杂 性计算的成功应用 成为这些领域强有力的数学工具 随机微分方程与数理统计在期权定价 投资风险 保险事务等现代金 融中扮演重要角色 三 本课程重点及学习基础 重点 随机过程 包括随机分析部分 数学基础 数学分析与高等代数 测度与积分 实变函数 泛函 分析 现代概率论 教材及参考书 教材 应用随机过程 张波等 清华大学出版社 参考书目 1 Probability Theory and Examples Richared Durrett Cornell University 2005 2 2 Measure Theory P R Halmos Springer Verlag 1974 3 测度论讲义 严加安著 科学出版社 1998 4 随机过程概论 胡迪鹤著 武汉大学出版社 1986 5 随机过程论 钱敏平 龚光鲁 北京大学出版社 1992 6 随机分析学基础 黄志远著 武汉大学出版社 1988 四 教学内容 第一部分 随机过程初步 第一章 预备知识 包括初等概率论基础与随机过程的基本定义等 1 随机变量的定义及数字特征 2 随机变量的生成函数与特征函数 3 随机过程的定义与分类 第二章 泊松过程 Poisson process 1 过程基本特征 2 等待时间 间隔时间等特殊变量的分布 3 应用 第三章 更新过程 Renewal process 1 基本定义与性质 2 更新函数与更新定理 第四章 可数状态马氏链 Denumerable Markov chains I 状态分类 Classifi cation of states 1 转移矩阵性质 2 状态分类 II 极限理论 Limit theorems 3 转移矩阵的收敛性及极限形式 4 平稳分布 第二部分 随机过程 第五章 高等概率论基础 一 Foundations of advanced proba bility theory 1 测度空间与可测变换 2 Lebesgue积分 期望 3 第六章 高等概率论基础 二 1 条件概率与条件期望 2 收敛定理 第七章 鞅论 Martingales 1 上 下鞅定义及基本性质 2 停时及其应用 3 鞅不等式与收敛定理 第八章 Brown运动 Brownian motion 1 轨道性质 2 停时 第九章 随机分析基础 An introduction to st