备战2014高考数学 高频考点归类分析(真题为例)：动点轨迹方程.doc

动点轨迹方程典型例题： 例1. （2012年全国大纲卷理5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为【 】A B C D【答案】C。【考点】椭圆的方程以及性质的运用。【解析】通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程：，。该椭圆的一条准线方程为，该椭圆的焦点在轴上且，。故选C。例2. （2012年山东省理5分）已知椭圆C：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【 】A B C D 【答案】D。【考点】椭圆和双曲线性质的应用。【解析】双曲线的渐近线方程为，代入可得。又根据椭圆对称性质，知所构成的四边形是正方形，即。又由椭圆的离心率为可得。联立，解得。椭圆方程为。故选D。例3. （2012年山东省文5分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为【 】 A B C D 来源:Z_xx_k.Com【答案】D。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】抛物线的焦点坐标为，双曲线：的渐近线为，不妨取，即。 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，即。 。 又双曲线的离心率为，即。 抛物线的方程为。故选D。例4. （2012年湖南省理5分）已知双曲线C ：的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为【 】A B. C. D. #ww.zz&【答案】A。【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。【解析】设双曲线C ：的半焦距为，则。C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，即。又，C的方程为。故选A。例5. （2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，抛物线过点（2，2，）.代入得，即。抛物线方程为。当时，水位下降1米后，水面宽米。例6. （2012年四川省文12分）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】解：（）设M的坐标为（x，y），当x=1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在；，MA的斜率为，MB的斜率为。由题意，有=4，化简可得，。轨迹的方程为（）。（）由消去y，可得 () 对于方程()，其判别式，而当1或1为方程（*）的根时，m的值为1或1，结合题设可知，且m1。设的坐标分别为，,则为方程（*）的两根。，。 。此时，且。 且。且。综上所述，的取值范围为 。【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。【解析】（）设M的坐标为（x，y），由当x=1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在，得到，由直线的斜率之积为4列式即可得到轨迹的方程。（）直线与联立，消元可得 ()，利用()有两根且，且m1。设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围。例7. （2012年广东省文14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程【答案】解：（1）椭圆的左焦点为，。将点代入椭圆，得，即。 。椭圆的方程为。（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得。直线与椭圆相切，来源:Zxxk.Com整理得 联立，消去并整理得。直线与抛物线相切，整理得 联立，解得或来源:Zxxk.Com 直线的方程为或。【考点】椭圆的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根的判别式的应用，待定系数法。【解析】（1）由椭圆的左焦点为可得；由点在上，根据曲线上点的坐标满足方程的关系，将代入椭圆的方程可得。从而可求得。得到椭圆的方程。来源:Zxxk.Com （2）应用待定系数法，设直线的方程为。将直线的方程与与椭圆和抛物线的方程分别联立，消去，分别得到关于的一元二次方程，根据直线与椭圆和抛物线相切， 可由得关于和的方程组，解之即可求得直线的方程。例8. （2012年江西省文13分）已知三点O（0，0），A（2，1），B（2，1），曲线C上任意一点满足（1）求曲线C的方程；（2）点是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，1），l与分别交于点D，E，求与的面积之比。【答案】解：（1）由，得|，。由已知得，化简得曲线C的方程：。（2）直线的方程分别为 ，曲线C在点处的切线方程为，且与y轴的交点F（0，）。由求得，由求得。，。又，即与的面积之比等于2。【考点】圆锥曲线的轨迹问题，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（1）用坐标表示 和，从而可得| ，利用向量的数量积，结合满足，可得曲线C的方程。 （2）根据直线的方程以及曲线C在点处的切线方程，求出F点的坐标，D、E两点的横坐标，可得和面积的值，从而求得与的面积之比。例9. （2012年湖北省理13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（II）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（）如图1，设，则由，可得，所以，. 点在单位圆上运动，. 将式代入式即得所求曲线的方程为。 ，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，。（）如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得。依题意可知此方程的两根为，。于是由韦达定理可得，即。点H在直线QN上，。，。 ，即。来源:Zxxk.Com又，。来源:Zxxk.Com存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有。【考点】求曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系。【解析】（）由和点在圆上列式即可求得曲线的方程，并可判断曲线的类型，求得焦点坐标。（II）设，则，表示出直线的方程代入椭圆的方程并整理，应用韦达定理